ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ЛЕКЦИЯ № 2
Содержание:
Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков Определители n-го порядка
Миноры и алгебраические дополнения Свойства определителей Методы вычисления определителей
Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков
С каждой квадратной матрицей можно связать число, определитель матрицы, вычисляемый из элементов матрицы по определенным правилам. Для обозначения определителей будем использовать
выражения A, det A, .
Рассмотрим вначале правила вычисления определителей 1-го, 2-го и 3-го порядков.
Пусть A - квадратная матрица 1-го порядка, т.е. A (a) .
Определителем числа является само это число, т.е. A a .
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть A - квадратная матрица 2-го порядка, т.е. |
a21 |
a22 . |
|||
Определитель этой матрицы вычисляется |
по |
|
формуле |
||
det A a11a22 a12a21 . |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
A |
|
|
. |
|
|
|
2 |
4 |
|
|
Пример. Вычислить определитель матрицы |
|
|
|
Решение.
A 3 4 1 ( 2) 14
Ответ. A 14
Пусть A - квадратная матрица 3-го порядка, т.е.
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|
|
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
a31 |
. |
||
Определителем этой матрицы является число |
|||||||
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
det A |
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
a11a22a33 |
a12a23a31 a13a21a32 |
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 |
1
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Для вычисления определителя 3-го порядка удобно пользоваться правилом треугольника при определении знака слагаемого.
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
3 |
1 |
. |
|
|
2 |
0 |
1 |
|
Пример. Вычислить определитель матрицы |
|
|
Решение. Воспользуемся правилом треугольников для вычисления определителя матрицы.
A 1 3 1 ( 1) 1 ( 2) 0 2 0 0 3 ( 2) ( 1) 2 1 1 1 0 7
Определители второго и третьего порядка являются алгебраической суммой произведений элементов матрицы. Половина слагаемых имеет знак «+», а половина «–». Каждое слагаемое – это произведение элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца.
Если у каждого слагаемого определителя расположить сомножители в порядке возрастания индексов строк, то вторые индексы образуют различные перестановки из двух, трех и т.д. чисел в зависимости от порядка определителя.
Существует n! различных перестановок чисел 1,2,3,…,n. К примеру, если n=3, то 3!= 2 1=6. Число слагаемых в определителе равно
|
|
|
|
|
|
|
числу |
различных |
|
n=2 |
инверсии |
|
n=3 |
|
инверсии |
перестановок n чисел, т.е. n! |
|||
1 |
2 |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
Знак |
слагаемого |
|
2 |
1 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
зависит от |
числа |
так |
|
|
|
3 |
1 |
2 |
2 |
называемых «инверсий» в |
||
|
|
|
3 |
2 |
1 |
3 |
перестановках. |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
1 |
Инверсией называют |
||
|
|
|
1 |
3 |
2 |
1 |
нарушение |
порядка, |
при |
котором большее число оказывается левее меньшего. Если число инверсий в перестановке вторых индексов четное, то слагаемое входит в определитель со знаком «+», иначе со знаком «–».
Определитель n-го порядка.
2
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Перестановками называют множества, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиесятолько порядком расположения этих элементов.
Рассмотрим формулу для вычисления определителя 3-го порядка:
Расположим множители каждого слагаемого так, чтобы номера первых индексов шли в порядке возрастания. Тогда вторые индексы образуют различные перестановки из этих же номеров.
К примеру, в слагаемом a11a22a33 и первые и вторые индексы дают одинаковую перестановку (1, 2, 3), в которой номера следуют в порядке
возрастания, а в слагаемом a12a23a31 первые индексы следуют в порядке возрастания, а вторые индексы дают перестановку (2, 3, 1).
Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых. Каждое слагаемое является произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца матрицы. Слагаемое имеет знак «+», если число инверсий в перестановке вторых индексов четное, и знак «–», если число инверсий нечетное, при условии, что первые индексы расположены в порядке возрастания.
Число слагаемых у определителей, порядок которых выше трех, быстро возрастает. К примеру, число слагаемых у определителей 4-го порядка равно 4!= 4 3 2 1=24, число слагаемых у определителей 5-го порядка 5!= 5 4 3 2 1=120 и т.д.
Вычисление определителей порядка выше третьего превращается в очень трудоемкую задачу. При практических расчетах пользуются свойствами определителей. Для их рассмотрения нужны новые понятия.
Миноры и алгебраические дополнения.
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
A ... ... |
|
|
|
|
|
|
an 2 |
Пусть A - квадратная матрица |
an1 |
... a
1n
... ...
... ann .
Минором M ij элемента aij матрицы n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из элементов матрицы A после вычеркивания i-ой строки и j-го столбца.
Пример.
3
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
|
1 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
4 1 |
2 |
|
M11 |
|
1 2 |
6 |
2 4 M 23 |
|
1 2 |
1 |
10 |
9 |
|||||
|
5 1 |
6 |
|
1 6 |
5 1 |
|||||||||||||
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Алгебраическим дополнением Aij элемента aij называют число, |
||||||||||||||||||
равное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aij = ( 1)i j Mij . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В нашем примере |
A |
|
( 1)1 1 |
4 |
=4, |
A23 |
= |
( 1)2 3 |
( 9) 9 |
. |
|
|
||||||
11 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства определителей.
1. A = AT , т.е. при вычислении определителя строки и столбцы матрицы обладают одинаковыми свойствами. Будем в дальнейшем и строки, и столбцы называть рядами.
2. Теорема Лапласа.
а) Для любой строки матрицы
|
|
|
|
|
,i k |
|
|
|
|
||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|||||
ai1 Ak1 ai 2 |
Ak 2 ... ain Akn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0,i |
k |
|
|
|
|
|||||||
б) Для любого столбца матрицы A выполняется соотношение |
|||||||||||||
|
|
|
, j k |
|
|
|
|||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
||||||
a1 j A1k a2 j |
Akk 2 ... anj Ank |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0, j k |
|
|
|
|||||||||
Формулы а) и б) при условиях i k |
и j k |
называют формулами |
|||||||||||
Лапласа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим определитель матрицы |
|
0 |
0 |
5 |
|
||||||||
A = |
с использованием |
||||||||||||
формул Лапласа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Разложим определитель по первому столбцу матрицы A . По |
|||||||||||||
теореме Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
2 A |
0 A |
0 A |
2 ( 1)1 1 |
|
3 |
5 |
2 3 5 30. |
||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
11 |
21 |
31 |
|
|
0 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Разложим определитель по третьей |
строке матрицы A . По |
||||||||||||
теореме Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
A |
|
0 A |
0 A |
5 A |
5 ( 1)3 3 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
2 |
5 6 30. |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
31 |
32 |
33 |
|
|
|
0 |
3 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что результаты вычисления определителя разными способами совпадают.
Следствия теоремы Лапласа
4
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
-определитель треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов
-если какой-либо ряд матрицы равен нулю, то ее определитель тоже равен нулю
-если какой-либо ряд матрицы домножить на одно и то же число, то ее определитель умножится на то же число.
3. При перестановке двух рядов матрицы ее определитель меняет знак.
Пример.
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
4 |
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
Вычислить определитель матрицы |
|
и |
|
|
, |
полученной из матрицы A перестановкой строк.
A=4-6=-2, A1 =6-4=2.
4.Если матрица A имеет два одинаковых ряда, то ее определитель равен нулю.
Доказательство.
Пусть матрица A1 получена из матрицы A путем перестановки
двух равных рядов. Так как ряды равны, то A1 = A , но по свойству
3 A1 =- A .
Это возможно только если A1 = A =0.
5.Если элементы двух рядов матрицы пропорциональны, то ее определитель равен нулю.
6.Определитель матрицы не изменится, если ко всем элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда, домноженные на одно и то же число.
7.Сумма произведений любых чисел b1,b2 ,...,bn на алгебраические дополнения к элементам какого-либо рада матрицы A равна определителю матрицы, полученной из матрицы A заменой этого
ряда на числа b1,b2 ,...,bn .
8. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей.
AB = A B B A BA .
Метод обнуления для вычисления определителя матриц.
Метод основан на свойстве 6 для преобразования матрицы к такому виду, чтобы какой-либо ряд имел все нулевые элементы кроме одного. К элементам этого ряда применяется теорема Лапласа.
Пример.
5
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
|
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
3 |
|
Вычислить |
определитель |
матрицы |
|
1 |
2 |
5 |
|
|
методом |
обнуления.
Прибавим к элементам второй строки элементы первой строки, умноженной на 3, а к элементам третьей строки элементы первой строки, умноженные на (-5).
3 |
2 |
1 |
|
3 |
|
( 5) |
|
3 |
2 |
1 |
|
1 A ( 1)1 3 |
|
13 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
4 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
13 |
5 |
0 |
|
|
76 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
16 |
12 |
|
1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
16 |
12 |
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6