новая папка 1 / 747943

Решение. Электрон, влетевший в однородное магнитное поле под углом α =

900, станет двигаться по окружности радиуса R, охватывающей магнитные линии, под действием силы Лоренца FЛ, направленной к центру этой

окружности. По второму закону Ньютона F			= m а , где	a			v2	,
					ц
		Л	e ц				R
F evB sin evB с учетом α = 900. Таким образом,
Л
m	v2	evB			(2.11)
	R

Теперь свяжем радиус окружности с периодом Т и скоростью электрона:

	v	2		R , откуда
		T
	R		vT			(2.12)
			2

Подставим правую часть равенства (4) в равенство (3), и из полученного выражения определим период вращения электрона по окружности:

m 2vTv Be , откуда

T	2 m	.	(2.13)
	Be

Угол поворота линейной скорости φ равен углу поворота радиуса. Посколь-

ку за период Т радиус поворачивается на 3600, то на φ =20 он повернется за время

t T

360

Поскольку электрон движется с постоянной скоростью, то путь, пройден-

ный им за время t, S = vt

или с учетом (2.13)

	S v		2	10 6	м.
		180Be

2.6. Фотокатод с работой выхода A= 4,42 10-19 Дж освещается светом с дли-

ной волны λ=300 нм. Вылетевшие из катода электроны попадают в одно-

11

родное магнитное поле индукцией B 7,87 10 4 Тл перпендикулярно вектору индукции. Чему равен максимальный радиус окружности R, по которой движутся электроны?

Решение. Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта:

h	c	A	mv2	.
		2

На основе второго закона Ньютона сила Лоренца, действующая на элек-

трон, связана с центростремительным ускорением следующим образом:

evB m v2 . R

Далее выражаем скорость электрона и подставляем ее в исходную формула,

откуда

			c
	2m h			A
R					5	10 3 м.
		eB

2.4. Задачи для самостоятельного решения к гл. 2 «Атомистические

представления об электричестве»

2.7. Каково отношение электрической силы, действующей на заряженную частицу в электрическом поле напряженностью 20 В/см, к силе тяжести, ес-

ли эта частица а) электрон; б) протон? в) можно ли пренебречь весом по сравнению с электрической силой?

2.8. Электрон, движущийся в вертикальной плоскости со скоростью 5.107

м/с, влетает в однородное электрическое поле напряженностью 20 В/см,

направленное вверх. Определите координаты электрона относительно точки влета и направление его движения спустя 4.10-8 с, если он влетел а) гори-

12

зонтально, б) под углом 370 верх от горизонтали, в) под углом 370 вниз к го-

ризонтали.

2.9. Если заряженная частица в предыдущей задаче (2.3б) является не элек-

троном, а протоном, то как надо изменить величину и направление поля,

чтобы ответы на поставленные там вопросы оставались теми же?

2.10. Электронно-лучевая трубка помещена в однородное магнитное поле,

силовые линии которого параллельны оси трубки. Пусть электроны, испус-

каемые катодом со скоростью ν, проходя через точку O, движутся под уг-

лом θ к оси. Покажите: а) что их траектория является спиралью; б) они сно-

ва пересекут ось x через время t=2πm/Bq; в) координата точки пересечения равна x=2πmvcos θ/Bq; г) при малых значениях координата точки аересече-

ния или касания не зависит от θ; д) описанное в этой задаче устройство называется магнитной линзой или магнитной бутылкой. Почему? е) как от-

личаются траектории электронов, проходящих через начало координат вверх под углом θ с осью x ,от траектории электронов, проходящих через эту же точку вниз под углом θ?

2.11. Две большие плоские металлические пластины поставлены вертикаль-

но на расстоянии 4 см друг от друга и заряжены до разности потенциалов в

200 В. а) С какой скоростью должен вылететь горизонтально электрон с по-

ложительной пластины, чтобы он достиг отрицательную пластину со скоро-

стью 107 м/с? б) с какой скоростью надо вылететь электрону с положитель-

ной пластины под углом 370 к горизонтали, чтобы по достижении им отри-

цательной пластины горизонтальная составляющая скорости была равна 107

м/с? в) какова будет величина составляющей скорости по оси y по достиже-

нии отрицательной пластины? г) каково будет в каждом из этих случаев время перелета электрона с одной пластины на другую? д) какой скоростью должен обладать электрон, достигнув отрицательной пластины, если он вы-

летел с положительной пластины горизонтально со скоростью 106 м/с?

13

2.12. Два положительных иона, имеющие одинаковые заряды q, но разные массы m1 и m2 , из состояния покоя ускоряются по горизонтали разностью потенциалов V. Затем они входят в область, где горизонтальное магнитное поле с индукцией B перпендикулярно направлению движения. А) Покажи-

те, что ионы, входящие в поле вдоль оси x, в любой момент времени будут иметь координату y, равную y=Bx2(q/8mV)1/2; б) можно ли такую комбина-

цию полей использовать для разделения изотопов?

2.13. Заряженная капля масла в отсутствие электрического поля падает в воздуже на 4,0 мм за 16,0 с с постоянной скоростью. Плотность масла по отношению к воде равна 0,80, воздуха – 1,20.10-3, а коэффициент вязкости воздуха равен 1,81.10-5 нс/м2. Определите а) радиус капли и б) массу капли;

в) каково отншение электрической силы, действующей на каплю, к силе тяжести, если капля несет один элементарный электронный заряд и поме-

щена в электрическое поле напряженностью 2.105 В/м?

2.14. После того, как капля с параметрами, приведенными в предыдущей задаче, была помещена в электрическое поле, несколько раз было измерено время, за которое она поднималась на высоту 4 мм. Измерения доли значе-

ния 36,0; 11.2; 17,7 и 23 с. Вычислите а) скорость падения под действием силы тяжести; б) скорость подъема в каждом случае; в) суммы скорости опускания и каждой из скоростей подъема; г) покажите что с точностью до двух значащих цифр эти суммы являются целыми кратными от некоторого числа, и объясните этот результат; д) вычислите по этим данным величину заряда электрона.

2.15. Примем, что хлор имеет два изотопа, массовые числа которых точно равны 35 и 37. Каково их процентное содержание в обычном хлоре, имею-

щим атомный вес 35,45?

2.16. Атмосферный кислород содержит 99, 76% 16O, 0,04% 17O и 0,20%

18O. Считая, что массы этих изотопов равны их массовым числам, найдите:

14

а) химический атомный вес кислорода в физической шкале и б) отношение химической шкалы к физической.

2.17. Определите, какую скорость приобретет электрон, если из состояния покоя его ускорить разностью потенциалов, равной 565 В. Пусть далее этот электрон движется в вертикальной плоскости с приобретенной им скоро-

стью и попадает в область, в которой имеется однородное электрическое поле величиной 35 В/см, направленное вниз. Найдите а) координаты элек-

трона через 5.10-8 с после влета его в поле, если вектор скорости составлял с горизонтальным направлением угол 300 и был наклонен вниз, и б) направ-

ление его скорости в этот момент.

Глава 3. Атомистические представления об электромагнитном излуче-

нии

3.1. Содержание главы дисциплины

Частицы или волны. Электричество и свет. Электродинамика. Единство различных видов излучения. Тепловое излучение. Испускание и поглоще-

ние излучения. Излучение черного тела. Законы Вина и Рэлея-Джинса. За-

кон Планка. Квантовый характер излучения. Корпускулярно-волновой дуа-

лизм. Фотоэффект. Электронвольт. Термоэлектронная эмиссия.

3.2. Некоторые формулы

Энергетическая светимость M теплового излучения:

	M	1	cu ,	(3.1)
		4

где c - скорость света, u - плотность энергии теплового излучения Формула Планка для спектральной плотности энергии:

u	3		1		,	(3.2)
	2c3		e / kT 1

где ω - частота излучения, T - абсолютная температура, ћ - постоянная Планка, k - постоянная Больцмана.

15

Коротковолновая граница тормозного рентгеновского спектра излучения:

min

2 c

hc

, или

min

1,29

,

(3.3)

eV

eV

V

где λmin – в нм, напряжение V – в кВ.

Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

A

mv2

(3.4)

max

2

где А – работа выхода.

Давление излучения:

p

Ee

1 w(1 ) ,

(3.5)

c

где w - объемная плотность энергии излучения, Ee N - облученность по-

верхности (энергия всех N фотонов, падающих на единицу площади по-

верхности за 1 с), ρ - коэффициент отражения фотона от поверхности.

Комптоновский сдвиг длины волны рассеянного фотона:

C 1 cos ,

(3.6)

где C 2 mc hmc - комптоновская длина волны частицы

3.3.Примеры задач

3.1.Определите длину волны λ фотона, импульс которого p равен импульсу

pe электрона, прошедшего разность потенциалов V = 10 В.

Решение: Импульс фотона выражается через его длину волны как

p k			2			h	,			(3.7)
где k –		модуль волнового вектора фотона, h 2 . Кинетическая энергия
электрона Ek								p 2	равна изменению его потенциальной энергии	U eV ,
								2m
следовательно, для импульса электрона имеем
pe 2meeV .										(3.8)

Приравнивая (3.7) и (3.8) получим искомую длину волны фотона:

16

			h		= 0, 39 нм , где me и e - масса и элементарный заряд электрона,
			2meeV

соответственно.

3.2. Определите температуру, при которой средняя энергия молекул трех-

атомного газа E равна энергии фотонов, соответствующих излучению с λ

= 500 нм.

Решение: Средняя энергия молекулы

E 2i kT ,

где i – число степеней свободы (для трехатомного газа ная Больцмана. Энергия фотона

E 2 c hc .

(3.9) i = 6), k – постоян-

(3.10)

Приравнивая, согласно условию задачи, (3.9) и (3.10), получим искомую температуру:

	T	2hc	= 9610 К.	(3.11)
		ik

3.3. Определите, во сколько раз максимальная кинетическая энергия Еmax

фотоэлектронов, вырываемых с поверхности цинка (работа выхода A = 4,0

эВ) монохроматическим светом с длиной волны λ = 220 нм, превосходит среднюю энергию теплового движения электронов при температуре T= 300

К.

Решение: В соответствии с уравнением Эйнштейна

	h A	mv2
		max	.	(3.12)
		2

Учитывая, что c , получаем

17

	Eк	hc	A .		(3.13)
	Средняя энергия теплового движения электронов
	E 3			kT ,	(3.14)
	2

где k – постоянная Больцмана, Т - термодинамическая температура. Тогда

	Ек		hc / A		2 hc / A		42,5
	E		3kT / 2		3kT

3.4. На поверхность металла падает излучение с длиной волны 280 нм.

При некотором задерживающем напряжении фототок прекращается. При изменении длины волны излучения на =20 нм задерживающий потенци-

ал пришлось увеличить на ΔV = 0,34 В. Определите заряд электрона e, счи-

тая известными постоянную Планка ћ и скорость света с.

Решение: Так как задерживающий потенциал пришлось увеличить, то дли-

на волны уменьшилась. Запишем уравнения Эйнштейна для двух длин волн

(λ и λ + Δλ):

	h	c	A eV ;	hc	A e V V .

Вычитая первое уравнение из второго, получим

1

1

e V

,

hc

откуда

e

hc

1

1

hc

V

V

(3.15)

(3.16)

(3.17)

3.5. Давление p монохроматического света с длиной волны λ=500 нм на по-

верхность с коэффициентом отражения ρ=0,3, расположенную перпендику-

18

лярно падающему свету, равно 0,2 мкПа. Определите число фотонов, по-

глощаемых ежесекундно 1 м2.

Решение: Давление, производимое светом при нормальном падении на по-

верхность,

	p =				Ee			(1+ρ),		(3.18)
					c
	где Ee									- облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих
								N h
	на 1 м2 поверхности за 1 с).
	Так как c / , то
	p=			N h				(1+ρ),		(3.19)
	откуда число фотонов, падающих на 1 м2 поверхности за 1 с,
								p
	N		(1					)h .		(3.20)

Исходя из определения коэффициента отражения, получим, что искомое число фотонов, поглощаемых ежесекундно 1 м2 поверхности,

N (1 )N .						(3.21)
Подставив выражение (1.21) в формулу (1.20), найдем
N	p		1		8,12 1019	м-2·с-1
	h 1

3.6. На идеально отражающую плоскую поверхность нормально падает мо-

нохроматический свет с длиной волны λ=0,55 мкм. Поток излучения Фе со-

ставляет 0,45 Вт. Определите: 1) силу давления, испытываемую этой по-

верхностью; 2) число фотонов N, ежесекундно падающих на поверхность.

Решение: По условию задачи коэффициент отражения ρ = 1. Сила светового давления на поверхность с площадью S

F pS ,

(3.22)

19

где световое давление

p	Ee	(1 )	Фe	(1 )	(3.23)
	c		cS
( Ee - энергетическая облученность;					поток излучения Фе=ЕеS). Подставив
выражение (3.23) в формулу (3.22), найдем искомую силу давления:

F Ф (1 ) / c 3 ∙10-9				Н
	e
Поток излучения (мощность излучения)
Ф N		Nhc	,	(3.24)
e

где N – число фотонов, ежесекундно падающих на поверхность, ε h hc /

- энергия фотона. Искомое число фотонов, согласно формуле (3.24), равно:

N Ф /(hc) 1,24 1018	с 1 .	(3.25)
e

3.7. Фотон с энергией Е=0,23 МэВ рассеялся на первоначально покоящемся свободном электроне. Определите кинетическую энергию электрона отда-

чи, если длина волны рассеянного фотона изменилась на 15%.

Решение: Кинетическая энергия электрона отдачи, согласно закону со-

хранения энергии, равна разности между энергией падающего фотона и энергией Е' рассеянного фотона:

Ек E E . (3.26)

В результате эффекта Комптона длина волны рассеянного излучения увели-

чивается, поэтому, по условию задачи,

	0,15									(3.27)
	Энергии падающего и рассеянного фотонов равны соответственно
	E hc /				и E hc / hc /( ) ,
	откуда hc / E ; учитывая (3.27), получаем
				hc		hcE		E
	E		1,15		1,15hc		1,15 .			(3.28)

20