новая папка 2 / 102994

		F	0		F			0	f (t) ( f , f ) ( f 0 ,0).
T 3				:				,
		x			x
3									1
		3				3

Тогда уравнение (11) примет вид

T 3	x	T 2	x	T x	3	x	3
3	3	2	3	1					k3	x2 k	4 f1 (t) .	(13)
						k1 x1 k2 x2

В случае, если нелинейная функция F не содержит величины х3, а содержит только ее производные, т.е. если

F 0

= 0x3

		F	0		F	0
в формулах (12) необходимо заменить							. В результате по-
		x3		на	x3

лучится уравнение

2		T1			k1 x1 k	2 x2 k		k4 f1 (t)	(14)
T2	x3		x3	x3			3 x2

где

		F	0		F			0
T1				:				,
		x			x
						3
		3

T22		F	0		F			0
				:				, …
		x			x
						3
		3

Уравнения (13) и (14) удобнее записывать в символьном форме, автоматически выделяя характеристический полином системы, введя алгеб-

раизированный оператор дифференцирования p dtd . Тогда уравнение (13)

примет вид

(T 3 p3	T 2 p 2	T p 1) x	3	k	x	(k	2	k	3	p) x	2	k	4	f	1	(t),	(15)
3	2	1		1	1

а уравнение (14)

(T 2 p 2	T p 1) p x	3	k	x	(k	2	k	3	p) x	2	k	4	f	1	(t),	(16)
2	1		1	1

Здесь в (15) и (16) в скобках в левой части выделен характеристический полином системы.

Стандартные формы записи уравнений систем (13) и (14) или их сокращенные виды (15) и (16) можно использовать как для размерных отклонений реальных величин на входе и выходе системы, так и для любых без-

11

размерных относительных отклонений, специально иногда вводимых для упрощения вида уравнений и удобства их исследования. При записи уравнений в стандартной форме коэффициенты к1, к2, к3, к4 называются коэффициентами передачи, а Т1, Т2. Т3 – постоянными времени данной системы.

Термин «коэффициент передачи» можно пояснить следующим обра-

зом. Если подать на вход системы только постоянное значение х10 и найти установившееся значение выходной величины х30, то из (13) получим х30 = к1 х10 . Таким образом, коэффициент к1 показывает отношение вы-

ходной величины системы к входной в установившемся режиме. Постоянные времени Т1, Т2. Т3, как следует из уравнений (13) и (14),

имеют размерность времени. Возвращаемся к нашей задаче.

Функцию (3) линеаризуем в окрестности точки pq 0 , f f m ax путем

разложения ее в ряд Тейлора с точностью до величин первого порядка малости

Qqp

k f

f k p pq ,

(17)

где

1

1

Qqp

2

Qqp

1

2

2

k

f

p

k p

fm ax

f

н

Pq

f fm ax

f fm ax

2 pн

pq 0

;

pq 0

.

Максимальное значение площади проходного сечения рабочего окна дросселя при торможении определяется по формуле:

fm ax 0

F 3

2(Fpн

mnWT ) ,

(18)

где

0

- начальная скорость поршня;

W

T - заданное ускорение торможения;

- коэффициент потерь( 2 ).

Здесь

q10

, W

q10

.

0

i

T

i

tT

Таким образом, система уравнений (7) примет вид

mn

d

Fpq

dt

V

dpq

Qqp F

0

2E

dt

Qqp k f f k p pq

.

(19)

12

Решив систему уравнений (10), получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:

V0mn ** k p mn * F k f f 2EF F

Разделив обе части уравнения на коэффициент при старшей производной, получим

**	k p E *		2F 2 E		2EFkf
2						f
	V0		V0mn		V0mn

или

2 h k 2 k

f ,

(20)

где

h

k p E

- коэффициент затухания,

V0

1

2F 2 E

2EFkf

2

k

- частота свободных

колебаний привода,

kv

- коэффи-

V0 mn

V0 mn

циент усиления по скорости.

Закон изменения площади проходного сечения рабочего окна дроссе-

ля при торможении по времени имеет вид

t

f f

(1

t

)

f f

fmax T dt

m ax

max

tT

tT

0

или

,

(21)

где t - текущее значение времени при торможении.

Вводим алгебраизированный оператор дифференцирования p dtd .

Уравнение (20) примет вид

( p 2 2hp k 2 )v kv f m ax (1	t	) ,	(22)
	tT

Здесь p2 + 2hp + k2 – характеристический полином рассматриваемой системы.

Найдем корни характеристического полинома:

p1,2 h h2 k 2 .

Возможны два случая:

1)h ≥ k, тогда оба корня характеристического полинома вещественные отрицательные. В этом случае общее решение уравнения

13

(22) имеет вид

vобщ C1e( h h2 k 2 )t C2 e( h h2 k 2 )t ,

где С1 и С2 постоянные интегрирования. Они находятся из начальных условий задачи.

2)h < k, тогда корни комплексные с отрицательной вещественной частью. В этом случае общее решение уравнения (22) можно записать, например, в виде

vобщ С1e ht sin(k 2 h2 )t С2 e ht cos(k 2 h2 )t .

Частное решение ищем в виде vч =А + Bt, найдем А и В.

vч B ,	vч 0 .
Подставим их в уравнение (20)
2hB k 2 ( A Bt) kv f m ax (1		t	) .	(23)
		tT

Приравниваем коэффициенты в левой и правой частях уравнения (23) при членах содержащих t. Получим

k 2 B kv f m ax ,
tT
Отсюда находим
B kv fmax .	(24)
k 2tT

Приравниваем коэффициенты в левой и правой частях уравнения (23) при членах не содержащих t. Получим

2hB k 2 A kv f m ax .
Отсюда находим
A	kv f m ax	(1	2h	) .	(25)
	k 2		k 2 tT

14

Решение уравнения (22) имеет вид v(t) = vобщ + vч .

Рассмотрим первый случай, когда корни характеристического уравнения вещественные отрицательные. Тогда

v(t) A Bt C e( h

h2 k 2 )t C

e( h h2 k 2 )t

(26)

1

2

Начальные условия нашей задачи имеют вид

q10

,

при t = 0,

0

i

0

0 ,

при t = tT.

Подставим их в (24), получим систему для нахождения С1

и С2 .

q10

A C C

,

2

i

1

0 A Bt C e( h h2 k 2 )tT

C

e( h h2 k 2 )tT .

T

1

2

Отсюда

qi0

C2

A Bt

T

(

A)e( h h2 k 2 )tT

i

,

e( h

2

2

e( h h

2

2

h

k

)tT

k

)tT

C

q10

C

A ,

2

1

i

где А и В определяются формулами (24) и (25).

Рассмотрим второй случай, когда корни характеристического полинома комплексные с отрицательными вещественными частями. Тогда

v(t) A Bt С e ht sin(			e ht cos(
	k 2 h2 )t С			k 2 h2 )t		(27)
1	2

Подставив в (27) начальные условия, получим систему уравнений для определения С1 и С2 , решив которую получим формулы для их определения

C2 qii0 A

15

A(e htT cos

/ i)e htT cos

C

k 2 h2 t

T

1) Bt

T

(q

i0

k 2 h2 t

T

.

1

e

htT sin k 2

h2 t

T

Значения А и В, как и ранее, определяются формулами (24) и (25).

4. ПОРЯДОК ОФОРМЛЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

1.Определить массу колонны, стрелы и рукояти манипулятора, полагая, что масса стрелы составляет две трети от массы колонны, а масса рукояти составляет две трети от массы стрелы.

2.Составив кинетическую энергию манипулятора с грузом, найти приведенную к штоку гидроцилиндра привода колонны массу конструкции.

3.Используя полученную математическую модель (11), найти закон изменения скорости штока привода колонны в зависимости от времени.

4.Построить графики изменения скорости штока привода колонны от времени для приведенных в исходных данных конфигураций манипулятора при времени торможения 0,1 с. и 0,5 с.

5.Выполнить анализ полученных результатов.

16

											Таблица 1
№	q10 ,							lк,	lстр,	lр,	mгр,
варианта		1/с						м	м	м	103 кг
1	2							3	4	5	6
А								2,0	2,5	3,0	1,0
Б								2,5	3,0	3,5	0,8
В				3,5				3,0	3,5	4,0	0,6
Г								3,5	4,0	4,5	0,4
Д								2,0	2,5	3,0	1,2
Е								2,5	3,0	3,5	1,0
7ж	3,5							3,0	3,5	4,0	0,8
З								3,5	4,0	4,5	0,6
И								2,0	2,5	3,0	0,8
К								2,5	3,0	3,5	0,6
Л	3,5							3,0	3,5	4,0	0,4
М								3,5	4,0	4,5	0,2
Н								2,0	2,5	3,0	1,0
О								2,5	3,0	3,5	0,8
	4
П								3,0	3,5	4,0	0,6
Р								3,5	4,0	4,5	0,4
С								2,0	2,5	3,0	1,2
Т								2,5	3,0	3,5	1,0
У	4							3,0	3,5	4,0	0,8
Ф								3,5	4,0	4,5	0,6
Х								2,0	2,5	3,0	0,8
Ц								2,5	3,0	3,5	0,6
Ч	5							3,0	3,5	4,0	0,4
Щ								3,5	4,0	4,5	0,2
Ш								2,5	2,5	3,0	1,0
	4
Э								3,0	4,0	4,0	0,8
	4
Ю								3,5	3,5	4,5	0,6
	4
Я								4,0	4,0	4,0	0,4
	3,5

17

С о с т а в и т е л ь Власов Евгений Николаевич

СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ

Методические указания и задания к курсовой работе магистров

по направлению подготовки 15.04.02 «Технологические машины и оборудование»

В авторской редакции с готового оригинал-макета

Подписано с оригинал-макета 28.12.17. Уч.-изд. л. 1,25. Заказ № 162. С 86.

Санкт-Петербургский государственный лесотехнический университет Издательско-полиграфический отдел СПбГЛТУ 194021, Санкт-Петербург, Институтский пер., 3

18