Литература и лекции / IntCalculus

u(x) ¢ v0(x) = (u(x) ¢ v(x))0 ¡ v(x) ¢ u0(x) ;

u(x) ¢ v0(x) = u(x)0 ¢ v(x) + u(x) ¢ v(x)0 ¡ v(x) ¢ u0(x) ; u(x) ¢ v0(x) = u(x) ¢ v(x)0 :

Доказательство закончено.

Замечание Формула интегрирования по частям в каком то смысле помогает брать интеграл

от произведения двух функций. Предполагается, что после е¼ применения интеграл либо сразу же становится табличным, либо, по крайней мере, оказывается более простым, чем исходный интеграл.

Пример 15	Z
Взять интеграл
Решение. 1 й подход
Z

x ¢ (cos x ¢ dx) =

x ¢ cos x ¢ dx :

Di 8		= Z	x	d (sin x) = x	¢	sin x	¡ Z	sin x	¢	d ( x ) =
			|{z}	|{z}				|{z}		|{z}
			=u(x)¢	=v(x)				=v(x)		=u(x)
			= x ¢ sin x + cos x + C :
=	Int 9

"Решение". 2 й подход

2

¶

= cos x ¢

2 ¡ Z

2 ¢ d cos x =

Z

x ¢ cos x ¢ dx = Z

cos x ¢ (x ¢ dx) = Z cos x ¢ d µ

x2

x2

x2

x2

x2

= cos x ¢

+ Z

¢ sin x ¢ dx :

2

2

Отметим, что второй подход к решению бесперспективен. Множитель x после применения формулы интегрирования по частям переш¼л во множитель x2; отчего только хуже стало.

21

Замечание При обращении к формуле интегрирования по частям возникает вопрос: какую

из функций в подынтегральном выражении использовать в качестве u(x) ; и какую в качестве v(x) ?

Для ответа на вопрос собер¼м элементарные функции в следующий список:

1.Обратная тригонометрическая.

2.Логарифмическая.

3.Степенная.

4.Тригонометрическая.

5.Показательная.

Та из двух функций, которая в этом списке стоит выше (имеет меньший номер), должна быть взята в качестве u(x) .

Та из двух функций, которая в этом списке стоит ниже (имеет больший номер), должна быть использована для построения дифференциала d(v(x)) .

Пример 16

Z

Взять интеграл

x2 ¢ ln x ¢ dx :

Решение

= 3 ¢Z

ln x ¢ d ¡x3¢

=

Z x2 ¢ ln x ¢ dx = Z ln x ¢ (x2 ¢ dx) = Z ln x ¢ d µ 3 ¶

x3

1

= 3 ¢ µln x ¢ x3

¡ Z x3 ¢ d (ln x)¶ = 3 ¢ µln x ¢ x3

¡

Z x3 ¢ x ¢ dx¶

=

1

1

1

1

1

1

=

¢ µln x ¢ x3 ¡ Z x2 ¢ dx¶

=

¢ ln x ¢ x3 ¡

¢ x3 + C :

3

3

9

Пример 17

Z

Взять интеграл

x2 ¢ ex ¢ dx :

22

Решение

Z Z Z Z

x2 ¢ (ex ¢ dx) = x2 ¢ d (ex) = x2 ¢ ex ¡ ex ¢ d (x2) = x2 ¢ ex ¡ ex ¢ 2x ¢ dx =

Z Z Z

= x2 ¢ ex ¡ 2 ¢ ex ¢ x ¢ dx = x2 ¢ ex ¡ 2 ¢ x ¢ (ex ¢ dx) = x2 ¢ ex ¡ 2 ¢ x ¢ d (ex) =

µ Z ¶

= x2 ¢ ex ¡ 2 ¢ x ¢ ex ¡ ex ¢ dx = x2 ¢ ex ¡ 2 ¢ (x ¢ ex ¡ ex) + C :

В данном примере формулу интегрирования по частям пришлось применить два-

æäû.

Пример 18
Взять интеграл Z		sin x ¢ ex ¢ dx :
Решение Z	sin x ¢ (ex ¢ dx) = Z			sin x ¢ d (ex) = sin x ¢ ex ¡ Z			ex ¢ d (sin x) =
= sin x ¢ ex ¡ Z			ex ¢ cos x ¢ dx = sin x ¢ ex ¡ Z			cos x ¢ (ex ¢ dx) =
= sin x ¢ ex ¡ Z cos x ¢ d (ex) = sin x ¢ ex ¡ µcos x ¢ ex ¡ Z ex ¢ d (cos x)¶ =
	= sin x ¢ ex ¡ µcos x ¢ ex ¡ Z ex ¢ (¡ sin x) ¢ dx¶ =
	= sin x ¢ ex ¡ µcos x ¢ ex + Z sin x ¢ ex ¢ dx¶ =
	= sin x ¢ ex ¡ cos x ¢ ex ¡ Z				sin x ¢ ex ¢ dx :
После двухкратного применения формулы интегрирования по частям получен
не ответ, а уравнение относительно искомого интеграла,
	Z sin x ¢ ex ¢ dx = sin x ¢ ex ¡ cos x ¢ ex ¡ Z					sin x ¢ ex ¢ dx ;

23

откуда

Z

sin x ¢ ex ¢ dx = sin x ¢ ex ¡ cos x ¢ ex ;

2 ¢

Z

1

1

sin x ¢ ex ¢ dx =

¢ sin x ¢ ex ¡

¢ cos x ¢ ex :

2

2

Теорема

об интеграле Iº :

Для интеграла

Iº = Z

dx

(x2 + b2)º

справедливо рекуррентное соотношение

Iº+1 =

1

¢

µ

x

+ (2º ¡ 1) ¢ Iº¶:

(14)

2ºb2

(x2 + b2)º

Доказательство

dx

1

x

1

x

x

d

1

= (x2 + b2)º ¢

Iº = Z

(x2 + b2)º = Z

(x2

+ b2)º

¢ d=v(x)

=v(x)¡ Z

=v(x¢)

(x2 + b2)º

=

|

=

u(x)

}

|{z}

|

=

u(x)

}

|{z}

|{z}

³

|

=

u(x)

}

´

{z

{z

{z

x

x

=

¡ Z x ¢ d (x2 + b2)¡º

=

¡ Z

x ¢ (¡º)(x2 + b2)¡º¡1 ¢ 2x dx =

(x2 + b2)º

(x2 + b2)º

x

¡

¢

x

x2 + b2) b2

=

+ 2º Z x2 ¢ (x2 + b2)¡º¡1dx =

+ 2º Z

( ¡

dx =

(x2 + b2)º

(x2 + b2)º

(x2 + b2)º+1

x

+ 2º Z µ

(x2 + b2)1

b2

¶dx =

=

¡

(x2 + b2)º

(x2 + b2)º+1

(x2 + b2)º+1

=

x

+ 2º ¢ µZ

1

dx ¡ b2

¢Z

1

dx¶ =

(x2 + b2)º

(x2 + b2)º

(x2 + b2)º+1

=

x

+ 2ºIº ¡ 2ºb2Iº+1 = Iº :

(15)

(x2 + b2)º

Из равенства (15) непосредственно вытекает рекуррентное соотношение (14).

24

Замечание Рекуррентное соотношение (14) для первых нескольких натуральных значений

º да¼т результаты:

I1 = Z

dx

1

x

=

Int 13

=

¢ arctg

+ C ;

x2 + b2

b

b

I2

= Z (x2 + b2)2 = I1+1 =

2 ¢ 1 ¢ b2 ¢

µ(x2 + b2)1 + (2 ¢ 1 ¡ 1) ¢ I1¶ =

dx

1

x

x

1

x

=

+

¢ arctg

+ C ;

2b2(x2 + b2)

2b3

b

I3

= Z (x2 + b2)3 = I2+1 =

2 ¢ 2 ¢ b2 ¢

µ(x2 + b2)2 + (2 ¢ 2 ¡ 1) ¢ I2¶ =

dx

1

x

= 4b2(x2 + b2)2

+ 4b2 ¢

µ

2b2(x2 + b2)

+ 2b3

¢ arctg b + C¶ =

x

3

x

1

x

x

3x

3

x

=

+

+

¢ arctg

+ C ;

4b2(x2 + b2)2

8b4(x2 + b2)

8b5

b

I4

= Z (x2 + b2)4 = I3+1 =

2 ¢ 3 ¢ b2 ¢

µ(x2 + b2)3 + (2 ¢ 3 ¡ 1) ¢ I3¶ =

dx

1

x

= 6b2(x2 + b2)3

+ 6 ¢ b2

µ

4b2(x2 + b2)2 +

8b4(x2 + b2) + 8b5 ¢ arctg b ¶ + C =

x

5

x

3x

3

x

x

5x

15x

15

x

=

+

+

+

¢ arctg

+ C :

6b2(x2 + b2)3

24b4(x2 + b2)2

48b6(x2 + b2)

48b7

b

Убедиться в верности выведенных выражений для интегралов можно непосредственным дифференцированием.

25