1 сем 13 14 Предел последоват и функции

г) Рассмотрим две последовательности {xn } точек сходящие к точке x0 0 :

(1)		1		(2)			1
{xn	}			и {xn	}				.
						2
		n						2 n

Не трудно видеть, что при n x(1)		1	0	и x(2)			1	0 ,
n		n		n		2	2 n
однако, при n

f (x(1) ) sin				1		sin n 0 ,
	n			xn(1)
(2)		1
f (xn	) sin				sin		2 n	1.
		xn(2)
						2
Поскольку последовательности значений функции { f (x(1) )}									и { f (x(2) )}
								n	n

сходятся к разным пределам, то из определения предела функции по Гейне сле-

дует, что функция y sin 1x не имеет предела при x 0. ▲

Число b называется пределом функции f (x) при x , если для любой последовательности {xn } значений аргумента, такой, что xn при n ,

соответствующая последовательность значений функции { f (xn )} сходится к

числу b . Такой предел обозначают lim f (x) b .
x
В этом определении можно положить xn (или	xn ) при
n , тогда такой предел функции обозначают lim	f (x) b (или
x
lim f (x) b).
x

Пример 2. Вычислить пределы:

x2 1

а)

lim

,

б) lim (

x 1

x) .

2x2

x x

n

(x2

1

x2

1

1

x2 1

1)

lim

1

1

а) lim

lim

x2

lim

x2

x2

x2

.

x 2x2

x x 2x2

x

2

1

x

x 1

2

(x 2x

)

2

x2

x

x2

x2

(

x 1

x)

б) lim (

x 1

x) lim (

x 1

x)

(

x 1

x)

n

n

2 (

)

2

lim

( x 1 x)( x 1 x)

lim

( x 1)

x

(

x 1

x)

x

1

x

n

n

lim

(x 1) x

lim

1

0 . ▲

x 1

x

x 1

x

n

n

Укажем некоторые свойства функций, имеющих предел.

1)Функция f (x) может иметь в точке x0 только один предел.

2)Если функция f (x) имеет предел в точке x0 , то существует такая про-

колотая окрестность этой точки, на которой функция f (x) ограничена.

3) Если существует lim f (x) b 0
	, то существует O (x0 ) такая, что
x x0

f (x) 0		f (x) имеет тот же знак, что и b .
	для любого x O (x0 ) и
4) Если существует lim f (x) y0			( f (x) y0 при	x x0 ) и существует
	x x0

lim F ( y) , тогда при x x0 существует предел сложной функции F( f (x)) и

y

y0

lim

F ( f (x)) lim F ( y) .

x x0

y

y0

5) Если существуют lim

f (x) и lim

g(x) , то

x x0

x x0

lim [ f (x) g(x)] lim

f (x) lim g(x) ,

x x0

x x0

x x0

lim

f (x) g(x)

lim

f (x) lim g(x) ,

x x0

x x0

x x0

f (x)

lim f (x)

lim

x x0

( lim g(x) 0 ).

g(x)

lim g(x)

x x0

x x0

x x0

f (x) g(x) h(x)

6) Если для всех x O (x0 ) выполняется неравенство

и

lim

f (x) lim h(x) b , то

lim g(x) b .

x x0

x x0

x x0

2. Замечательные пределы

Первый замечательный предел

lim

sin x

1.

(1)

x

x 0

1 x

Второй замечательный предел

lim

1

e .

(2)

x

x

Докажем формулу (1). Пусть 0 x 2 , тогда

MN MA BA ,

		BA tg x ,
MN sin x ,	MA x ,

sin x x tg x .

Тогда

sin x x tg x

1

x

1

sin x

cos x

cos x

sin x

1.

(3)

x

Заметим, что неравенство (3) справедливо и для

2 x 0 .

Перейдѐм в неравенстве (3) к пределу при x 0 и воспользуемся свой-

ством 6) функций, имеющих предел. Тогда получаем, что lim

sin x

1.

x 0

x

Пример. Вычислить пределы:

cos x cos3x

x 1

x 3

а) lim

,

б)

lim

.

x2

x 0

x x

2

2 sin

x 3x

sin

x 3x

cos x cos3x

а) lim

lim

2

2

x 0

x2

x 0

x2

2 lim

sin 2x sin x

2 lim

sin 2x

sin x

2 lim

sin 2x

lim

sin x

x 0

x2

x 0

x

x

x 0

x

x 0

x

2 2 lim

sin 2x

lim

sin x

2 2 lim

sin 2x

lim

sin x

2 2 1 1 4 .

x 0 2x

x 0

x

2 x 0

2x

x 0

x

x 1

x 3

x 2 1

x 3

1

x 3

б) lim

lim

lim

1

x x 2

x

x 2

x

x 2

x 3

( x 2)

1

1

( x 2) ( x 3)

lim 1

lim

1

x

(x

2)

x

(x 2)

( x 2)

x 3

lim

x 3

1

x 2

e 1 . ▲

lim 1

ex

x 2

x

(x 2)

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция f (x) называется бесконечно малой при x x0 , если

0 ( ) 0 x O (x ) D : f (x) ,

0

то есть lim f (x) 0 .

x x0

Функция f (x) называется бесконечно большой при x x0 , если

0 ( ) 0 x O (x ) D : f (x) ,

0

и записывают lim f (x) .

x x0

Замечание 1. Если в определении бесконечно большой функции выполня-

ется	условие	f (x) (или	f (x) ), то пишут	lim f (x) (или
				x x0
lim	f (x) ).
x x0
	Замечание 2. Аналогично определяются бесконечно малые и бесконечно
большие функции при x x0 ,			x x0 , x , x , x .
	Замечание 3. Если функция		f (x) является бесконечно малой при x x0 ,
то функция 1		f (x) будет бесконечно большой при x x0 , и наоборот.
	Замечание 4. Если lim f (x) b , то функцию f (x) можно представить в
		x x0
виде	f (x) b (x) , где (x) – бесконечно малая функция при x x0 .

Рассмотрим правила сравнения бесконечно малых функций. Аналогич-

ные правила сравнения существуют и для бесконечно больших функций.

Пусть (x) и (x) бесконечно малые функции при x x0 , тогда

1) если не существует lim	(x)	, то функции	(x)	и (x)	называются
x x0	(x)

несравнимыми;

2) если	lim		(x) 0 , то		(x) называется бесконечно малой более высо-
	x x0		(x)
кого порядка,	чем		(x) , и обозначают			(x) o( (x))	при x x0 (говорят,
(x) является «о малое» функции (x) ).
3) если	lim		(x) b 0		и ,	то (x) и (x)	называют бесконечно
	x x0		(x)
малыми одного порядка, и обозначают						(x) O( (x))	при x x0 (говорят,
(x) является «о большое» функции (x) ).
4) если	lim		(x) 1, то		(x) и (x) называют эквивалентными беско-
	x x0		(x)
нечно малыми и обозначают (x) ~ (x) при x x0 .
5) если	lim		(x)	b 0	и , то (x) называют бесконечно малой n -
x x0 n (x)
го порядка относительно (x) .

Эквивалентные бесконечно малые функции применяют для вычисления

пределов.

Теорема. Предел отношения бесконечно малых функций равен пределу

отношения эквивалентных бесконечно малых величин.
Доказательство. Пусть (x) ~ 1(x)					и (x) ~ 1(x) при	x x0 , дока-
жем, что lim	(x)	lim	1 (x)	:
	(x)		(x)
x x0		x x0
			1

lim

(x)

lim

(x)

1 (x)

1 (x)

lim

(x)

(x)

(x)

(x)

x x0

(x)

x x0

(x)

x x0

1

1

1

lim

(x)

lim

1(x)

lim

1(x)

1 lim

1(x)

(x)

(x)

(x)

x x0

x x0 (x)

x x0

x x0

1

1

1

1 (x) 1 (x)1 (x) (x)

1 lim 1(x) .

x x0 1(x)

Теорема доказана.

Примером эквивалентных бесконечно малых, которыми удобно пользо-

ваться при решении задач, являются следующие функции при x 0:

1)	sin x ~ x ,	2)	tg x ~ x ,	3) 1 cos x ~ x2 2 ,
4)	ln(1 x) ~ x ,	5)	ex 1 ~ x ,	6) (1 x)n 1 ~ nx .

Пример. Вычислить пределы:

а)

lim

sin 5x

,

б)

lim

ln(1 2x

2 )

,

в) lim

e4 x 1

.

tg 8x

1 cos 3x

(1 x)6

1

x 0

x 0

x 0

а) lim

sin 5x

lim

5x

5

.

x 0

tg 8x

x 0

8x 8

б) lim

ln(1 2x2 )

lim

2x2

4

.

1

cos3x

(9x2

2)

9

x 0

x 0

в) lim

e4 x 1

lim

4x

4

2

. ▲

x)6 1

x 0

(1

x 0

6x 6 3