12 13 Функциональные ряды

Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть функция f (x) является суммой степенного ряда an (x x0 )n , интервал

		n 0
сходимости которого	(x0 R, x0 R) . В этом случае	говорят, что на интервале
(x0 R, x0 R) функция	f (x) разлагается в степенной ряд (или в ряд по степеням
x x0 ).
Решим две задачи:
1) установим связь между суммой степенного ряда		f (x) и его коэффициентами
an ;

2) установим, каким требованиям должна удовлетворять некоторая заданная функция, чтобы ее можно было разложить в степенной ряд.

Теорема 18. Если функция f (x) на интервале (x0 R, x0 R) разлагается в сте-

пенной ряд an (x x0 )n , то
n 0
a	f (x	) f (0) (x ) ,			a					f (n) (x0 )	, n 1,2,...
						n
0	0	0								n!
или
				(n)	(x0 )
		f (x)	f						(x x0 )n .
				n!
		n 0

∆ Воспользуемся свойствами сумм степенных рядов. В силу свойства 3 степенной ряд можно почленно дифференцировать и по свойству 5 он будет иметь тот же радиус сходимости, тогда

f (x) a0 a1 (x x0 ) a2 (x x0 )2 ... an (x x0 )n ... ,

f (x) 1 a1 2 a2 (x x0 ) 3 a3 (x x0 )2 ... n an (x x0 )n 1 ... ,

f (x) 21 a2 3 2 a3 (x x0 ) 4 3 a4 (x x0 )2 ... n (n 1) an (x x0 )n 2 ..., (23)

………………………………………

f (n) (x) n (n 1) ... 21 an (n 1) n ... 2 an 1 (x x0 ) ... ,

………………………………………

Подставляя в выражения (23) x x0 , получим

11

f (x0 ) a0 ,

f (x0 ) 1 a1 1!a1 ,

f (x0 ) 21 a2 2!a2 ,

…………

f (n) (x0 ) n (n 1) ... 21 an n!an ,

…………

Выражая коэффициенты an из полученных равенств, имеем

a

f (x ) ,

a

f (n) (x0 )

, n 1,2,...

▲

n

0

0

n!

Пусть f (x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в этой окре-

стности производные всех порядков.

Ряд вида

f (x )

f (x

0

)

x )

f

(x )

(x x

)2 ..

f (n)

(x )

(x x

)n ...

(x

0

0

(24)

0

0

1!

0

2!

0

n!

называется рядом Тейлора функции

f (x) в точке x0 .

При x0 0 ряд (24) называется рядом Маклорена.

Установим, при каких условиях сумма ряда (24) совпадает с функцией f (x) .

В курсе математического анализа была получена формула Тейлора для (n 1) -

раз дифференцируемой в окрестности точки x0 функции

f (x) f (x )

f (x

0

)

(x x

)

f (x )

(x x )2 ..

f (n) (x )

(x x )n r

0

0

(x) ,

(25)

0

0

1!

2!

0

n!

0

n 1

где rn 1 (x) – остаточный член формулы Тейлора, который можно записать в виде

r

(x)

f (n 1) [x

0

(x x

0

)]

(x x )n 1 ,

0 1 .

(26)

n 1

(n 1)!

0

Это остаточный член в форме Лагранжа.

12

Если обозначить Sn (x) – частичную сумму ряда Тейлора (24), то формулу Тей-

лора (25) можно записать в виде
	f (x) Sn (x) rn 1 (x) .		(27)
Теорема	19. Для того чтобы ряд	Тейлора (24)	сходился на интервале
(x0 R, x0 R)	и имел своей суммой функцию f (x) , необходимо и достаточно, чтобы
на этом интервале остаточный член rn 1 (x)		формулы Тейлора стремился к нулю при

n.

∆Докажем необходимость. Пусть f (x) – сумма ряда Тейлора (24) на

(x0

из

lim

n

R, x0 R) , то есть lim Sn (x) f (x) , где					Sn (x)	– частичная сумма ряда (24). Тогда
		n
	равенства	(27)	для	любого		x (x0 R, x0 R)	следует
rn 1	(x) lim f (x) Sn (x) f (x) f (x) 0 .
	n

		Докажем	теперь		достаточность.		Пусть lim r	(x) 0 для	любого
							n n 1
x (x0 R, x0 R) .					Тогда	из	(27)	следует,	что
lim S		(x) lim f (x) r		(x) lim		f (x) lim r	(x) f (x) 0 f (x) . ▲
n	n	n	n 1		n	n n 1

Приведем еще одно достаточное условие разложимости функции в степенной

ряд.

	Теорема 20. Пусть функция f (x) и все ее производные ограничены в совокуп-
ности на интервале (x0 R, x0 R) ,				то есть найдется такое положительное число M ,
что для любого n 0 и для любого				x (x0		R, x0		R) будет справедливо неравенство
	f (n) (x)		M . Тогда на интервале (x	0	R, x	0	R)	функция f (x) раскладывается в ряд

Тейлора (24).

13

Разложение элементарных функций в ряд Маклорена

Проведем разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций. Поскольку ряд Маклорена есть частный случай ряда Тейлора, то воспользуемся теоремами 18 и 19 полагая в них x0 0 .

1. Функция f (x) ex .

∆ Найдем производные данной функции и вычислим значение производных при x0 0 . Дифференцируя, получаем f (x) f (x) ... f (n) (x) ex , откуда следует, что

f (n) (0) 1 для любого n 0 . Подставляя найденные значения в формулу (24), получаем

ex 1

x

x2

...

xn

...

(28)

1!

2!

n!

Радиус сходимости данного степенного ряда равен

R lim

an

lim

1 n!

lim(n 1) .

n

a

n 1

n 1 (n 1)!

n

Остаток ряда (28) равен

f (n 1)

(x)

e x

r

(x)

xn 1

xn 1 ,

0 1 .

n 1

(n 1)!

(n 1)!

e x

r

(x)

x

n 1

e

x

x

n 1

.

n 1

(n 1)!

(n 1)!

x

n

Так как lim

0 при любом

x ( , ) , то, следовательно, для любого дей-

n

n!

ствительного x справедливо lim r

(x) 0 . Таким образом, разложение (28) справед-

n

n 1

ливо при любом x ( , ) . ▲

2. Функция f (x) sin x .

∆ Используя метод математической индукции, можно доказать, что

f	(n)
		(x) sin x n	.
			2

Тогда значения функции и ее производных при x0 0 равны

	0,		n 2k,
f (n) (0)		k	, n 2k 1,	k 0,1,2...
( 1)

14

Подставляя в (24), получаем

x3

x5

x

7

... ( 1)n

x2n 1

sin x x

...

(29)

3!

5!

7!

(2n 1)!

Нетрудно показать, что радиус сходимости ряда (29)

равен

R , а остаток

равен

r

(x)

sin[x (n 1) 2]

xn 1 ,

0 1

n 1

(n

1)!

r

(x)

sin[x (n 1) 2]

x

n 1

x

n 1

n 1

(n 1)!

(n 1)!

lim r

(x) 0 .

n

n 1

Таким образом, разложение (31) справедливо при любом x ( , ) . ▲

3. Функция f (x) cos x .

∆ Так как cos x sin x , то в силу свойств сумм степенных рядов, можно запи-

сать

x3

x5

x7

x2n 1

n

cos x sin x x

... ( 1)

...

3!

5!

7!

(2n 1)!

1

x2

x4

x6

... ( 1)n

x2n

... ,

x ( , ) . ▲

2!

4!

6!

(2n)!

4. Функция f (x) arctg x .

∆ Для решения воспользуемся свойством 4 сумм степенных рядов и формулой суммы геометрической прогрессии. Тогда

x

dt

x

x3

x5

x7

x2n 1

arctg x

(1 t 2 t 4 t 6

...)dt x

... ( 1)n

...

1 t 2

3

5

7

2n 1

0

0

Радиус сходимости данного степенного ряда равен

R lim

( 1)n

(2n 3)

lim

2n 3

1 .

( 1)n 1

2n 1

n

(2n 1)

n

Следовательно, данное разложение верно при x 1. ▲

15

5. Функция f (x) ln(1 x) .

∆ Для решения воспользуемся свойством 4 сумм степенных рядов и формулой суммы геометрической прогрессии. Тогда

x

dt

x

x

2

x

3

x

4

x

n

ln(1 x)

(1 t t

2 t 3 ...)dt x

... ( 1)n 1

...

1 t

0

0

2

3

4

n

Радиус сходимости данного степенного ряда равен

( 1)n 1

n 1

n 1

R lim

lim

1.

( 1)n 2

n

n

n

n

Следовательно, данное разложение верно при x 1. ▲

6. Функция f (x) (1 x)m .

∆ Найдем производные данной функции и вычислим значение производных при x0 0 . Дифференцируя, получаем

f (n) (x) m(m 1)(m 2)...(m n 1)(1 x)m n

a

f (n) (0)

m(m 1)(m 2)...(m n 1)

.

n

n!

n!

Тогда

(1 x)m 1 mx

m(m 1)

x2 ...

m(m 1)(m 2)...(m n 1)

xn ...

2!

n!

Радиус сходимости данного степенного ряда равен

m(m 1)...(m n 1)

(n 1)!

n 1

R lim

lim

1 .

m(m 1)...(m n 1)(m n)

m n

n

n!

n

Следовательно, данное разложение верно при x 1. ▲

Дифференцируя или интегрируя известные разложения в ряд Тейлора, можно получать разложения новых функций в степенные ряды. Кроме того, дифференцируя или интегрируя заданный степенной ряд, иногда удается получить ряд, сумма которого уже известна, это позволяет вычислить сумму исходного степенного ряда.

16

Пример 23. Найти сумму ряда

n xn .

(30)

n 1

∆ Согласно признаку Даламбера радиус сходимости ряда (30) равен R 1. Пусть

S(x) – сумма ряда (30), тогда

S(x)

n xn 1 .

x

n 1

Интегрируя полученное равенство от 0 до x при

x

1, получим

x

S(t)

1

x

dt xn

xn 1

1

0

t

n 1

n 0

1 x

1 x

d

x

S(t)

x

S(x)

1

x

dt

(1 x)

2

S(x)

x)

2 .

dx

0

t

1 x

x

(1

	Таким образом, сумма ряда (30) равна
	S(x)	x	,		x		1. ▲
		(1 x)2

17

Применение степенных рядов в приближенных вычислениях

1. Приближенное вычисление значений функций.

Для вычисления значений функций удобно пользоваться рядом Тейлора. Рассмотрим в качестве примера приближенное вычисление логарифмов.

Ряд Тейлора для логарифма имеет вид

			x	n
	ln(1 x) ( 1)n 1				,		x		1.	(31)
			n
	n 1

Ряд (31) пригоден при вычислениях логарифмов чисел не превышающих двух. Однако из ряда (31) можно получить другие разложения, позволяющие вычислить ло-

гарифмы любых чисел. Заменяя в (31) x на x

и вычитая получившийся ряд из (31),

получим

1

x

x

2n

ln

2x

,

x

1.

(32)

x

2n

1

n 0

1

Когда x меняется от 1 до 1, то

1 x

принимает все положительные значения.

1 x

Если требуется вычислить логарифм с заданной точностью, то нужно оценить

величину остатка ряда. Имеем

x

2k

2

x

2n 1

2

x

2n 1

rn (x)

2

x

x2k

,

x

1.

(33)

2k 1

2n 1

(2n

1)(1 x

2

)

k n

k 0

Пример 24. Вычислить ln 3 с точностью до 10 3 .

∆ Решая

1 x

3 находим

x

1

. Полагая в (32)

x

1

, находим

1 x

2

2

1

ln 3

.

(34)

(2n 1)2

2n

n 0

Оценка (33) в этом случае дает

rn (1 2)

4

. Отсюда при n 4 имеем

3(2n 1)22n

r (1 2)

4

5,8 10 4

10 3 .

4

3 9

256

Поэтому для вычисления ln 3

с точностью до 10 3

достаточно взять первые четыре

члена ряда (34):

ln 3 1

1

1

1

1,098 . ▲

3

5 16

4

7 64

18

2. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов.

Разлагая подынтегральную функцию f (t) в степенной ряд, можно, используя

x

свойство об интегрировании степенных рядов, представить интеграл f (t)dt в виде

0

степенного ряда и подсчитать величину этого интеграла с заданной точностью при любом значении x из интервала сходимости полученного ряда.

0,2ln(1 t 2 )

Пример 25. Вычислить интеграл

dt

с точностью до 10 4 .

t

2

0

∆ Воспользуемся разложением

x

n

ln(1 x) ( 1)n 1

,

x

1,

n

n 1

тогда, получаем

0,2ln(1 t 2 )

0,2

1

t 2n

0,2

t 2n 2

dt

( 1)n 1

dt

( 1)n 1

dt

t

2

t

2

n

n

0

0

n 1`

0 n 1`

( 1)n 1

0,2

( 1)n 1

t 2n 1

0,2

0,22n 1

t 2n 2dt

( 1)n 1

,

n 1`

n

0

n 1`

n

2n 1

0

n 1`

n(2n 1)

то есть

0,2ln(1 t 2 )

0,22n 1

dt

( 1)n 1

.

(35)

t

2

n(2n

1)

0

n 1`

Ряд (35) является знакочередующимся, для него была получена оценка остатка ряда в виде:

rn an ,

где rn – остаток знакочередующегося ряда ( 1)n 1 an
									n 1
Таким образом, для остатка rn ряда (35) имеем
									0,22n 1
					r					.
					n				n(2n 1)
Отсюда при n 3 получаем
	r			0,25				2 10 5 10 4
	n			3 5

( an 0 , n 1,2, ).

,

19

				0,2ln(1 t 2 )
и поэтому для вычисления интеграла										dt с точностью до 10 4 достаточно
						t	2
				0
взять первые три члена ряда (35):
0,2ln(1 t 2 )						0,23			0,25
			dt	0,2							0,1987 . ▲
		2
0	t					2	3			3 5

3. Приближенное решение дифференциальных уравнений.

а) Метод последовательного дифференцирования. Пусть требуется решить уравнение

				y		f (x, y, y ) ,							(36)
удовлетворяющее начальным условиям
			y(x ) y			0	,	y (x ) y .					(37)
				0				0	0
Решение поставленной задачи Коши (36), (37) ищем в виде ряда Тейлора:
y(x) y(x )	y (x )		(x x )		y (x )			(x x )2		y(n) (x )	(x x )n
		0				0				0			(38)
0		1!	0		2!			0		n!	0
Значения y(x0 ) и y (x0 )		берутся из начальных условий (37). Подставляя										x x0	в урав-
нение (36) определяется

y (x0 ) f (x0 , y(x0 ), y (x0 )) .

	Далее дифференцируя уравнение (36) необходимое число раз и подставляя x x0 , оп-
	ределяются и другие производные y(n) (x ) ( n 3,4, ).
					0
	Частичная сумма ряда (38) будет приближенным решением задачи Коши.
	Пример 26. Методом последовательного дифференцирования найти пять первых
	членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения уравнения
		y x2 y2 ,			y( 1) 2 ,			y ( 1) 1 2 .
	∆ Решение уравнения будем искать в виде
	y(x) y( 1)		y ( 1)	(x 1)		y ( 1)	(x	1)2	y(n) ( 1)	(x 1)n	(39)
		1!			2!				n!

Из условия задачи y( 1) 2 ,	y ( 1) 1 2 . Подставив x 1 в исходное уравнение, на-
ходим y ( 1) :
	y ( 1) ( 1)2 22 5 .

20