идз1
.pdfТеория вероятностей и математическая статистика
Индивидуальное домашнее задание №1
Задание 1. Подбросили 5 игральных костей. Найти вероятность, что выпадут ровно 4 различных числа.
Решение. Пусть A – событие, что на костях выпало ровно 4 различных числа. Количество всех исходов будет равно: #Ω = 65.
Количество способов выбрать 4 числа из 6: C64.
Количество размещений с повторением 4 чисел на 5 костях: 45. Сюда входят исходы, в которых на всех костях будет 1 число, 2 различных числа и 3 различных числа. Эти исходы не считаются благоприятными.
Количество исходов, в которых на всех костях выпало ровно 1 число (например, наборы 1,1,1,1,1; 2,2,2,2,2 и т.д.): 4.
Количество исходов, в которых на всех костях выпало ровно 2 числа (например, наборы 1,1,1,1,2; 2,5,5,2,5 и т.д.): C42 · (25 − 2). Вычитаем 2, т.к. это исходы, когда на всех костях 1 число, они учтены в предыдущем случае.
Количество исходов, в которых на всех костях выпало ровно 3 числа (например, наборы 1,2,3,1,2;
2,3,3,3,1 и т.д.): C43 · 35 − C32 · (25 − 2) − 3 . Где C32 ·(25 −2) - число исходов, когда на всех костях выпало ровно 2 числа, 3 - число исходов, когда на всех костях выпало ровно 1 число. Эти исходы учтены в предыдущих случаях.
Тогда количество благоприятных исходов: #A = C64· 45 − 4 − C42 · (25 − 2) − C43 · 35 − C32 · (25 − 2) − 3 . Отсюда получаем, что вероятность наступления события A равна:
|
|
PA = #Ω = |
· 4 |
|
− 4 − C4 |
· (2 |
|
− 2) − 654 · |
35 |
− |
3 |
· |
(25 |
− |
|
|
− |
|
= |
|
|
|
||||||
|
|
|
#A |
|
|
|
5 |
|
|
2 |
|
5 |
C3 |
|
C2 |
|
|
2) |
|
3 |
|
|
|
|
||||
= |
4! · (6 − 4)! · 1024 − 4 − |
2! · (4 − 2)! |
· (32 − 2) − 3! · (4 − 3)! · |
243 − 3 − 2! · (3 − 2)! · (32 − 2)!! |
= |
|||||||||||||||||||||||
|
6! |
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7776 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 15 · (1020 − 6 · 30 − 4 · (240 − 3 · 30)) ≈ 0,4629 7776
Ответ: 0,4629
□
Задание 2. Прямые разбивают плоскость на равносторонние треугольники со стороной 12. Определить вероятность того, что монета диаметра 5, наугад брошенная на плоскость, не персечёт ни одной прямой.
Решение. Пусть A – событие, что монета не пересечёт прямую.
Монета не пересечёт прямую, в случае, если расстояние от центра монеты до стороны треугольника
5
больше радиуса монеты: R = 2 = 2,5. Таким образом, центр монеты должен попасть в треугольник, подобный первому, каждая точка которого лежит на расстоянии 2,5 от каждой стороны треугольника.
1
Площадь подобных треугольников относится как квадрат коэффицентов подобия. Сторона большого треугольника – 12.
Сторона маленького треугольника:
12 − 2 · x − 2 · z
|
|
|
|
|
π |
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
sin |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2,5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
tan |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6 |
2,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2,5 |
|
|
||||||||||||
|
z = 2,5 · tan |
|
= |
|
√ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Тогда сторона маленького треугольника: 12 − √ |
|
|
|
− √ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
3 |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Тогда коэффицент подобия: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
12 − √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
k = |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Вероятность наступления события A равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
2 |
|||
V2(A) |
|
|
|
|
|
12 − √ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
3 |
≈ 0,0775 |
||||||||||||||||||||||||
PA = V2(Ω) = k |
|
= |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: 0,0775 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
□ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 3. Вероятность наличия k единиц некачественной продукции в партии 2500 ед. дана в таблице
k |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
Вер. |
0,1 |
0,3 |
0,2 |
0,1 |
0,3 |
Взято наугад 150 ед., среди которых одна некачественна. Определить вероятность того, что в исходной партии не более 2 некачественных.
2
Решение. Пусть A – событие, что в 150 ед. есть одна некачественная. H1 - в исходной партии 1 некачественная: PH1 = 0,1
H2 - в исходной партии 2 некачественных: PH2 = 0,3 H3 - в исходной партии 3 некачественных: PH3 = 0,2 H4 - в исходной партии 4 некачественных: PH4 = 0,1 H5 - в исходной партии 5 некачественных: PH5 = 0,3
Число способов взять 150 изделий из 2500: C2500150 Число способов из k некачественных взять 1: Ck1
Остальные 149 изделий качественные из 2500 − k: C149 −
2500 k
|
|
|
|
Ck1 · C2500149 |
−k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда P(A|Hk) = |
|
C2500150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть B – событие, что в исходной партии не более 2 некачественных. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
PB = |
|
|
|
|
|
|
|
|
P(A|H1) · PH1 + P(A|H2) · PH2 |
|
|
|
|
|
= |
||||||||
P(A|H1) · PH1 + P(A|H2) · PH2 + P(A|H3) · PH3 + P(A|H4) · PH4 + P(A|H5) · PH5 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C11 · C2499149 |
C21 · C2498149 |
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C2500150 |
|
· 0,1 + |
|
C2500150 |
|
· 0,3 |
|
|
|
|
= |
|
|
C11 · C2499149 |
C21 · C2498149 |
C31 · C2497149 |
C41 · C2496149 |
C51 · C2495149 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
· 0,1 + |
|
|
|
· 0,3 + |
|
|
|
· 0,2 + |
|
|
· 0,1 + |
|
|
· 0,3 |
|
|
|||
|
|
C2500150 |
|
C2500150 |
|
|
C2500150 |
|
|
C2500150 |
C2500150 |
|
|
||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
C2499149 · 0,1 + 2 · C2498149 · 0,3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
C2499149 · 0,1 + 2 · C2498149 · 0,3 + 3 · C2497149 · 0,2 + 4 · C2496149 · 0,1 + 5 · C2495149 · 0,3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Т.к. посчитать такое большое число не представляется возможным, используем схему Бернулли и k
теорему Пуассона: pk = |
|
; |
q = 1 − p; |
n = 150; µ = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
λ = npk = 150 · pk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|
|
|
|
150 · 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
150 |
|
|
|
|
|
|
2 · 150 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2500 |
|
|
2500 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
PB = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 · 2500 · e |
|
|
|
+ 0,3 · 2500 |
· e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
150 |
|
|
|
|
150 · 2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 · 150 |
|
|
|
|
|
|
4 · 150 |
|
|
|
5 · 150 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
150 |
− |
|
|
|
|
|
2 · 150 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 · 150 |
|
− |
|
|
|
|
4 · 150 |
− |
|
|
5 · 150 |
− |
|
||||
|
|
2500 |
|
|
|
|
|
2500 |
|
|
|
|
|
2500 |
|
|
2500 |
2500 |
||||||||||||||||||
0,12500 · e |
|
+ 0,3 |
· |
2500 · e |
|
|
|
+ 0,2 · 2500 · e |
|
|
|
+ 0,1 · |
|
2500 · e |
|
+ 0,3 · 2500 · e |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
0,0376 |
≈ 0,2454 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1532 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
□ |
|
|||||||||||
Ответ: 0,2454 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задание 4. Чтобы наладить производство треубется заключить контракт на поставку товаров трёх типов. По 1-му типу товаров ведутся переговоры с 3-мя фирмами, по 2-му – с 3-мя и по 3-му
– с 4-мя. Вероятности заключить контракт с каждой фирмой по 1-му типу товара независимо от других 0,7; по 2-му типу – 0,4 и по 3-му – 0,4. Определить вероятность того, что производство будет налажено.
Решение. Пусть A – событие, что производство будет налажено. Вероятность не заключить контракт по 1-му типу товаров: 0,33 Тогда вероятность заключить контракт хотя бы с одной фирмой: 1 − 0,33 Вероятность не заключить контракт по 2-му типу товаров: 0,63
Тогда вероятность заключить контракт хотя бы с одной фирмой: 1 − 0,63 Вероятность не заключить контракт по 3-му типу товаров: 0,64 Тогда вероятность заключить контракт хотя бы с одной фирмой: 1 − 0,64 Т.к. события независимы, вероятность события A:
PA = (1 − 0,33) · (1 − 0,63) · (1 − 0,64) = 0,973 · 0,784 · 0,8704 ≈ 0,664
3
Ответ: 0,664 |
□ |
Задание 5. Вероятность успеха в схеме Бернулли равна 1/1000. Проводится 2000 испытаний. Написать точную формулу и вычислить приближённо вероятность того, что число успехов не превышает 3.
1 |
|
; q = 1 − p = |
|
999 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение. p = |
|
|
|
|
|
|
n = 2000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1000 |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
P(µ2000 ≤ 3) = C20000 |
· 1000! |
0 |
|
|
|
|
|
2000 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1999 |
|
|
1000! |
2 |
|||||||||||||||||||
· 1000! |
|
|
|
+ C20001 · 1000! · |
1000! |
+ C20002 · |
· |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
999 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
· 1000! |
1998 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
· 1000! |
1997 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ C20003 · 1000! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
999 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
999 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Т.к. n · p = 2000 · |
|
= 2 воспользуемся теоремой Пуассона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
P(µ2000 ≤ 3) = P(µ2000 = 0) + P(µ2000 = 1) + P(µ2000 = 2) + P(µ2000 = 3) ≈ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
20 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
22 |
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||
≈ |
|
· e−2 |
+ |
|
· e−2 |
+ |
|
· e−2 |
+ |
|
|
· e−2 ≈ e−2 |
+ 2 · e−2 |
+ 2 · e−2 |
+ |
|
· e−2 ≈ |
|
|
|
|||||||||||||||||||
0! |
1! |
2! |
3! |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
· e−2 ≈ 0,8571 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Ответ: 0,8571 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
□ |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4