Uchebnye_karty_Chast_2

∞

4.

∑

U′ (x) = U′(x) + ...+ U′

(x) + ... -

n

1

n

n=1

равномерно сходится на D

27. Степенные ряды

∞

(1) a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn

+ ... = ∑an xn

Определение

n=0

∞

и

(2) a0

+ a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2

+ ... + an (x − x0 )n + ... = ∑an (x − x0 )n , где

обозначение

n=0

a0 , a1, a2 ,..., an - постоянные коэффициенты

Для рядов (1) и (2) число R(0 ≤ R ≤ ∞) , обладающие свойствами, R -

Радиус

радиус сходимости

∞

x

< R − абсолютно сходится

сходимости.

1) ∑an xn

расх.

сходится

расх.

при

> R − расходится

Основная

n=0

x

-R

0

R

x

теорема

∞

x − xo

< R − абсолютно сходится

2) ∑an (x − x0 )

n

расх.

сходится

расх.

при

> R

− расходится

n=0

x − x0

x0-R

x0

x0+R

x

1. S(x) = a

0

+ a

x + a

2

x2 + ... + a

n

xn

+ ...,

S(x) - непрерывна x x < R

1

Свойства

2. S′(x) = a1 + 2a2 x

+ ...+ n an x

n−1

+ ...

- сходится x x < R

степенных

x

рядов

x + a1

x2 + a2 x3

+ ... + an

3. ∫S(x)dx = a0

xn+1

+ ... -

сходится x x < R

0

2

3

n + 1

Алгоритм

1.Найти lim Un+1(x)

= l (x − x

0

) < 1 или

lim n U

n

(x)

= l(x − x

0

) < 1

n→∞ U

(x)

n→∞

n

определения

2.Решить неравенство l(x − x0 ) <1, получить интервал сходности

интервала

сходимости

x0 − R < x < x0 + R

3.Исследовать сходимость ряда на концах полученного интервала

28. Разложение функции в степенной ряд

Ряд Тейлора (по

n

f (x) = f (x ) +

f '(x0 )

(x − x

) +

f ''(x0 )

(x − x )2 + ... +

f (x0 )

(x − x )n + ...

степеням (x − x0 ) )

0

1!

0

2!

0

n!

0

Ряд Маклорена (по

f (x) = f (0) +

f '(0)

x +

f ''(0)

x2

+ ... +

f n (0)

xn + ...

степеням x )

1!

2!

n!

1.

Найти все производные

f (x)

в точке x0 :

f (x

0

), f '(x

), f ''(x

0

),..., f (n) (x

),...

0

0

∞

(n)

(x0 )

2.

записать ряд Тейлора для

f (x): ∑

f

(x − x0 )n

Алгоритм

n=0

n!

3.

Найти интервал сходимости

x − x0

< R полученного ряда

разложения

функции в

4.

Найти lim R

(x), где R (x) =

f

n+1

(c)

(x − x

)n+1

- остаточный член

степенной ряд.

n

0

n→∞

n

(n + 1)!

формулы Тейлора (x0

< c < x)

∞

(n)

5.

Если lim Rn (x) = 0 x

x − x0

< R f (x) = ∑

f

(x0 )

(x − x0 )n

n→∞

n=0

n!

30

31

29 .Таблица разложений некоторых функций в степенные ряды

№ п/п

Функция

Разложение в ряд

Интервал

сходимости

2

n

∞

n

1

ex

1+

x

+

x

+ ...+

x

+ ... = ∑

x

x

< ∞

1!

2!

n!

n=0 n!

x

3

x

5

x

2n+1

∞

x

2n+1

2

sin x

x −

+

− ...+ (−1)n

+ ... = ∑(−1)n

x

< ∞

(2n +1)

(2n +1)!

3!

5!

n=0

x

2

x

4

x

2n

∞

x

2n

3

cos x

1−

+

− ...+ (−1)n

+ ... = ∑(−1)n

x

< ∞

(2n)!

(2n)!

2!

4!

n=0

x

3

x

5

x

2n+1

∞

x

2n+1

4

arctg x

x −

+

− ...+ (−1)n

+ ... = ∑(−1)n

x

<1

2n +1

2n +1

3

5

n=0

x

3

x

5

x

2n+1

∞

x

2n+1

5

sh x

x +

+

+ ...+

+ ... = ∑

x

< ∞

(2n +1)!

(2n +1)!

3!

5!

n=0

x

2

x

4

x

2n

∞

x

2n

6

ch x

1 +

+

+ ...+

+ ... = ∑

x

< ∞

2!

4!

(2n)!

n=0

(2n)!

7

(1+ x)m

1+

m

x +

m(m −1)

x2 +

m(m −1)(m − 2)

x3 + ... +

m(m −1)...[m − (n −1)]

xn + ...

x

<1

1!

2!

3!

n!

x

2

x

3

x

n+1

∞

x

n+1

8

ln(1+ x)

x −

+

− ...+ (−1)n

+ ... = ∑(−1)n

−1< x ≤1

n +1

n +1

2

3

n=0

x

2

x

3

x

n+1

∞

x

n+1

9

ln(1− x)

− (x +

+

+ ... +

+ ...) = −∑

−1≤ x <1

2

3

n + 1

n=0 n +1

1+ x

x3

x5

x2n+1

∞

x2n+1

+

+

+ ...+

+ ...) = 2∑

x

< 1

10

ln(

)

2(x

2n +1

2n +1

1

− x

3

5

n=0

30. Разложение функции в тригонометрический ряд Фурье

f (x) =

a0

∞

nπx

+ bn sin

nπx

nπx

nπx

Определение

,an

+ ∑(an cos

),a0

,bn -коэффициенты ряда; an cos

+ bn sin

-члены ряда (гармоники)

2

n=1

l

l

l

l

∞

nπx)

y

f (x) задана на [− l;l]

f (x) = a0 + ∑(an cos nπx + bn sin

Теорема Дирихле

2

n=1

l

l

1) периодическая T = 2l

S(x) = f (x)в точках непрерывности

разложения периодической

функции в ряд Фурье

2) кусочно-монотонная

S(x) =

1 [f (x − 0) + f (x + 0)] в точках разрыва,

-3l -2l

-l

0

l

2l

3l

x

3) ограниченная

2

где S(x) - сумма ряда Фурье

f (x) - ни четная, ни нечетная, T = 2l

f (x) - четная, T = 2l

f (x) - нечетная, T = 2l

a0 = 1

l

a0 = 2

l

∫ f (x)dx ,

∫ f (x)dx ,

a0 = 0

an = 0

l

−l

l

0

l

f (x)sin nπx dx

= 2

Коэффициенты Фурье

1 l

nπx

2 l

nπx

bn

an

= l −∫l

f (x)cos

l

dx ,

an

= l

∫ f (x)cos

l

dx, bn

= 0

l

∫0

nπx

l

0

∞

разложение

32

f (x) = ∑bn

bn

=

1 l

nπx

f (x) =

a

0 +

∞

nπx

разложение

sin

∫ f (x)sin

dx

∑an cos

n=1

l

по синусам

l −l

l

2

n=1

l

по косинусам

Алгоритм разложения

1. Построить график f (x) , установить четность или нечетность

f (x) .

2. Определить коэффициенты Фурье.

функции в ряд Фурье

3. Записать ряд Фурье функции

f (x)

и определить сумму ряда S(x) .

1.

f (x) заданную на [− l;0] продолжить

В частности,

f (x)

можно продолжить на [− l;0]:

(доопределить) на [− l;0] произвольным

1. Четным образом

1. Нечетным образом

способом

y

y

y

Разложение

непериодической функции

-l

в ряд Фурье

0

l

x

-l

0

l

x

-l

0

l

x

Затем разложить в ряд Фурье, считая

f (x)

И разложить в ряд по косинусам по

И разложить в ряд по синусам по

заданной на [− l;l] по алгоритму.

алгоритму.

алгоритму.