Mekhanika

		I	п	I	м	2			f 2
									0	,	(2.3)
				2					2
где f		- коэффициент упругости проволоки,
	0	- максимальный угол закручивания проволоки (угол поворота ма-
ятника).
		Если решить систему	уравнений				(2.2)		и (2.3)		при условии, что

Iп I м

, получим:

V		0	I		f
	m r			м

.

(2.4)

Момент инерции маятника

I	м

целесообразно экспериментально

определять через период его колебаний (см. формулу (9) в лаборатор-

	ной работе №3А) : I	f	T	2	, а угол поворота маятника					0	- через
		4
		2
	смещение l стрелки по шкале прибора :							l	(где R – радиус кри-
						0		R

визны шкалы маятника). Если подставить эти выражения в (2.4), то после алгебраических преобразований окончательно получим:

Здесь

		V
		2
	k	f T
		2 R r m

	f T	l = k l	(2.5)
	R r m

- некоторая постоянная величина в одной

серии измерений скорости полета пули.

Формула (2.5) используется для экспериментального определения скорости полета пули в данной лабораторной работе.

Порядок выполнения работы и обработки экспериментальных данных

1.Установите на пластину маятника симметрично две мишени на максимально возможном расстоянии r от оси вращения (по указанию преподавателя).

21

2.Измерьте t время N 20–30 колебаний маятника (по указанию

преподавателя) и вычислите период колебаний:

	T	t
		N

.

3.Закрепите в штативе горизонтально на уровне пластины маятника пистолет, зарядите его и установите на расстоянии 1-2 см от мишени, направив его перпендикулярно пластине маятника

4.Произведите выстрел и измерьте максимальное отклонение l стрелки пластины маятника по шкале прибора.

5.Повторите п.4 n = 6-10 раз (по указанию преподавателя). Полу-

ченные данные занесите в таблицу 2.1.

									Таблица 2.1
	№								S
	1
	2
	3
	…..
	6.Рассчитайте среднее значение отклонения								и среднюю квад-
ратическую			погрешность его определения		S	по		формуле (6) стр.8:

			l	l	2	l l		2	.......
S
				1			2
	l					n 1

Полученные данные занесите в

таблицу 2.1.
	7.Рассчитайте
V	k		.
	8.Рассчитайте
скорости		SV	k S

по формуле (2.5) среднее значение скорости пули

среднюю квадратическую погрешность определения

	и доверительный интервал	V t	SV			, где	t -
				n

22

коэффициент Стьюдента, значение которого находится по таблице 1 стр.9 (доверительная вероятность определяется преподавателем).

9.Запишите окончательный результат в виде V V V , проанализируйте его и сделайте вывод.

Вопросы для контроля

1.Что такое «крутильно-баллистический маятник» ? Как он устроен, как на нем выполняется данная лабораторная работа?

2.Сформулируйте законы сохранения момента импульса и меха-

нической энергии и условия их выполнимости.

3. Запишите в формульном виде законы сохранения момента импульса и механической энергии для баллистического маятника и пули в данном лабораторном эксперименте; поясните все величины, входящие в эти выражения. Для каких моментов времени записаны эти законы ?

4.Продемонстрируйте вывод рабочей формулы, которая используется для экспериментального определения скорости полета пули в данной работе.

5.Объясните смысл полученных Вами экспериментальных дан-

ных.

Библиографический список

1.Савельев И.В. Курс общей физики.- Издательство «Наука», 1977.

§24, 29.

2.Трофимова Т.И. Курс физики.- Издательство «Высшая школа»,

1997. §13, 19.

3.Ивлиев А.Д. Физика: Учебное пособие. - СПб.: Издательство

«Лань», 2008. § 1.4.2, §1.4.3.

23

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО МАЯТНИКА.

ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА

Цель работы: определение моментов инерции тел, экспериментальная проверка свойства аддитивности момента инерции и теоремы Штейнера.

Описание лабораторной установки и оборудования

Установка (рисунок 1) состоит из круглой нижней платформы ради-

усом и массой , подвешенной

тремя нитями длиной

к верхней

платформе меньшего радиуса . Верхняя платформа закреплена в центре так, что еѐ можно поворачивать вокруг оси симметрии ОО΄. Для выполнения эксперимента используют тела различной формы, которые размещают на нижней платформе. Для измерения времени используется секундомер.

Рис.1.

Общие сведения Физические основы эксперимента

Момент инерции тела – это физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении. Для точечного тела

массой , вращающегося по окружности радиусом , момент инерции определяется формулой:

I m r	2	.	(1)
В соответствие с этим для тела с бесконечно малой массой			:
dI dm r 2			(2)
24

Момент инерции любого тела можно рассчитать, используя выр а- жение (2). Для этого тело «разбивают» на микрообъемы с массами . Считая каждый из таких микрообъемов точечным телом, находят момент инерции каждого из них по формуле (2) и все суммируют:

I dI dm r 2

(3)

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести, определятся:

а) для стержня

где

I

1

m

l

2

.

СТ

CT

12

б) для диска

I

1

m

r

2

.

Д

2

Д

в) для кольца

I

1

m

R

2

R

2

,

k

2

k

1

2

m Д - масса диска;

r

- радиус диска;

mk

- масса кольца;

R

- внутренний радиус кольца;

1

R

2

- внешний радиус кольца;

mСТ - масса стержня;

(4)

(5)

(6)

l	– длина стержня.
	Момент инерции	I	тела относительно произвольной оси опреде-
ляется суммой момента инерции				I	ц	тела относительно параллельной ей

оси, проходящей через центр масс тела и произведения массы тела на

квадрат расстояния	a	между этими осями, согласно теореме Штейнера:
		I I	ц	ma2 .	(7)

Экспериментально момент инерции тела можно определить с помощью крутильного маятника (рисунке 1). Если верхнюю платформу повернуть на ма-

25

лый угол, то нижняя платформа будет совершать крутильные колебания вокруг оси ОО΄.

Пренебрегая силами трения в системе, можно считать постоянной полную механическую энергию. В точке максимального закручивания платформа поднимается на высоту h , при этом полная энергия равна потенциальной энергии

где	m - масса платформы.
	При прохождении

мальной угловой скоростью

E	П	mgh ,

положения равновесия платформа движется с макси-

	m	, при этом полная энергия равна кинетической

где

I

E	K

– момент инерции платформы..

По закону сохранения энергии:

Из этого уравнения получим:

	I	2
		m
	2
mgh

,

I	2
	m
2

.

I2mgh

2 m

(8)

Так как малые колебания можно считать гармоническими, то колебания нижней платформы проходят по закону:

где

m sin			2 t		,
				T
m – максимальный угол поворота;
T - период колебаний.
Угловая скорость:	d	m	2		cos	2 t	m cos	2 t
	dt			T		T		T
То есть
	m	m		2
				T	.

Из геометрических соображений [1]:

26

.

(9)

h	rR	2
	m		.	(10)
	2L

Тогда из (8), (9) и (10):

где

	k	gRr
		4	2	L

	gRr		2		2
I		mT		kmT		,	(11)
	4 2 L
.							(12)

Используя формулу (11) можно рассчитать момент инерции, как ненагруженной платформы I 0 , так и нагруженной платформы I . Пользуясь свойством аддитивности момента инерции, момент инерции тела на

платформе	I	тела	рассчитывается как:

I	тела	I

I	0

.

(13)

Порядок выполнения работы и обработка экспериментальных данных Задание 1. Определение момента инерции тел

1. Занести данные установки (, , , ) в таблицу 1 и по за-

данию преподавателя параметры тел (для диска – массу

m Д

и радиус

r ,

для кольца - массу кольца mk

сы, для стержня – массу mСТ

, его внутренний		R
		1
и длину	l ) в таблицу

и внешний

2.

R	2

радиу-

2.Поворотом верхней платформы вывести нижнюю ненагружен-

ную платформу из положения равновесия так, чтобы она совершала кр у- тильные колебания с амплитудой 5-10°. Измерить время t полных 50

100 колебаний и внести в таблицу 1.

3.Повторить пункт 2 для платформы с телом (стержень, кольцо или диск), помещенным в центр платформы.

4. Вычислить периоды колебаний

To

(ненагруженной платфор-

мы), и

где n –

T	(ненагруженной платформы) по формуле
1

число колебаний.

T

t n

,

5.Рассчитать k по формуле (12).

6.Рассчитать момент инерции ненагруженной платформы

27

I

o

km T

2

o o

7. Рассчитать относительную погрешность измерения момента

инерции ненагруженной платформы

I0

2

T0

и записать в табли-

I0

T0

цу 1.

Так как измерение

проводиться

однократно, то

погрешность

T определяется исходя из погрешности измерительного

прибора. то

0

есть в данном случае секундомера.

8.

Вычислить абсолютную

погрешность

измерения момента

I0

2 T

I

0

инерции ненагруженной платформы

0

и записать в таб-

T

0

лицу 1.

9.

Рассчитать момент инерции нагруженной платформы по фо р-

муле :

k m

T

I

m

2

1

o

T

1

где m - масса платформы,

m

– масса тела.

o

T

10.

Рассчитать относительную погрешность измерения момента

I

1

T

инерции нагруженной платформы

2

o

.

I

T

1

1

11. Вычислить абсолютную

инерции нагруженной платформы:	I

погрешность

		2 T	I
		o		1
1		T
		1

измерения момента

.

12.

ции тела

Пользуясь

I	эксп	I	1

свойством аддитивности, рассчитать момент инер-

Io .

13.Рассчитать абсолютную погрешность измерения момента

инерции тела	I	эксп

14. Используя

I	1	I		0
I	1	I	0

формулы

и записать в таблицу 2.

(4), (5), (6) рассчитать теоретическое

значение момента инерции тела

I	теор

.

15. Рассчитать относительную погрешность определения момента инерции тела по отношению к теоретической по формуле:

28

Iтеор Iэксп 100%

Iтеор

16.Результаты занести в таблицу 2.

17.Проанализировать результаты и сделать выводы.

								Таблица 1
Параметры	n	t,с	Тo ,с	Io ,	I		o	Io
установки				2	I	o
				кг∙м
, м
, м
, м
, кг
								Таблица 2

Параметры		n	t, с	T1,с
	тел
стержень
, м
	, кг
диск
, м
,	кг
кольцо
,	м
,	м
,	кг

Iэксп

,

кг∙м2

I	теор ,

кг∙м2

I	эксп

,%

Задание 1а. Определение момента инерции тел

1. Занести данные установки (, , , ) в таблицу 1а и по заданию преподавателя параметры тела, с которым будет проводится

эксперимент (для диска – массу m Д и радиус , для кольца - массу коль-

29

ца mk , его внутренний R1 и внешний R2 радиусы, для стержня – массу

mСТ и длину l ), в таблицу 2а.

2. Поворотом верхней платформы вывести нижнюю ненагруженную платформу из положения равновесия так, чтобы она совершала крутильные колебания с амплитудой 5-10°.

Измерить время полных =10 колебаний ненагруженного маят-

ника =8-10 раз и внести в таблицу 1a.

3. Повторить пункт 2 для платформы с телом (стержень, кольцо или диск), помещенным в центр платформы. Полученные данные занести в таблицу 2а.

4. Для каждого измерения рассчитайте период колебаний T

=

t N

и средние значения периода колебаний ненагруженного

To

и

нагруженного маятника

и 2а.

T

. Данные расчетов занесите в таблицы 1а

5.По формуле 6 (стр.7) рассчитайте средние квадратические по-

грешности

S

o

и S

Т

определения

T

и T

. Полученные данные занесите

o

в таблицы 1а и 2а.

6.

Рассчитать k по формуле (12).

7.

Рассчитать и занести в таблицу 1а среднее значение момента

инерции ненагруженной платформы:

I

k m

T

2

o

o

o

8.

Рассчитать и занести в таблицу 2а среднее значение момента

инерции нагруженной платформы:

I

k m m

T

2

o

Т

где

m

- масса платформы,

m

– масса тела.

o

T

9.Пользуясь свойством аддитивности, рассчитать момент инер-

ции тела

I	эксп		I		I	o

и занести его в таблицу 2а.

10. По формуле S S 2		S 2	найдите среднюю квадратиче-
	o	T
скую ошибку определения	I эксп .
		30