новая папка 1 / 231810

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

z

p

y

0

n

x

Общее

уравнение

приводится

к

нормированному

виду

умножением

его на

нормирующий

множитель

1

,

знак которого

выбирается

A2

B 2

C 2

противоположным знаку свободного члена уравнения D . С учетом геометрического

смысла параметра

p

в уравнении,

для нахождения расстояния от точки M 0 ( x0 , y0 , z0 )

до плоскости применима формула:

d

Ax0

By0

Cz0

D

.

A2

B 2

C 2

Если

две

плоскости

S1

и

S2

заданы

общими

уравнениями

A1 x

B1 y

C1 z

D1

0

и

A2 x

B2 y

C2 z

D2

0 ,

то

угол

между

этими

плоскостями определяется равенством: cos

A1 A2

B1 B2

C1C2

.

A2

B 2

C 2

A2

B 2

C 2

1

1

1

2

2

2

Условие параллельности

плоскостей

S1

и

S2

выражается

пропорцией:

A1

B1

C1

, а условие перпендикулярности – равенством: A A

B B

C C

0 .

2

2

A2

B2

C2

1

2

1

1

Задание

Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси OX отрезок OA 3 и перпендикулярной вектору N 2; 3;1 .

Решение

По условию точка A(3;0;0) принадлежит искомой плоскости. Тогда уравнение данной плоскости имеет вид: 2(x 3) 3( y 0) (z 0) 0 или 2x 3y z 6 0.

Задание

Составить уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки

(1;0;1) и ( 2;1;3) .

Решение

12

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Уравнение плоскости, параллельной оси Oz , имеет вид Ax By D 0. Подставив в уравнение координаты заданных точек плоскости, получим систему для определения

коэффициентов уравнения:

A 1

B 0 D

0

D

A,

B

3A ,

A (

2)

B 1

D 0

т.е.

Ax

3Ay

A

0 или x 3y

1

0 .

Задание

Установить,

что

плоскости

с

уравнениями 2x

3y

4z

1

0 и

5x

2y

z 6

0 перпендикулярны.

Решение

Запишем нормальные векторы данных плоскостей: N1

{2;3;

4} и N2

{5; 2;1}.

Если плоскости

перпендикулярны,

то

скалярное

произведение

0 . Имеем

N1 N 2

2 5

3 (

2)

( 4) 1

0 .

Задание

Найти расстояние от точки

A(2,4,3) до плоскости S , проходящей через точки

M1 (

1;4;1),

M 2 (2;

4;3)

и M 3 (5;

4;2) .

Решение

x

x1

y

y1

z

z1

По

формуле

x2

x1

y2

y1

z2

z1

0 найдем

уравнение

плоскости:

x3

x1

y3

y1

z3

z1

x 1

y

4

z

1

3

8

2

0,

или 8(x

1)

9(y

4)

24(z

1)

0,

следовательно,

искомое

6

8

1

уравнение имеет вид:

8x

9y

24z

52

0 . Расстояние от точки A до плоскости

определим с помощью формулы:

Ax0

By0

Cz

D

d

0

d

16 36

72

52

72

72 721

.

721

A2

B 2 C 2

64

81 576

721

ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ

1)Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси OX отрезок OA 2 и перпендикулярной вектору N 2;3;1 .

2)Составить уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки

(1;1;1) и ( 2;1;4) .

3)Установить, что плоскости с уравнениями x y 4z 1 0 и 3x y 2z 4 0 перпендикулярны.

13

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4) Найти расстояние от точки A(1,2,3) до плоскости S , проходящей через точки

M1 (1; 4;1), M 2 ( 2; 4;3) и M 3 (5;4; 2) .

5)Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси OX отрезок OA 1 и перпендикулярной вектору N 5;2; 2 .

6)Составить уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки

(1;0;1) и ( 2;1;3) .

7)	Установить,		что	плоскости	с уравнениями 2x y	3z	2 0 и
	x 2y	z 3	0 перпендикулярны.
8)	Найти	расстояние		от точки	A(1,8,5) до плоскости	S ,	проходящей через точки

M1 (2;3;1), M 2 ( 1;4;7) и M 3 (6; 3;2) .

9)Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси OX отрезок OA 5 и перпендикулярной вектору N 1;1;1 .

10)Составить уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки

(2;0; 2) и ( 2;1;3) .

3.3 Прямая в пространстве

Теоретический материал

Прямая

линия

в

пространстве

задается

как

пересечение

двух

плоскостей

A1 x B1 y C1 z D1

0,

A2 x B2 y C2 z D2

0,

при этом данные уравнения называют общими уравнениями этой прямой.

Если прямая L

проходит через точку

M 0 (x0 , y0 , z0 ) параллельно направляющему

вектору

q {l, m, n} ,

то канонические

уравнения прямой в

пространстве

определяются системой равенств:

x

x0

y

y0

z

z0

.

Вводя

параметр

t ,

от

l

m

n

канонических уравнений осуществляем переход к параметрическим:

x

x0

lt,

y

y0

mt,

z

z0

nt.

Если прямая L проходит через точки M1 (x1 , y1 , z1 )

и M 2 (x2 , y2 , z2 ) , то в

качестве

направляющего вектора прямой принимается вектор M1M 2

{x2

x1 , y2

y1 , z2

z1} .

Тогда уравнения прямой примут вид:

x

x1

y

y1

z

z1

.

x2

x1

y2

y1

z2

z1

Для

перехода от общих уравнений прямой к каноническим необходимо найти на

i

j

k

прямой точку M1 (x1 , y1 , z1 )

и направляющий вектор q

A1

B1

C1

.

Углом

A2

B2

C2

14

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

между прямыми, заданными каноническими уравнениями

x

x1

y y1 z

z1

и

l1

m1

n1

x

x2

y

y2

z

z2

,

является

угол

между

направляющими

векторами

l2

m2

n2

и

{l2 , m2 , n2 },

определяемый

равенством:

q1

{l1 , m1 , n1}

q2

cos

l1l2

m1m2

n1n2

.

l 2

m2

n 2

l 2 m2

n 2

1

1

1

2

2

2

В частности,

если прямые L

и

L

параллельны,

то

l1

m1

n1

. Если прямая L

2

1

l2

m2

n2

1

перпендикулярна прямой L2 , то справедливо равенство l1l2

m1m2

n1n2

0 .

Задание

Найти канонические уравнения прямой, образующей с осями координат углы

,

3

,

2

и проходящей через точку M 0 ( 1;0;5) .

4

3

Решение

В качестве направляющего вектора q

можно принять единичный вектор данной

прямой.

Его

координатами

являются

направляющие

косинусы:

1

i

2

1

.

q

cos

i

cos

j

cos

k

j

k

2

2

2

По

формуле

x

x0

y

y0

z

z0

найдем

канонические

уравнения

l

m

n

x

1 y

0

z

5

или

x

1

y

z

5

.

1

1

2

1

2

1

2

2

2

Задание

Составить уравнение

прямой,

проходящей через

точку

A(

2;3;1)

параллельно

прямой

x 2 y z 2 0 2x 3y z 1 0.

Решение

Чтобы записать канонические уравнения прямой, найдем

		i		j		k									x 2		y 3		z 1
																				.
q		1	2			1				5i j 7k. Искомое уравнение, имеет вид
															5		1		7
		2	3			1

15

																															Задание
		Найти угол между прямыми L :																											x			y	4z	2	0,			и L			:		x		1				y			2				z		1	.
																																								2
																											1		2x y 2z 3 0														3						2						4
																															Решение
																																																								i				j			k
		Направляющий													вектор										прямой						L1	определим						по		формуле:																										,
																																																		q1					A1				B1				C1
																																																							A2				B2				C2
			i		j			k
q1			1	1				4						6i		6 j						3k. Тогда искомый угол:
			2	1				2
				arccos												18	12						12									arccos		2	29		.
													9		4	16							36				36	9						29
																											ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ
1)		Найти						канонические														уравнения									прямой,			образующей									с		осями							координат											углы
						,								,			2						и проходящей через точку M 0 (																		1;0;5) .
				2				2									3
2)		Составить уравнение																				прямой,						проходящей							через				точку A(2;										3;			1)				параллельно
		прямой						x					2 y			z	2						0
								2x						3y		z	1						0.
3)		Найти угол между прямыми L :																											x			2 y	4z		2			0,	и	L			:	x	1					y		2					z	1			.
																																										2
																											1		2x 3y 2z 3 0																3							2						4

4)Найти канонические уравнения прямой, образующей с осями координат углы

6 , 4 , 3 и проходящей через точку M 0 (1;1;4) .

5)

Составить

уравнение

прямой,

проходящей через

точку

A(0;

3;1)

параллельно

прямой

3x 2 y 4z 2 0

2x

3y

z 1

0.

6)

Найти угол между прямыми L :

x 3y 4z

1 0, и

L

:

x

1

y

2

z 1

.

1

x y z 5 0

2

1

2

1

7)

Найти канонические

уравнения прямой,

образующей

с осями

координат углы

,

,

2

и проходящей через точку M 0

(3;1;7) .

3

6

3

8)

Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(

2;

3; 1)

параллельно

прямой

x 3y z 2 0

2x

3y

7z

5 0.

16

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

9) Найти угол между прямыми L :

x y

4z

2

0, и L

:

x

1

y

2

z

1

.

1

2x y 2z 3

0

2

1

5

4

10) Найти канонические уравнения

прямой,

образующей с

осями

координат углы

,

2

,

и проходящей через точку M 0 (3;5;0) .

3

3

2

3.4 Плоскость и прямая в пространстве

Теоретический материал

Угол

между

прямой

L :

x

x0

y

y0 z

z0

и

плоскостью

l

m

n

S : Ax

By

Cz D

0

определяется

с

помощью

формулы:

sin

Al

Bm

Cn

.

l 2

m 2

n 2

A2

B 2

C 2

В

частности,

если

прямая

параллельна

плоскости,

то

справедливо

равенство:

Al Bm Cn 0 ,

в

случае

перпендикулярности

прямой

и

плоскости

выполняется

условие:

A

B

C

.

l

m

n

Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости уравнение прямой следует

привести к параметрическим уравнениям
x	x0	lt,
y	y0	mt и подстановкой x, y, z	в уравнение плоскости определить параметр t ,
z	z0	nt
соответствующий точке пересечения.
			Задание
При	каких значениях B и		C	прямая	x 3		y 2		z 2	и плоскость
					1		B		C
3x 2y	5z	0 перпендикулярны?

Решение

Условие перпендикулярности прямой и плоскости равносильно условию

параллельности их векторов q 1; B; C											и N 3; 2;5						.	Соответствующие координаты
этих векторов должны быть пропорциональными														1			B		C	. Отсюда B	2	, C	5	.
											3						2	5			3		3
											Задание
		Составить						уравнение плоскости,			содержащей						точку M1 (3;1;0)				и	прямую
	x	4 y				z	1	.
	1			2		3

17

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Решение

Из

уравнения

прямой

известны

к

ординаты

точки

M 0

4;0;1

на

ней

и

направляющего вектора q

1;2;3

. Пусть M (x; y; z) – текущая точка плоскости. Тогда

векторы

M 0 M ,

M 0 M1 , q

лежат

в

одной плоскости,

т.е. компланарны. Условие

компланарности векторов будет искомым уравнением:

0 .

Имеем:

M 0 M M 0 M 1

q

M 0 M

x

4; y; z

1 ,

M 0 M 1

1;1;

1 .

Уравнение

искомой

плоскости имеет вид

x

4

y

z 1

1

1

1

0 .

1

2

3

Раскрывая определитель по элементам первой строки, получим искомое уравнение:

5x

2y

3z 17

0.

Задание

Найти

точку

пересечения прямой

x

12

y

9

z 1

и

плоскости

4

3

1

3x

5y

z

2

0 .

Решение

Приведем уравнение прямой к параметрическому виду, приравнивая параметр t

каждому из трех данных отношений,

x

12 4t , y

9

3t ,

z

1 t . Подставим x,

y и

z

в уравнение плоскости

3(12

4t)

5(9 3t) (1 t) 2

0 ,

откуда получаем

t

3.

Искомая точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты: x

12 4( 3)

0 ,

y 9 3( 3) 0 , z 1 3 2 .

ВОПРОСЫ ЗАДАНИЙ

При каких значениях

B

и C

прямая

x

3

y

1

z

2

и плоскость

1

B

C

x 2y 3z

0 перпендикулярны?

1)

Составить

уравнение

плоскости,

содержащей

точку

M1 (3;2;1)

и

прямую

x

4

y

1

z

1

.

1

2

3

2)

Найти

точку

пересечения

прямой

x

1

y

9

z

1

и

плоскости

2

3

1

3x 5y z 3 0 .

При каких значениях

B

и C

прямая

x

2

y

7

z

2

и плоскость

2

B

C

3x

y

z

0 перпендикулярны?

3)

Составить

уравнение

плоскости,

содержащей

точку

M1 (1;1;1)

и

прямую

x

y

5

z

1

.

1

2

3

18

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4)

Найти

точку

пересечения

прямой

x

11

y 8

z

2

и

плоскости

4

3

1

5x

y

z

7

0 .

При каких значениях

B

и C

прямая

x

1

y

2

z

2

и плоскость

4

B

C

3x 2y 5z 3

0 перпендикулярны?

5)

Составить

уравнение

плоскости, содержащей

точку

M1 (3;2; 2)

и прямую

x

4

y

3

z

1

.

1

2

1

6)

Найти

точку

пересечения

прямой

x

7

y

9

z

и

плоскости

4

3

1

3x 5y 2z 3 0 .

При каких значениях

B

и C

прямая

x

3

y

2

z

2

и плоскость

5

B

C

3x 3y

z 9

0 перпендикулярны?

3.5 Канонические формы уравнений окружности и эллипса, гиперболы, параболы Теоретический материал

Определение: Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для

которых сумма

расстояний до двух фиксированных точек F1

и

F2

этой плоскости,

называемых фокусами, есть величина постоянная.

Если начало координат прямоугольной системы координат на плоскости есть

середина отрезка F1 F2 , длина которого равна 2c ,

и фокусы F1

и F2

расположены на

оси абсцисс, то каноническое уравнение эллипса имеет вид:

x 2

y 2

1, где параметры

a 2

b2

a

и b

называются соответственно

большой

и малой полуосями эллипса,

причем

c2

a2

b2 .

Если параметры a и b равны между собой, то уравнение x 2

y 2

a 2 определяет

окружность радиуса a с центром в начале координат.

y

.b

-a. F.1

F2

. .a

-c 0

c

x

-b.

Определение:

Эксцентриситетом

эллипса

называется

величина

e

c

,

a

характеризующая меру вытянутости эллипса.

19

Определение: Директрисой эллипса, отвечающей фокусу Fi (i 1,2) , называется прямая, расположенная в полуплоскости Si (i 1,2) перпендикулярно большой оси

эллипса на расстоянии ae от его центра. В выбранной системе координат уравнения

директрис имеют вид: x ae .

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и

F2

этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Если фокусы гиперболы расположены на оси абсцисс симметрично началу координат,

то

каноническое

уравнение

гиперболы

имеет

вид:

x 2

y 2

1, где параметр

a

a 2

b2

называется

действительной

полуосью,

параметр b

– мнимой

полуосью, а

длина

отрезка F F

2c , причем c2

a2 b2 .

1

2

y

b

F1

a

F2

-c. .-a

0

c.

x

-b

Определение:

Эксцентриситетом

гиперболы

называется

величина

e

c

,

a

характеризующая значение угла между асимптотами гиперболы, которыми являются диагонали прямоугольника с вершинами {( a;b);(a;b);(a; b);( a; b)}.

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид: y ba x .

Определение: Директрисой гиперболы, отвечающей фокусу Fi (i 1,2) , называется прямая, расположенная в полуплоскости Si (i 1,2) перпендикулярно действительной

оси гиперболы на расстоянии ae от ее центра.

Уравнения директрис гиперболы имеют вид: x ae .

Определение: Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, расположенной в рассматриваемой плоскости. При этом точка F называется фокусом параболы, а фиксированная прямая

директрисой параболы.

20

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Если начало системы координат является серединой отрезка FD , представляющего

собой перпендикуляр, опущенный из	фокуса	F	на	директрису, то каноническое
уравнение параболы имеет вид: y 2	2 px ,	где	p	– расстояние от фокуса до
директрисы.

Задание

Составить уравнение окружности, диаметром которой является отрезок, отсекаемый координатными осями от прямой 3x 2y 12 0 .

Решение

На чертеже изображена заданная в условии прямая, она пересекает координатные оси в точках A( 4;0) , B(0;6) .

1) Центром

окружности является точка

M 0 (x0 ; y0 )

– середина отрезка AB .

Координаты

этой

точки определим

по

формулам

деления отрезка пополам:

x0

4

0

2 ,

y0

0

6

3, M 0 ( 2;3) .

2

2

2)	Радиус R AM 0 M 0 B , R ( 4 2)2 (0 3)2 13 .
3)	Каноническое уравнение искомой окружности имеет вид: x 2 2 y 3 2 13 .

Задание

Составить уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ox , если расстояние между фокусами равно 6, а большая ось 10.

21