Сжим_отобр1
.pdfПринцип сжимающих отображений
Метрические пространства.
Множество М наз. метрическим пространством, если такая функция (x, y), x, y M , что для x, y M
1.(x, y) ( y, x)
2.(x, y) 0
3.(x, y) 0 x y
4.x, y, z M , (x, y) (x, z) (z, y)
Примеры.
1.Числовая ось. (x, y) x y
2.Евклидово пространство En . (x, y) x y (x1 y1 )2 (x2 y2 )2 ... (xn yn )2
3.Пространство С непрерывных на [a; b] функций . (x, y) max x(t) y(t)
4.Шар x B(a, r) : (x, a) r
5.Сфера x S (a, r) : (x, a) r
xn a (xn , a) 0
Последовательность xn наз. сходящейся в себе (фундаментальной), если 0 |
N 0, что |
m, n N выполнено |
|
(xm , xn )
Пространство наз. полным, если в нем любая сходящаяся в себе последовательность имеет предел.
Отображения
x M , : x y (x) M
Элемент b M наз. пределом отображения в точке а, если xn a выполняется (xn ) b
Отображение Ф наз. непрерывным в точке а, если lim (x) (a)
x a
Отображение Ф наз. сжимающим, если существует такое число 0 1, что
x1, x2 M : (Ф(x1),Ф(x2 )) (x1, x2 )
Элемент x наз. неподвижной точкой отображения Ф, если x (x)
Теорема 1. Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет единственную неподвижную точку.
Доказательство.
Определим последовательность xn формулой xn 1 (xn ), n 1, 2,3,...
(xn 1, xn ) ( (xn ), (xn 1)) (xn , xn 1) . Отсюда
(xn 1, xn ) n 1 (x2 , x1 )
Далее, пусть m > n, тогда
(xm , xn ) (xm , xm 1) (xm 1, xn ) (xm , xm 1) (xm 1, xm 2 ) ... (xn 1, xn ) .
(xm , xn ) (x2 , x1 )( m 2 m 3 ... n 1 )
(xm , xn ) (x2 , x1 ) n 1 (1 ... m n 1 )
(xm , xn ) (x2 , x1 ) n 1 /(1 ) Отсюда следует сходимость в себе и, далее,
x lim xn |
по непрерывности x (x) |
n |
|
Докажем единственность решения. Предположим, что y x, |
y ( y) Тогда |
(x, y) ( (x), ( y)) (x, y) (x, y) 0 x y