de1
.pdfв точности равна n, и уравнение имеет n корней. Поэтому общее решение уравнения Эйлера записывается в виде
n
X
y = Ckxλk . |
(2.10.3) |
k=1 |
|
Для подробного изучения форм и свойств решения (2.10.3) можно воспользоваться подстановкой (2.1.9), которая приводит более общее уравнение (2.1.8), тоже инвариантное относительно растяжений по x, к автономному виду. При этом уравнение (2.10.1) приводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами. Рассмотрим в качестве примера линейное уравнение Эйлера 2-го порядка
|
|
|
x2y′′ + (2p + 1)xy′ + qy = 0. |
|
|
|
(2.10.4) |
||||||||
Подстановка (2.1.9) приводит его к уравнению |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
y¨ + 2py˙ + qy = 0, |
|
|
|
|
|
|
|||
общее решение которого записывается в виде (см. п. 2.8) |
|
|
|
|
|||||||||||
y(t) = |
|
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
C1e −p+√ |
p2−q |
t + C2e −p−√ |
p2−q |
t |
|
|
при |
p2 |
> q, |
|||||
(C1t + C2)e− |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
при |
p |
2 |
= q, |
|||
|
|
pt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
C1 cos |
|
q − p t + C2 sin |
q − p t |
|
|
|
|
||||||
|
e− |
|
при |
p |
|
< q. |
|||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, решением исходного уравнения (2.10.4) будет (после подстановки t = ln x)
y(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
C1x −p+√ |
p2 |
−q |
|
+ C2x −p−√ |
p2−q |
|
|
|
|
при |
p2 > q, |
||||||||
(C1 ln x + C2)x− |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
при |
p |
2 |
= q, |
|||||||||
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
C1 cos |
|
|
|
|
q − p ln x |
+ C2 sin |
|
q − p ln x |
|
|
|
|
||||||
|
x− |
p |
p |
при |
p |
|
< q. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Совершенно аналогично решается и неоднородное уравнение Эйлера.
2.11.Задача Штурма–Лиувилля
Задачей Штурма–Лиувилля или краевой задачей на собственные значения называется задача поиска нетривиальных (не равных нулю тождественно) решений линейного однородного уравнения с переменными коэффициентами
dx |
p(x) dx |
− q(x)y + λr(x)y = 0, |
(2.11.1) |
|
d |
|
dy |
|
|
101
на промежутке (a, b), удовлетворяющих однородным краевым условиям
y(a) = 0, y(b) = 0 (2.11.2)
(точки a и b могут быть и бесконечно удаленными). Функции p(x), q(x) и r(x) – непрерывные и неотрицательные на рассматриваемом промежутке.
Задачи на собственные значения возникают в математической физике при применении метода разделения переменных (метода Фурье). Как правило, в качестве условий задаются значения искомой функции в некоторый начальный момент времени (t = t0) и на границах исследуемой области. Поэтому по временн´ой координате ставится задача Коши, а по пространственным – краевая. При этом функции p(x) и r(x) в той или иной степени отражают “геометрию” задачи (они возникают, в частности, как коэффициенты Ламе при переходе от декартовой к криволинейным координатам), а функция q(x) является потенциальной.
Вообще говоря, ниоткуда не следует, что задача (2.11.1)–(2.11.2) имеет нетривиальное решение. В ряде случаев оно существует лишь при определенных значениях параметра λ. Множество Λ таких значений называется спектром задачи. Числа λj Λ называются собственными числами задачи, а соответствующие им решения yj (x) – собственными функциями.
Свойства нетривиальных решений задачи (2.11.1)–(2.11.2) формулирует следующая теорема [21].
Теорема 4. При p(x) > 0 на [a, b]
1. Существует счетное множество собственных чисел λ1 < λ2 <
. . . < λn . . . , которым соответствуют нетривиальные решения задачи – собственные функции y1(x), y2(x), . . . , yn(x), . . . .
2.При q(x) > 0 все собственные числа λj положительны.
3.Собственные функции ym(x), yn(x) при m 6= n ортогональны
между собой с весом r(x) на отрезке [a, b]
Zb
r(x)ym(x)yn(x) dx = 0 (m =6 n).
a
4. (Теорема разложимости В. А. Стеклова). Произвольная функция F (x), дважды непрерывно дифференцируемая и удовлетворяющая граничным условиям F (a) = F (b) = 0, разлагается в равномерно и абсолютно сходящийся ряд по собственным функциям yj (x):
∞ |
|
|
|
1 |
|
Z |
b |
|
|
|
|
|
|||
F (x) = n=1 |
Fnyn(x), |
Fn = |
|
|
|
F (x)yn(x)r(x) dx, |
|
X |
|
k |
|
k a |
|
102
где kynk – норма yn
Zb
kynk2 = yn2 (x)r(x) dx.
a
Заметим, что если функция p(x) обращается в нуль на концах промежутка, теорема 4 формулируется несколько иначе [21] (здесь мы эту формулировку не приводим). Докажем свойство 3, но сначала выведем одну полезную формулу. Пусть u(x) и v(x) – произвольные функции, дважды дифференцируемые на интервале (a, b) и имеющие непрерывную первую производную на отрезке [a, b]. Введем дифференциальный оператор
L[y] = |
d |
p(x) |
dy |
− q(x)y |
|
|
|||
dx |
dx |
и рассмотрим выражение
uL[v] − vL[u] = u(pv′)′ − v(pu′)′ = [p(uv′ − u′v)]′.
Интегрируя это равенство по x от a до b, получим формулу Грина
Zb
(uL[v] − vL[u]) dx = p(uv′ − u′v)|ba .
a
Теперь пусть ym(x), yn(x) – две собственные функции, соответствующие собственным числам λm, λn. Полагая в формуле Грина u = ym(x), v = yn(x) и учитывая граничные условия, находим
Zb
(ymL[yn] − ynL[ym]) dx = 0,
a
откуда, воспользовавшись исходным уравнением (2.11.1), получаем
Zb
(λn − λm) yn(x)ym(x)r(x) dx = 0.
a
Таким образом, если λm =6 λn, то имеет место условие
Zb
yn(x)ym(x)r(x) dx = 0,
a
выражающее ортогональность с весом r(x) собственных функций ym(x) и yn(x).
103
Пример 7. Рассмотрим простейшую задачу Штурма–Лиувилля, возникающую при решении задачи о колебании струны. Уравнение имеет вид
y′′ + λy = 0, |
(2.11.3) |
краевые условия соответствуют закреплению струны с обоих концов:
y(0) = y(l) = 0 |
(2.11.4) |
(l – длина струны). Очевидно, здесь p(x) = 1, q(x) = 0, r(x) = 0, a = 0, b = l. 1. λ < 0. Тогда общее решение уравнения (2.11.3) имеет вид
√√
y(x) = C1e −λx + C2e− −λx.
Подставляя граничные условия (2.11.4), получим систему алгебраических уравнений
(
C1 + C2 = 0,
√√
C1e −λl + C2e− −λl = 0.
Определитель этой системы заведомо не равен нулю (при λ 6= 0, l =6 0), поэтому система совместна, но имеет лишь тривиальное решение C1 = C2 = 0.
2. λ = 0. Общее решение уравнения (2.11.3) имеет вид
y(x) = C1x + C2,
иотсутствие нетривиального решения краевой задачи очевидно.
3.λ > 0. В этом случае общее решение уравнения (2.11.3) имеет вид
|
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
y(x) = C1 sin λx + C2 cos |
|
λx. |
|||||
Подставляя граничные условия (2.11.4), убеждаемся, что C2 = 0, а C1 произвольно, |
|||||||||
|
π2k2 |
|
|
|
|||||
если λ = |
|
, k = 1, 2, . . . . Эти значения составляют счетное множество и являются |
|||||||
l2 |
|||||||||
собственными числами. Каждому λk соответствует собственная функция |
|||||||||
|
|
|
|
|
πk |
(2.11.5) |
|||
|
|
yk (x) = sin |
|
x, |
|||||
|
|
l |
все множество {yk } образует базис гильбертова пространства (ортогональность функций (2.11.5) весьма несложно проверить), любая функция, удовлетворяющая условиям теоремы 4 (п. 4), может быть разложена в ряд Фурье по этому базису.
2.12.Задача о “провисании” потенциала
Задача об изменении потенциала вдоль бесконечно широкого пучка электронов первоначально решалась в связи с расчетом токопрохождения в многоэлектродных лампах (см., например, [22]). Здесь мы ее приводим как простейший пример решения краевой задачи для нелинейного уравнения.
104
Сначала рассмотрим поток электронов в обычной двухэлектродной вакуумной лампе – диоде. Если катод имеет нулевой потенциал, а анод – потенциал Ua, в отсутствие свободных электронов в межэлектродном промежутке потенциал V растет линейно от катода к аноду. Однако вследствие термоэмиссии электроны с поверхности катода попадают в межэлектродный промежуток, где возникает объемный или пространственный заряд электронов с плотностью ρ. Таким образом, эмитированные катодом электроны движутся в суммарном электрическом поле, задаваемом электродами и собственным объемным зарядом электронов. Поле определяется уравнением Пуассона
V = |
ρ |
, |
(2.12.1) |
|
|||
|
ε0 |
|
где – оператор Лапласа, ε0 – диэлектрическая проницаемость (мы считаем ее константой). Пусть катод и анод являются бесконечными плоскими пластинами по осям x, y, а поток электронов направлен по нормали к этой поверхности, т. е. в направлении оси z. В данном случае мы можем рассматривать нашу задачу как одномерную, и уравнение (2.12.1)
запишется в виде |
|
|
|
|
|
|
d2V |
|
ρ |
|
|
|
|
= |
|
. |
(2.12.2) |
|
dz2 |
ε0 |
К этому соотношению следует добавить уравнение неразрывности
∂ρ
∂t
+ div j = 0,
где j – вектор плотности тока. В силу стационарности (dρ/dt = 0) и одномерности задачи имеем dj/dz = 0, т. е. j = ρv = const вдоль оси z (v – скорость потока электронов). С учетом этого уравнение Пуассона (2.12.2) перепишется в виде
d2V |
= |
j |
, |
(2.12.3) |
dz2 |
ε0v |
где j – z-проекция плотности электронного тока (остальные проекции равны нулю). Величину v можно найти из закона сохранения энергии
mv2 2 −eV = C, где m – масса электрона, e – заряд электрона, C – полная энергия, которая в данном случае равна нулю, так как в начальной точке (в катоде) скорость электрона и потенциал – нулевые. Полагая e/m = η
(во избежание путаницы в обозначениях), находим v = |
2ηV (z). Окон- |
|||||
|
|
|
|
|
|
(2.12.3), находим |
чательно, подставляя найденное значение v в уравнение p |
||||||
дифференциальное уравнение для потенциала |
|
|||||
|
d2V |
|
|
j |
|
|
|
|
= |
|
|
. |
(2.12.4) |
|
dz2 |
ε0p |
|
|||
|
2ηV (z) |
105
Граничные условия задачи в данном случае определяют задачу Ко-
ши |
|
|
|
|
dz z=0 = 0, |
|||
V |z=0 = 0, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dV |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и с их учетом после двукратного |
интегрирования уравнения (2.12.4) по- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
лучаем |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε0 |
|
|
|||
j = |
|
2ηV 3/2. |
||||||
9z2 |
||||||||
Если расстояние между электродамиpравно d, а напряжение на аноде Ua, |
||||||||
то эта формула примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
j = |
|
|
ε0p2ηUa3/2. |
|||||
|
|
|||||||
9d2 |
|
Это выражение носит название закона Ленгмюра или закона “трёх вторых” и связывает плотность тока и анодное напряжение диода при заданном расстоянии между электродами.
Теперь рассмотрим поток электронов, заполняющий все пространство между двумя бесконечными параллельными плоскими электродами A и B, и движущийся в направлении нормали к электродам, которую примем за ось z (рис. 11)3:
Рис. 11.
Потенциалы электродов A и B одинаковы и равны V0, а потенциал катода равен нулю. Примем, что скорости электронов и плотность тока j во всех точках каждой плоскости, перпендикуларной оси z, имеют одинаковые значения, т. е. все физические величины будут зависеть лишь от
3Рисунки данного раздела заимствованы из книги [23].
106
осевой координаты z, поэтому задачу также можно рассматривать как одномерную. Искомой величиной является распределение потенциала в пространстве между электродами A и B [23].
Граничные условия задачи имеют вид
|
|
|
V |z=0 = V |z=l = V0, |
|
||||||||
следовательно, задача симметрична относительно сечения |
z = l/2. По- |
|||||||||||
этому в точке z = l/2 потенциал имеет минимум, и |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dz z=l/2 |
= 0. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
dV |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Учитывая это обстоятельство и |
интегрируя уравнение (2.12.4), умножен- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
ное на 2 |
dV |
(интегрирующий множитель), в пределах от z до l/2, полу- |
||||||||||
dz |
||||||||||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dz |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
− VMIN . |
(2.12.5) |
||||
|
|
= ε0√2η V 1/2 |
||||||||||
|
|
dV |
|
|
|
|
4j |
|
1/2 |
|
Скорость электронов в минимуме потенциала (т. е. в точке z = l/2) определяется выражением vMIN = √2ηVMIN. Поэтому нетрудно видеть, что правая часть уравнения (2.12.5) пропорциональна разности скоростей электронов в произвольной точке z и в точке z = l/2. С ростом плотности тока j потенциал в минимуме уменьшается и при большой плотности может достигать нуля. В этом случае (VMIN = 0) электроны, дойдя до среднего сечения, останавливаются, в пучке возникает неподвижное электронное облако (“виртуальный катод”), и нормальное прохождение тока нарушается.
Повторное интегрирование (уравнение (2.12.5) – тоже автономное!) после несложных преобразований дает
9 |
1 − r V |
! |
1 + 2r V |
! |
= |
ε0√2ηV 3/2 |
z − |
2 |
. (2.12.6) |
||||
16 |
|
VMIN |
|
|
VMIN |
2 |
|
|
4j |
|
l |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая z = 0, из (2.12.6) получаем зависимость отношения потенциала
|
|
|
l2j |
|
|
|
0 |
||
в минимуме VMIN к потенциалу на электродах V0 от параметра |
|
V 3/2 |
. |
|
|
|
|
|
|
График этой зависимости приведен на рис. 12. |
|
|
|
|
Интересно, что при уменьшении плотности тока пучка |
изменение |
|||
|
|
|
|
потенциала в минимуме не соответствует “обратному ходу” вдоль кривой,
описывающей изменение потенциала при увеличении тока. Кривая |
VMIN |
|||||
V |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
|
l2j |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
как функция |
|
V 3/2 |
|
имеет гистерезисный характер. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107
Рис. 12.
При тех плотностях тока пучка на входе в систему, для которых потенциал в средней точке падает до нуля, пучок электронов распадается как бы на два диода: от первого электрода (диафрагма) до виртуального катода и от виртуального катода до второго электрода (коллектора). К каждому из этих диодов можно применить закон трех вторых, и если обозначить плотность тока через коллектор через j1, можно построить
|
|
l2j |
|
|
|
l2j |
|
|
0 |
|
0 |
||||
|
|
1 |
|
от величины |
|
|
|
имеющей |
|
|
|||||
зависимость |
V 3/2 |
|
V 3/2 |
. График этой зависимости (также |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гистерезисный характер) показан на рис. 13.
Рис. 13.
108
В заключение заметим, что рассмотренная в данном разделе краевая
задача имеет на некотором подмножестве области изменения параметра
l2j
3/2 три решения, как это следует из формулы (2.12.6), причем два
V0
из них – условно устойчивы (одно – при условии роста параметра, второе
– при условии его уменьшения), а третье – неустойчивое (на рис. 12 оно не показано).
109
Глава 3. Элементы аналитической теории дифференциальных уравнений
3.1.Обобщенный степенной ряд. Особые точки уравнения
Рассмотрим уравнение |
|
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, |
(3.1.1) |
где p(x) и q(x) являются голоморфными в окрестности некоторой точки
∞ |
∞ |
X |
X |
x = x0, т. е. p(x) = |
pk(x − x0)k, q(x) = qk(x − x0)k, причем ряды |
k=0 |
k=0 |
сходятся при |x − x0| < r. Тогда, согласно теореме Коши, существует единственное решение, голоморфное в той же окрестности и принимающее
в точке x = x0 любые наперед заданные начальные значения y0 |
и y0′ , т. е. |
||||||||||
решение вида |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y′ |
|
|
|
|
X |
|
|
)k. |
|
y = y |
0 |
(x |
− |
x |
) + |
c (x |
− |
x |
(3.1.2) |
||
|
0 |
|
0 |
|
k |
0 |
|
|
k=2
В приложениях часто встречаются случаи, когда коэффициенты уравнения – полиномы или отношения полиномов. В первом случае ряд (3.1.2) сходится при всех x, во втором – радиус сходимости не меньше, чем расстояние от x = x0 до ближайшего нуля знаменателей функций из (3.1.1).
Пусть x = x0 – особая точка уравнения (3.1.1). Тогда в общем случае решение не будет голоморфным ни в какой окрестности этой точки. Например, уравнение Бесселя
x2y′′ + xy′ + |
x2 − 4 y = 0 |
|
|
1 |
|
имеет особую точку x = 0. Несложные преобразования (z = √xy) позволяют найти фундаментальную систему решений
|
sin x |
|
|
cos x |
|
||||
y1 = |
√ |
|
|
, y2 |
= |
√ |
|
|
(x > 0). |
x |
x |
Решения не голоморфны в окрестности x = 0, но представимы в виде рядов
y1 = |
√x |
= √x x − |
3! + |
5! − . . . |
, |
||||
|
sin x |
1 |
|
x3 |
x5 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2! + |
4! − . . . |
|
y2 = |
√x |
= √x 1 − |
|
||||||
|
cos x |
1 |
|
x2 |
x4 |
|
110