Matritsy_opredeliteli_sistemy_Alieva_Gracheva

2 2+3−0+ 2 (−1)−2 1= 3			4+3− 2− 2 = 3			3		= 3 (верно)
	− 2+3+3 0− 4 (−1)+1= 6		− 2+3+ 4+1= 6				6	= 6 (верно)
									.
	3 2−3+(−1)−3 1= −1
				6−3−1−3 = −1		−1= −1(верно)
4 2+3+ 4 0−(−1)−4 1= 8				8+3+1− 4 = 8			8	= 8 (верно)

Получившиеся числовые равенства свидетельствуют о том, что система решена верно.

Ответ: (	11− 6с +17с		;	50− с1		21+ 21с1	; с ; с		), где		и с	– любые
	1	2			;					с
	17			17		17	1	2		1	2

действительные числа.

Решая методом Гаусса однородные системы линейных алгебраических уравнений (системы, в которых свободные члены всех уравнений равны 0), которые всегда совместны, можно получить единственное – тривиальное решение (когда все значения неизвестных системы равны 0), если эта система определенная. Но можно получить и общее решение, если эта система неопределенная, выражающее закономерность, по которой получается бесконечное множество решений такой системы. В однородных неопределенных системах общее решение можно выразить в виде линейной комбинации частных решений, образующих фундаментальную систему линейно-независимых решений.

Пример 14.

2x1 + x2 − x3 + x4 − x5 = 0
x1 + x2 + 3x3 − 2x4 + x5 = 0
	3x + 2x + 2x − x = 0 .
	1	2	3 4

4x1 + 3x2 + 5x3 − 3x4 + x5 = 0

Решая методом Гаусса однородные системы, можно преобразовывать только основную матрицу, так как столбец свободных членов всегда будет нулевой.

2		1	−1	1 −1				2		1	−1	1 −1
				− 2								−1
1		1	3		1		~	3		2	2		0		, если разделить все
	3	2	2	−1	0				3	2	2	−1	0
	4	3	5	− 3	1				6	4	4	− 2	0

элементы четвертой строки на 2, то мы получим в матрице три одинаковых строки, из которых можно оставить одну, а остальные отбросить.

2	1	−1					1		−1			. Получили ступенчатую матрицу, которой
	2		2			−1				0
3
соответствует следующая однородная система:
2x + x				− x				+ x			− x			= 0
	1		2				3			4			5	. Пусть x4 и x5 - базисные переменные, а
	3x + 2x				2	+ 2x			3	− x		4	= 0
	1

x1 , x2 и x3 - свободные переменные. Из второго уравнения системы выражаем x4 = 3x1 + 2x2 + 2x3 , подставляем в первое и выражаем x5 = 2x1 + x2 − x3 + x4 = 2x1 + x2 − x3 + 3x1 + 2x2 + 2x3 = = 5x1 + 3x2 + x3 .

Так как у нас три свободных переменных, то фундаментальная система решений будет состоять из трех линейно независимых ненулевых частных решений.

Пусть x1

=1, x2

=0,

x3

=0,

тогда x4

=3,

x5

=5.

Е1 = (1;

0;

0;

3;

5) .

Пусть

x1 =0,

x2 =1,

x3 =0,

тогда

x4 =2,

x5 =3.

Е2 = (0;

1;

0;

2;

3) .

Пусть

x1

=0,

x2

=0,

x3

=1,

тогда

x4

=2,

x5

=1.

Е3 = (0;

0;

1;

2;

1).

Решения Е1 , Е2 и Е3 образуют фундаментальную систему решений. Общее решение есть линейная комбинация решений Е1 ,

Е2 и Е3 .

Если X - общее решение данной системы, то

X = c1 E1 + c2 E2 + c3 E3 , где c1,c2 ,c3 - любые действительные числа.

x1				1					0					0
x2			0					1					0
	=	c1		0		+ c2			0		+ c3			1	, где c1,c2 ,c3 - любые действительные
x3
x			3					2					2
4
x5				5					3					1

числа.

Сделаем проверку.

Пусть c1=2, c2 =-3, c3 =4, тогда:

20

21

x1				1					0			0						2
x2				0					1			0					− 3
x			=	2	0		− 3			0	+ 4	1		=				4 . Подставим полученные значения
		3
x		4		3					2			2				8
x5					5					3		1						5
неизвестных в первоначально заданную систему.
4 −3− 4 +8−5 = 0												0 = 0(верно)
			−3+12−				16+ 5 = 0								= 0			(верно)
2												0								. Система решена верно.
				−6 +8											= 0			(верно)
			6				−8 = 0						0
																		(верно)
8−9 + 20− 24+ 5 = 0												0 = 0
				x1							1		0						0
				x2						0			1					0
Ответ:							=	c1				2		0					, где c1,c2 ,c3 R .
				x3							0 + c					+ c3			1
				x						3			2					2
					4
				x5							5			3					1
Пример 15.
2x + x + 3x + 3x = 0
			1	2			3				4
2x1 + x2 + 3x3 −3x4 = 0
x + 2x −5x − 2x = 0 .
		1		2			3				4
			x + x		+ x + x						= 0
			1	2			3			4
2 1 3							3									0 −1			1 1		0 0 −5			2
																									(−1)
2 1				3 −3												0 −1			1 −5		0 0		−5	−8
	1 2			−5 −2										~							~	0 1	−6		~
																	0 1 −6 −3							−3
	1 1 1						1
									(−1) (−2) (−2)							1 1			1 1		1 1 1			1
		0		0	0		10
		0 0 −5					−		8
~			0	1 −6			−		.
									3
				1	1
		1						1

Однородная система, соответствующая полученной ступенчатой матрице, будет иметь столько же уравнений, сколько неизвестных. Такая система является определенной, следовательно, единственное ее решение имеет вид: (0; 0; 0; 0).

ВАРИАНТ 1.

1 4 3 3

1. Найти определитель 2	0	1	− 2 двумя способами:
1	1	6	0
− 3	1	3	4

разложением по элементам строки или столбца; понижением порядка.

2.Решить матричное уравнение ХА2 = ВС , если известно,

что	−1		0		3		− 2			0 3
	А =			;В =				;С =			.
		3	2			7	0			−1 1

																− 6							0			− 5
3.	Найти обратную матрицу к матрице																		− 9 − 2							− 2 и
																			9				4
																										− 3
	сделать проверку.
	2x + 2y − z =13
4.	Решить систему x −3y + z = −11 тремя способами: по
	x + 2y + 5z = 5
	формулам Крамера, матричным методом и методом
	Гаусса.
	x1 + 3x2 − 2x3 − x4 = 1
	2x + x					2	+ 2x					3	− 5x						4	= 0
5.		1																						совместной?
	Является ли система	3x + 4x							2		− 6x				4			= 1
			1									+ x					= 0
	x + x					− 3x
		1		2						3					4					= 0
	3x + 2x						2	− x				3	− 4x						4
		1
	Если она совместна, то найти ее решение методом Гаусса
	и сделать проверку.
						x + x						2	− 3x					3		+ x	4			= 0
							1
6.	Для однородной системы		2x1 + x2										+ 3x3							− 3x4 = 0							найти
					x + x								− 4x							− 3x				= 0
											2						3					4
						1
			3x + 2x										2	− x				3		− 6x			4		= 0
							1

фундаментальную систему решений, если она существует.

22

23

ВАРИАНТ 2.

11 2 1

1. Найти определитель −1 3 3 3 двумя способами:

1 2 3 1

25 7 1

разложением по элементам строки или столбца; понижением порядка.

2. Решить матричное уравнение АХВ = С2 , если известно, что

1		4		1	− 2		1		− 3
А =			;В =			;С =				.
	3	1			−1			2	1
				1

		2		− 3	1
3.	Найти обратную матрицу к матрице		1	5	− 4	и сделать
			4	1	− 3
	проверку.
		x − y − z = 3
4.	Решить систему	2x + y + z = 3 тремя способами: по

− 2x + 3y − 4z = 14

формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.

− x1 + 2x2 − x3 − x4 + x5 = 0

5. Является ли система x1 + 3x2 − x3 − x4 + 4x5 = 6

3x1 − 4x3 + 3x4 + 2x5 = 4

совместной? Если она совместна, то найти ее решение методом Гаусса и сделать проверку.

	x1 − x2 + 6x3 − 3x4 = 0
6. Для однородной системы		2x1 + 3x2 − x3 − x4 = 0										найти
		x + 2x		+ 5x			− 4x			= 0
			2			3			4
		1
	− 3x − 5x			2	− 4x		3	+ 5x		4	= 0
		1

фундаментальную систему решений, если она существует.

ВАРИАНТ 3.

	1	3	4	5
1. Найти определитель	1	−1	0	6	двумя способами:
	5	5	2	−1
	4	0	− 5	− 9

разложением по элементам строки или столбца; понижением порядка.

2. Решить матричное уравнение АВХ = Е − С2. , если известно,

что	7		2		1		1		7		2
	А =			;В =				;С =				.
		5	− 3			2	0			1	3

		2		− 3	4
3.	Найти обратную матрицу к матрице		−1	2	1	и
			1	− 2	− 3
	сделать проверку.
	10x − y − 5z = 5
4.	Решить систему 12x − 2y + 5z = 1 тремя способами: по
		5x − y + z = −4

формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.

3x1 − 6x2 + x3 + 2x4 − x5 = 1

+ 2x3 − x4

− x5 = 3

5.

Является ли система

4x1 + x2

x1

+ 7x2 + x3 − 3x4 = 2

2x −13x

2

− x

4

+ 5x

4

− x

5

= −1

1

совместной? Если она совместна, то найти ее решение

методом Гаусса и сделать проверку.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

+ x2

+ 3x3

− 3x4 = 0

3.

Для однородной системы

2x1

найти

3x1 + 2x2

+ 4x3

− 2x4 =

0

x

− x

2

+ x

3

− x

4

= 0

1

фундаментальную систему решений, если она существует.

24

25

ВАРИАНТ 4.

3 −1 1 2

1.	Найти определитель 3			3	2	5	двумя способами:
			6	3	3	7
			3	3	1	1
	разложением по элементам строки или столбца;
	понижением порядка.
2.	Решить матричное уравнение (А − В)Х = С2., если известно,
	1	−1	0 1		0	1
	что А =	;В =		;С =			.
						3
	− 3	2	1 1		2

											11					4		− 7
3.	Найти обратную матрицу к матрице 13															5		− 9 и
																7
											19							−13
	сделать проверку.
	x + y − 2z = −5
4.	Решить систему 3x + 2y +10z = 2 тремя способами: по
	2x + 2y + 3z = 4
	формулам Крамера, матричным методом и методом
	Гаусса.
	3x1 − 2x2 + 2x3 − 2x4 = 2
		2x + x		2		+ 2x			3		− 5x			4	= 1
		1
5.	Является ли система	4x − 5x			2	+ x		3			− 5x		4		= 7			совместной?
		1
	x + 4x				+ 3x					− 2x					= −4
		1	2				3					4
	3x + 5x			2		+ x	3		− 7x			4			= −3
		1
	Если она совместна, то найти ее решение методом Гаусса
	и сделать проверку.
		2x1 + 3x2 + x3 − x4 + x5 = 0
6.	Для однородной системы − x1 + 2x2 + x3 + x4 − 6x5 = 0 найти
			x + x				2		− x + 2x							4	− x = 0
				1							3							5

фундаментальную систему решений, если она существует.

ВАРИАНТ 5.

4 −1 3 3

1.	Найти определитель 0				2		1	− 2 двумя способами:
				1	1		6	0
				1	− 3		3	4
	разложением по элементам строки или столбца;
	понижением порядка.
2.	Решить матричное уравнение АХ = В2С., если известно,
	3	2	0 1		0		3
	что А =	;В =		;С =				.
						1	1
	1	0	4 5

−1

2

5

3.

Найти обратную матрицу к матрице

6

− 4

0 и сделать

2

− 3

5

проверку.

5x + 8y + z = 2

4.

Решить систему 3x − 2y + 6z = −7 тремя способами: по

+ y − z = −5

2x

формулам Крамера, матричным методом и методом

Гаусса.

2x1 + x2 + 3x3 + x4 = 1

+ x2

+ 5x3

+ 2x4

= 6

5.

Является ли система

3x1

совместной?

x1 + x2 + x3 = −4

3x + 2x

2

+ 4x

3

+ x

4

= −3

1

Если она совместна, то найти ее решение методом Гаусса

и сделать проверку.

2x1 + x2 − 3x3 + x4 − 2x5 = 0

+ 3x2

+ x3 − 2x4 + 4x5 = 0

6.

Для однородной системы

x1

3x − x

+ 2x

− 3x

+ x

= 0

2

3

4

5

1

4x + 2x

2

+ 3x

3

− 5x

4

+ 5x

5

= 0

1

найти фундаментальную систему решений, если она существует.

26

27

ВАРИАНТ 6.

1 2 3 4

1.	Найти определитель 3			6			8			11						двумя способами:
			7	13		20				26
			31	23		55				42
	разложением по элементам строки или столбца;
	понижением порядка.
2.	Решить матричное уравнение Х(А− В) = С2., если известно,
	1	1	5 − 2						2 3
	что А =	;В =		;С	=										.
								−1 1
	3	− 2	1 0
																	4					17			11
3.	Найти обратную матрицу к матрице 1																					5			3 и сделать
																		0				−1		−1
	проверку.
		2x − 3y + z = −7
4.	Решить систему x + 4y + 2z = −1 тремя способами: по
			x − 4y = −5
	формулам Крамера, матричным методом и методом
	Гаусса.
			x1 − x2 + 2x3 + x4 = 2
				2x + x			2		+ 2x					3		− 5x					4	= 1
				1
5.	Является ли система			4x − x			2		+ 6x				3			− 3x				4		= 5			совместной?
				1
			2x − 2x						− 3x							+ 4x						= −5
				1			2						3							4
			4x − x			2		− x		3		− x					4	= −4
				1
	Если она совместна, то найти ее решение методом Гаусса
	и сделать проверку.
				2x1 − x2 + 3x3 − 3x4 = 0
									− x2 + 3x3												+ 3x4				= 0
6.				2x1																						найти
	Для однородной системы				x − 2x									− 5x							+ 2x				= 0
											2								3					4
						1
						x			− x			2			+ x			3		− x			4	= 0
								1

фундаментальную систему решений, если она существует.

ВАРИАНТ 7.

1 1 2 − 4

1.	Найти определитель 1				3	3	3	двумя способами:
				1	2	− 3	3
				2	5	7	1
	разложением по элементам строки или столбца;
	понижением порядка.
2.	Решить матричное уравнение А2 Х = С − В , если известно,
	3	4	4 − 2			0	−1
	что А =	;В =			;С =			.
				− 5			3
	2	1	7			1

1

0

−1

3.

Найти обратную матрицу к матрице

3

−1

− 3

и сделать

0

1

2

проверку.

x + y − 2z = 4

4.

Решить систему 2x − y − 5z = 6 тремя способами: по

4x + 2y + z = 5

формулам Крамера, матричным методом и методом

Гаусса.

x1 + 2x2 + 3x3 − x4 + 3x5 = −2

5.

Является ли система

2x1 + 3x2 + x3 − x4 + x5 = 2

− 2x + x

2

+ x

3

+ 3x

4

− x

5

= 0

1

совместной? Если она совместна, то найти ее решение

методом Гаусса и сделать проверку.

2x1 − x2 − x3 + x4 − x5 = 0

+ 3x3

− 2x4

+ x5

= 0

6.

x1 − x2

найти

Для однородной системы

x

− 2x

+ 5x

− 7x

+ x

= 0

2

3

4

5

1

3x − 2x

2

+ 2x

3

− x

4

= 0

1

фундаментальную систему решений, если она существует.

28

29

ВАРИАНТ 8.

1 1 2 1

1. Найти определитель −1	3	3	3	двумя способами:
1	2	3	3
2	5	7	1

разложением по элементам строки или столбца; понижением порядка.Решить матричное уравнение А2ВХ = Е − С., если известно, что

2	1			3		− 2			4	0	.Найти обратную матрицу
А =	;В =						;С		=
					2 1
3	−1								5	1
		− 2				7	− 5
к матрице			−1		− 4		− 3		и сделать проверку.Решить
			−1		− 9		−
								6
	x + y − z = 1
систему		x − y + z = 1						тремя способами: по формулам

− x + y + z = 1

Крамера, матричным методом и методом Гаусса. Является

x + 3x

2

+ 3x

3

+ x

4

= 4

1

ли система

4x1 − 2x2 − 3x4

= 11

совместной? Если она

− x2

− x3 − 2x4 =

3x1

6

x

− x

2

+ x

3

− x

4

= 5

1

совместна, то найти ее решение методом Гаусса и сделать проверку.

2x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0

+ x2 + 2x3

− 3x4

= 0

6. Для однородной системы

2x1

найти

x

+ x

− x

− x

= 0

2

3

4

1

3x + 2x

2

+ x

3

+ 2x

4

= 0

1

фундаментальную систему решений, если она существует.

ВАРИАНТ 9.

1 1 2 0

1.	Найти определитель 1			− 7		−1	3	двумя способами:
			2	− 5		3	3
			2	0		7	1
	разложением по элементам строки или столбца;
	понижением порядка.
2.	Решить матричное уравнение Х(А− В)2 = С., если известно,
	3	0	3 − 2		1		3
	что А =	;В =		;С =				.
						5	− 2
	1	2	4 1

1		− 3	1
3. Найти обратную матрицу к матрице	5	− 5	4	и сделать
	4	1	3

проверку.

x + y − 2z = 3

4.

Решить систему

x + 3y − 7z = 2

тремя способами: по

5x + 2y − 2z = 19

формулам Крамера, матричным методом и методом

Гаусса.

3x1 + 4x2 + 6x3 +12x4 = 7

2x + 3x

2

+ 2x

3

+ 5x

4

= 3

1

5.

Является ли система

x

+ x

2

+ 4x

3

+ 7x

4

= 4

совместной?

1

2x + 2x

+ 3x

+ 4x

= 5

1

2

3

4

x

2

− x

3

+ x

4

= −2

Если она совместна, то найти ее решение методом Гаусса

и сделать проверку.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0

+ x2 − 3x3 − 2x4 + x5 = 0

6.

Для однородной системы

x1

3x

+ 2x

− 2x

− x

+ x

= 0

2

3

4

5

1

4x + 3x

2

− 5x

3

− 3x

4

+ x

5

= 0

1

найти фундаментальную систему решений, если она существует.

30

31

ВАРИАНТ 10.

1 3 2 1

1. Найти определитель −1 9 3 3 двумя способами:

3 18 9 3

2 15 7 1

разложением по элементам строки или столбца; понижением порядка.

2. Решить матричное уравнение АХ = ВС2. , если известно,

что	1		1	1		− 2		1		2
	А =		;В =				;С =				.
		2			6	0			−1	2
			−1

− 2

− 3

−1

3.

Найти обратную матрицу к матрице

6

− 6

− 2 и

− 2

−1

− 2

сделать проверку.

x − y − 2z = −7

4.

Решить систему 2x − 3y − z = −10 тремя способами: по

5x − 2y + z = −7

формулам Крамера, матричным методом и методом

Гаусса.

x + 2x

2

+ 3x

3

− 4x

4

+ 3x

5

= 1

1

5.

Является ли система − 2x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 2

x1

+ x2 − 4x4 + x5

= 1

совместной? Если она совместна, то найти ее решение

методом Гаусса и сделать проверку.

3x + 2x

+ 4x

− 2x

= 0

1

2

3

4

6.

Для однородной системы

2x1 + x2 + 3x3 − 3x4

= 0

найти

− x − 2x

+ 5x

+ 2x

2

3

4

= 0

1

x

+ x

2

+ x

3

+ x

4

= 0

1

фундаментальную систему решений, если она существует.

ВАРИАНТ 11.

3 5 7 2

1. Найти определитель 7	6	3	7	двумя способами:
5	4	3	5
5	6	5	4

разложением по элементам строки или столбца; понижением порядка.

2. Решить матричное уравнение (А− С)2 Х = В , если известно,

	−1	1	3	− 2			1					−1
	что А =	;В =			;С	=											.
										4 − 5
	− 3	2	7 4
																	− 2									1	0
3.	Найти обратную матрицу к матрице																		− 8							−10	1	и
																				9						− 2
																											3
	сделать проверку.
		x + 2y + 2z = −4
4.	Решить систему		3x − 3y − z = 10								тремя способами: по
			5x + 2y		+ 3z	= 5
	формулам Крамера, матричным методом и методом
	Гаусса.
				3x1 − x2 + 2x3 + 2x4 = 2
				2x + 3x					2		+ 2x					3	− x				4			= 3
					1
5.	Является ли система				x + x		2			+ x		3		− 7x					4			= 2				совместной?
					1
				3x + 4x							+ 3x						− 8x							= 5
					1			2							3							4
				2x − 2x				2			+ x		3			+ 9x				4			= 0
					1
	Если она совместна, то найти ее решение методом Гаусса
	и сделать проверку.
					x1 + x2 + 3x3 − 4x4 + 4x5 = 0
6.	Для однородной системы x1 − 4x2 − 3x3 − x4 + x5																										= 0	найти
							x + 3x							2		+ x		3		+ x					4	− x = 0
								1																		5

фундаментальную систему решений, если она существует.

32

33

ВАРИАНТ 12.

1 1 2 0

1. Найти определитель 1	− 7	−1	3	двумя способами:
2	− 5	3	3
2	0	8	1

разложением по элементам строки или столбца; понижением порядка.

2. Решить матричное уравнение ХА = ВС2. , если известно,

что	1		5		2		− 2			3 3
	А =			; В =				;С =			.
		2	2			1	0			−1 1

− 2 − 8

− 9

3.

Найти обратную матрицу к матрице

1

3

4 и

0

1

3

сделать проверку.

2x + 4y + z = 13

4.

Решить систему x − 6y − z = −11 тремя способами: по

x + 4y − 5z = 5

формулам Крамера, матричным методом и методом

Гаусса.

2x1 + x2 + 4x3 − 2x4 − 2x5 =1

− x1

+ 2x2

+ 3x3

− x4 + x5 = 2

5.

Является ли система

3x

− x

+ x

− x

− 3x

= −1

2

3

4

5

1

x + 2x

2

− x

3

− x

4

− 4x

5

=1

1

совместной? Если она совместна, то найти ее решение

методом Гаусса и сделать проверку.

2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 0

+ 3x2

+ 3x3

+ 2x4

= 0

6.

Для однородной системы

2x1

найти

x

+ 2x

− x

+ x

=

0

2

3

4

1

x + x

2

+ 4x

3

+ x

4

= 0

1

фундаментальную систему решений, если она существует.

ВАРИАНТ 13.

				2	0	− 3	3
1.	Найти определитель			1	5	4	0		двумя способами:
				1	3	1	−1
				1	2	1	0
	разложением по элементам строки или столбца;
	понижением порядка.
2.	Решить матричное уравнение АВХ + С = Е., если известно,
	−1	0	3 − 2				2 3
	что А =	; В =			;С =				.
							−1 1
	1	2	4 0

			1	− 3	1
3.	Найти обратную матрицу к матрице		9	2	− 4	и
			− 5	1	3
	сделать проверку.
	− x − 2y − z = 3
4.	Решить систему − 2x + 2y + z = 3 тремя способами: по
		− 4z = 14
	2x + 6y

формулам Крамера, матричным методом и методом Гаусса.

2x1 + x2 + 3x3 + x4 = 1

+ 3x2 − x3

+ 2x4

= 0

5.

Является ли система

x1

совместной?

x

− x

+ x

− 2x

= 2

2

3

4

1

3x + 4x

2

+ 2x

3

+ 3x

4

= 1

1

Если она совместна, то найти ее решение методом Гаусса

и сделать проверку.

2x + x

− 4x

+ 3x

= 0

1

2

3

4

6.

Для однородной системы

x1

+ 4x2 + 3x3

− 3x4

= 0

найти

x

− 3x

− 7x

+ 6x

= 0

2

3

4

1

3x

+ 5x

2

− x

3

= 0

1

фундаментальную систему решений, если она существует.

34

35

ВАРИАНТ 14.

1 − 2 3 4

1. Найти определитель 2	− 3	12	13	двумя способами:
1	− 2	16	8
1	−1	9	10

разложением по элементам строки или столбца; понижением порядка.

2. Решить матричное уравнение СХ = А2 − В., если известно,

что	−1		0		3		− 2			0 3
	А =			; В =				;С =			.
		3	2			7	0			−1 1

											1					− 2					−1
3.	Найти обратную матрицу к матрице												8				0				4 и сделать
													5			− 6
																					3
	проверку.
	10x − y + 5z = −5
4.	Решить систему 12x − 2y − 5z = −1 тремя способами: по
			= 4
	5x − y − z
	формулам Крамера, матричным методом и методом
	Гаусса.
	3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2
		2x + 3x		2	+ 2x			3		+ 5x						4	= 3
5.		1																			совместной?
	Является ли система	x	− x		2	− 3x			4		= −1
		1
	2x + 2x				+ 3x					+ 4x							= 5
		1		2				3								4
	4x + 5x			2	+ 5x			3		+ 9x						4	= 8
		1
	Если она совместна, то найти ее решение методом Гаусса
	и сделать проверку.
			x + x				2	+ x				3			+ 3x			4		= 0
			1
6.		2x1 + x2 + 3x3														− 3x4					= 0	найти
	Для однородной системы			x + 2x							− 6x							= 0
										3							4
					1
		2x + x					2	+ 5x						3		− 9x			4		= 0
				1

фундаментальную систему решений, если она существует.

ВАРИАНТ 15.

1 0 − 3 6

1.	Найти определитель 3			− 2			−1			4				двумя способами:
			0	1			− 3			7
			7	− 5			− 6			0
	разложением по элементам строки или столбца;
	понижением порядка.
2.	Решить матричное уравнение ХС2 − А = В., если известно,
	−1	0	3	− 2				2						3
	что А =	; В =		;С			=								.
									−	1 1
	3	2	− 2	0
																	1				1			1
3.	Найти обратную матрицу к матрице															− 7					8			13		и
																19				14
																								29
	сделать проверку.
		2x + y − 4z = −5
4.	Решить систему 6x + 2y + 20z = 2 тремя способами: по
			4x + 2y + 6z				= 4
	формулам Крамера, матричным методом и методом
	Гаусса.
				2x + x				− 2x					+ x				− 2x							= 2
				1			2					3				4						5
5.			− x1 + x2 + 3x3 − 4x4 + x5 = 2
	Является ли система			x + x				+ x				− 3x					− x					= 4
							2			3						4				5
				1
				x	2	+ 4x			3	− x				4	− 4x				5	= 2
	совместной? Если она совместна, то найти ее решение
	методом Гаусса и сделать проверку.
					2x1 + x2 − x3 + x4 − x5 = 0
																								− x5		= 0
6.	Для однородной системы				2x1 − 2x2 − x3 + 2x4																						найти
								3x1 + x2 + x3 − x4 = 0
					x + 3x						2		+ 2x				3	− 3x					4	+ x	5	= 0
						1

фундаментальную систему решений, если она существует.

36

37

ВАРИАНТ 16.

	1	5	7	4
1. Найти определитель	1	6	10	3	двумя способами:
	2	12	25	− 4

2 11 17 10

разложением по элементам строки или столбца; понижением порядка.

2. Решить матричное уравнение АХ = В2 − С., если известно,

что	8		4		3		− 2			7 3
	А =			; В =				;С =			.
		3	2			−1	0			−1 1

																1			− 7			19
3.	Найти обратную матрицу к матрице															5			4			7 и
																			13
													10									29
	сделать проверку.
	5x +16y − z = 2
4.	Решить систему 3x − 4y − 6z = −7 тремя способами: по
	2x + 2y + z = −5
	формулам Крамера, матричным методом и методом
	Гаусса.
	x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 2
		2x + x				2	+ 2x			3		+ x			4			= 0
		1
5.	Является ли система	x	− x		2		+ 4x		3			− x		4			= 4				совместной?
		1
	x + 2x						+ x		+ 4x								= −1
		1			2			3						4
	x + x			2		− 2x		3	− 3x					4			= 1
		1
	Если она совместна, то найти ее решение методом Гаусса
	и сделать проверку.
			− 2x1 + 2x2 + x3 − x4 + 3x5 = 0
6.	Для однородной системы					2x1 + 3x2 + x3 − x4 − x5 = 0
						x + 3x					2		− x				3	+ x		4	− 2x		5	= 0
							1

найти фундаментальную систему решений, если она существует.

ВАРИАНТ 17.

1 1 2 0

1. Найти определитель 1	− 7	−1	3	двумя способами:
0	− 5	3	3
2	0	7	1

разложением по элементам строки или столбца; понижением порядка.

2. Решить матричное уравнение ХВ = А2 − С. , если известно,

что	1		− 2		2		− 2			0 3
	А =			; В =				;С =			.
		2	3			7	3			−1 8

6

3

2

3.

Найти обратную матрицу к матрице

−1

2

− 3 и

−1

−12

4

сделать проверку.

− 2x + 3y + z = −7

4.

Решить систему − x − 4y + 2z = −1 тремя способами: по

− x + 4y

= −5

формулам Крамера, матричным методом и методом

Гаусса.

x1 + x2 − x3 + 2x4 − 2x5 = 0

+ 2x2

+ 3x3 − 4x4 + x5 = 1

5.

x1

Является ли система

2x

− x

+ x

− 3x

= −1

2

3

5

1

x + 4x

2

+ 4x

3

− x

4

− 4x

5

= 1

1

совместной? Если она совместна, то найти ее решение

методом Гаусса и сделать проверку.

x1 + x2 + 3x3 + 3x4 = 0

− 2x4 = 0

6.

Для однородной системы

x1 + 3x2 + x3

найти

+ 4x

− 2x

− 3x

=

x

2

3

4

0

1

x + 2x

2

+ 4x

3

− x

4

= 0

1

фундаментальную систему решений, если она существует.

38

39