новая папка 1 / 603896

Если

i

с фиксированным

, то

при

резольвента

ограничена по норме и, значит,

R(

i )x

0

при

(x

D(A))

(2.10)

Далее, из (2.7) находим

R(

i )x

e i t e

tU (t)xdt

(2.11)

0

При фиксированном

и

последний интеграл стремится к

нулю в

силу теоремы

Римана

- Лебега.

Более

того, если

1

, то

семейство

(t)

e

tU (t)x

(

1

)

компактно в L , и поэтому интеграл

1

(2.11) стремится к нулю равномерно по

, т.е.

R(

i )x

0 равномерно по

(x D(A)).

Соотношения (1.10) и (1.11) говорят о том, что

R(

)x

0 при

(x D( A)).

Так

как R(

i ) при фиксированном

равномерно

ограничена и

стремится к нулю на плотном множестве D(A) , то (1.10) справедливо при любом x E .

3.Единственность и корректность.

Внекоторых случаях из существования и единственности решений

задачи Коши следует ее корректность.	Для уравнения	f (x)	c		x		(x E) с
замкнутым оператором A при любом	x0 D(A) существует единственное

решение задачи Коши, непрерывно дифференцируемое на 0,T .

Заметим, что для равномерно корректной задачи Коши производная решения непрерывна на 0, :

dU (t)x0 U (t) Ax0 .

dt

11

Введем на

D(A) норму

x

A

x

Ax

и превратим его в банахово

пространство EA . Через C(EA ) обозначим пространство всех непрерывных на

0,T функций x(t) со значениями в EA с обычной нормой

x

c

max

x(t)

A .

0 t

T

Каждому x0

EA

ставится

в соответствие

решение задачи

Коши

x(t) ,

которое в силу условия E

принадлежит пространству C(EA ) . Таким

образом определяется линейный оператор

F из EA в C(EA ) : Fx0

x(t).

Покажем, что

этот

оператор

замкнут.

Пусть

x(n)

x

в

E

A

и

0

0

Fx(n)

x (t)

(t) в

C(E ) .

Тогда,

в частности,

dxn

Ax (t)

A (t)

в E

0

n

A

dt

n

равномерно по t , поэтому в тождестве

x(n)

t

dx

x (t)

n

dt

n

0

dt

0

можно перейти к пределу. Получим

t

(t)

x0

A (t)dt .

0

Отсюда следует, что (t) является решением задачи Коши с начальным

значением x0 , непрерывно дифференцируемым

на

0,T .

В

силу

единственности такого решения

(t)

Fx0 , т. е. оператор F замкнут.

Из замкнутости оператора F следует его ограниченность, так как он определен на всем пространстве EA .

Таким образом, для решений задачи Коши имеет место неравенство

x(t)

A k

x0

A (0

t T )

(2.1)

Можно представить решения задачи Коши через некоторую

полугруппу

U (t)

ограниченных

в

EA

операторов:

x(t) U(t)x0 (ограниченность операторов U (t)

следует из неравенства (2.1)).

Из условия вытекает, что эта полугруппа удовлетворяет C0 - условию.

12

Естественно поставить вопрос о нахождении производящего оператора полугруппы U (t) . Для ответа на этот вопрос предварительно покажем, что на

D(A2 ) операторы U (t) и A коммутируют. Пусть x

D(A2 ) ;

тогда функции

0

U(t)Ax0 и

dU (t)Ax0

AU (t) Ax0 — непрерывны на

0,T и поэтому

dt

t

t

U (t)Ax0

Ax0

AU (t)Ax0dt

A x0 U (t)Ax0dt .

(3.2)

0

0

Функция, стоящая в скобках,

t

z(t)

x0

U (t) Ax0dt

0

непрерывно дифференцируема на 0,T , и ее производная

dz

U (t)Ax0

Az(t)

dt

в силу (3.2).

Из единственности

решения

задачи

Коши

следует, что

z(t) U(t)x0 . Тогда (3.2) перепишется в виде

U(t)Ax AU(t)x

(x D(A2 )) .

0

0

0

Из этого соотношения вытекает, что при x

D(A2 ) и t

0

0

U ( t) I

x

Ax

(в E )

t

0

0

и

A

U ( t) I

x

U ( t) I

Ax

A2 x

(в E ),

t

0

t

0

0

т. е. функция U(t)x0

дифференцируема в нуле в норме пространства EA . Ее

производная в нуле равна Ax0 . Таким образом,					оператор U (0) определен на
D(A2 ) и на нем совпадает с A . Обратно, если x					D(U (0)), то
				0
	U ( t) I	x	Ax	(в E )
	t	0	0
					13

и выражение

A	U ( t) I	x
	t	0

также имеет предел в E . Из замкнутости A следует, что Ax0 D(A) , т. е. x0 D(A2 ) .

Мы приходим к утверждению:

Теорема 3.1. Если для уравнения	f (x)	c			x			(x E) выполнено
условие E , то для этого уравнения в пространстве					EA			будет равномерно
корректной задача Коши с начальным условием x(0)					x			D(A2 ) .
					0
При дополнительном условии из E		вытекает равномерная
корректность задачи Коши в исходном пространстве.
Теорема 3.2. Если выполнено условие E		и оператор A имеет хотя

бы одну регулярную точку, то задача Коши равномерно корректна в пространстве E .

Доказательство. Пусть

0

- регулярная точка оператора A ,

x0 D(A) и

y

R(

0

)x

. Очевидно,

y

D(A2 ) , поэтому

0

0

0

U(t)x0 U(t)Ay0

0U(t)y0

AU(t)y0

0U(t)y0 .

Отсюда

AU (t) y0

0

U (t) y0

M0

U (t) y0

E

.

U (t)x0

A

В силу (2.1)

M0C(

y0

Ay0

) M0C(

y0

x0

0 y0

) M1 (

x0

y0

)

U (t)x0

Так как

y0

R( 0 )x0

R( 0 )

x0

,

то

M

x0

(0 t T ) ,

U (t)x0

14

откуда следует равномерная корректность задачи Коши.

Теорема доказана.

Если условие E заменить более слабым:

E 0 : Оператор A замкнут и для любого x0 D(A) существует единственное решение задачи Коши, производная которого непрерывна на 0,T и суммируема на 0,T то для оператора A с регулярной точкой можно доказать равномерную корректность задачи Коши. Делается это аналогично

предыдущему с той разницей, что оператор F ,

ставящий в соответствие x0

решение задачи Коши x(t)

, рассматривая теперь как оператор пространства

EA

в пространство функций S(EA ) , непрерывных на

0,T и суммируемых

на

0,T . Это пространство является полным в метрике

d

x, y

2

n

x

y

n

,

1

x

y

n 0

n

T

где

x(t)

dt и

x

0

x

n

sup

x(t)

.

0

1/n t T

Неравенство (3.1) получается с константой, зависящей от t . Из него следует корректность задачи Коши.

Получить корректность задачи Коши только из существования и единственности решения задачи Коши не удается, так как в пространстве

функций только непрерывных в норме EA на 0,T ,		по-видимому, нет
топологии, в которой оно было бы полным, а оператор F — замкнутым.
Аналогично теореме 3.2 доказывается следующее утверждение:
Теорема 3.3. Если оператор A имеет регулярные точки и для каждого
x D(An ) ( n фиксировано) существует единственное		n раз непрерывно
0
дифференцируемое решение задачи Коши для уравнения		f (x)		c		x		(x E) ,

то задача Коши для этого уравнения равномерно корректна.

15

При доказательстве D(An ) превращается в банахово пространство с помощью нормы

		n
x		n			Ak x		.
		k	0

Литература.

1.Ладыженская О.А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / О.А. Ладыженская, В.А. Солонников, Н.Н.

Уральцева. - М. : Наука, 1967. – 637 с.

Учебное пособие для вузов

Составители: Савченко Галина Борисовна

16