ПОСОБИЕ ЧАСТЬ 2 -цепи переменного тока

2 РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

2.1Мгновенные значения синусоидальных величин и формы записи их комплексных изображений. Последовательное и параллельное соединение элементов

Задача 2.1.1 Построить графики мгновенных напряжения u(t) и тока i(t) во времени и начертить векторы, изображающие их в комплексной плоскости. Определить период Т, частоту f, сдвиг фаз между током и напряжением , если:

u(t) 100sin 314t 4 B,				i(t) 100sin 314t 6 A.
РЕШЕНИЕ:
Период переменного тока: T	2		2	0,02 c, частота – величина,

314

обратная периоду: f	1				1		50	Гц.
					0,02
	T		2
Фазовый сдвиг между током и напряжени-
ем: u i 4 6 512							рад,	=75 .

ВД и мгновенные значения напряжения и тока приведены на рис. 2.1.1.а и рис. 2.1.1.б соответственно.

Рис. 2.1.1.а

Рис. 2.1.1. б

Задача 2.1.2 Для двух заданных мгновенных токов:

i1(t) = 20sin( t + 45°) A и i2(t) = 30sin( t – 60°) A, построить ВД, с использо-

ванием которой, найти сумму и разность мгновенных токов.

РЕШЕНИЕ:

1) Учитывая, что вектор (комплекс) тока Im Imej i, а мгновенное значение тока i(t) Im sin t i , найдем вначале комплекс амплитуды токов:

			j45			j60
	I1m 20 e			A, I2m 30 e				A.
		2) Выберем масштаб для изображения векторов тока MI = 5 A/см и по-
							(рис. 2.1.2).
	строим векторы токов I1m				и I2m

31

3)Найдем сумму векторов и обозначим суммарный вектор тока через Im.

4)Найдем разность векторов и обозначим разностный вектор тока через Im.

5)Из ВД определяем амплитуду и на-

чальную	фазу	суммарного	тока:
I'm = 31	A, ' = – 24°, тогда мгновенное

значение суммарного тока запишем сле-

дующим образом: i'(t) = i1(t) + i2(t) = = 31sin( t – 24°) A.

Аналогично из ВД находим амплитуду и начальную фазу разностного тока: Im = 41 A, " = 93°. Тогда мгновенное значение разностного тока будет иметь вид: i"(t)=

i1(t) – i2(t) = 41sin( t + 93°) A.

Рис. 2.1.2

Задача 2.1.3 Катушка с индуктивностью L = 0,1 Гн и активным сопротивлением R = 10 Ом (рис. 2.1.3) подключена к источнику синусоидального напряжения, действующее значение которого U = 220 B, частота f = 50 Гц. Определить полное сопротивление катушки Z, действующее значение тока I и угол сдвига фаз между током и напряжением ; рассчитать активную Ua, реактивную UL составляющие напряжения. Найти чему будет равна ЭДС самоиндукции ЕL? Построить векторную диаграмму напряжений и тока, приняв начальную фазу тока i = 0.

При синусоидально изменяющемся токе i(t) = Im sin t. Записать уравнения для мгновенных значений активной

	ua(t) и реактивной uL(t) составляющих общего напряже-
	ния u(t); активной pa(t), реактивной pL(t), полной мощ-
	ности p(t) и энергии магнитного поля WM(t). Построить
	кривые зависимости этих величин в функции t.
	РЕШЕНИЕ:
	Определим вначале реактивное (индуктивное) сопро-
Рис. 2.1.3	тивление катушки по формуле:
	XL = L = 2 fL = 314·0,1 = 31,4 Ом.

Тогда полное сопротивление цепи, состоящей из разнородных R – L элементов, определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, изображенного на

рис. 2.1.3.а (по теореме Пифагора): Z R2 XL2 102 31,42 33,4 Ом, угол сдвига фаз φ между общим напряжением u(t) и током в цепи i(t), найдем

		XL		31,4
	как: arctg			arctg			72,4 .
		R			10

32

Рис. 2.1.3.б

Действующее значение тока в катушке: I = U/Z = 220/33,4 = 6,51 A. Действующие значения активной и реактивной составляющих напряжения находим в соответствии с законом Ома:

активная составляющая: Ua = RI = 10·6,51 = 65,1 B, реактивная составляющая: UL = XLI = 31,4·6,51 = 205 B.

Тогда ЭДС самоиндукции, уравновешивающая падение напря-

жения на катушке индуктивности: EL = – UL = – 205 B.

Рис. 2.1.3.а

Для построения ВД, выбираем масштабы для тока и напряжения: MI = 2 A/см, MU = 40 B/см. ВД строим в следующем порядке (рис. 2.1.3.б):

1) Т.к. начальная фаза тока i = 0, то вектор токаI откладываем вдоль оси вещественных чисел

"+1"; 2) По направлению с током строим вектор актив-

ной составляющей падения напряжения в активном сопротивлении Ua;

3) Строим вектор реактивной составляющей падения напряжения в реактивном (неактивном) индуктивном сопротивлении катушки UL,который опережает вектор тока на /2;

4) Вектор приложенного напряжения Uполучаем в результате геометрического сложения векторов напряжения Ua и UL;

5) Отмечаем фазовый сдвиг (угол ) между общим напряжением и током.

Если принять равной нулю начальную фазу напряжения u = 0, то ВД изменится (рис 2.1.3.в). Для построения ВД при u = 0:

1) Откладываем вектор общего приложенного напряжения U вдоль оси вещественных чисел;

2) Строим вектор тока I, который отстает от общего напряжения U на угол

;

Рис. 2.1.3.в

3) По направлению с током откладываем вектор падения напряжения в активном сопротивлении Ua;

33

4) Под углом равным /2, в сторону опережения тока строим вектор паде-

ния напряжения в реактивном сопротивлении катушки UL.

Из ВД следует: вектор общего напряжения U может быть представлен в виде геометрической суммы двух проекций на ось вещественных и мнимых чи-

сел: активной Ua, совпадающей по фазе с током, и реактивной UL, которая направлена перпендикулярно к току.

Определим полную, активную и реактивную мощности, потребляемые R

– L цепью:

полная мощность: S = UI = 220·6,51 = 1430 BA;

активная мощность: P = I2R = 6,512·10 = 423 Вт;

иначе P = UI cos = 220·6,51·cos(72,4°) = 423 Bт; или P = UaI = 65,1·6,51 = 423 Вт;

реактивная мощность: Q = I2XL = 6,512·31,4 = 1340 BAp; иначе Q = UI sin = 220·6,51·sin(72,4°) = 1340 BAp; или Q = ULI = 205·6,51 = 1340 BAp;

Запишем выражения для мгновенного значения тока, общего напряжения, его составляющих, мощностей и энергии магнитного поля катушки:

i(t) Im sin t 6,51 2sin314t 9,22sin314t				A;
u(t) = Umsin( t + ) =220			2sin(314t 72,4 ) 311sin(314t 72,4 ) В;
ua(t) = Ri(t) = 92,2sin314t	B; uL(t) = XLImcos t = 290cos314t			B;

Графики тока, общего напряжения и его составляющие приведены на рис. 2.1.3.г.

Рис. 2.1.3.в

pa(t) = ua(t)·i(t) = RIm2sin2 t = RI2(1 – cos2 t) = 423(1 – cos628t); pL(t) = uL(t)· i(t) = XLIm2 cos t·sin t = XLI2sin2 t = 1340sin628t;

p(t) = u(t)·i(t) = Umsin( t + )·Imsin t = UI[ cos – cos(2 t + )] = = 1430[cos72,4°– cos(628t + 72,4°)] = 423 – 1430cos(628t + 72,4°);

34

Li(t)2

LIm

2

2

LI

2

0,1 6,412

WМ(t)

sin

t

(1 cos2 t)

(1 cos628t)

2

2

2

2

2,12(1 cos628t)

Дж.

Графики

мгновенных

полной p(t), активной

pa(t) и

реактивной

pL(t), а также энергии

магнитного поля ка-

тушки WM(t) приведены на рис. 2.1.3.г.

Рис. 2.1.3.г

Задача 2.1.4 Для определения параметров катушки индуктивности L и R в цепь переменного тока включены амперметр, вольтметр и ваттметр (рис. 2.1.4), которые дали следующие показания: I = 5 A, U = 80 B, P = 150 Вт. Частота питающего напряжения f = 50 Гц. Требуется найти параметры катушки L

и R.

РЕШЕНИЕ:

R		P				150		6	Ом,
		I2
				52
Z	U				80		16		Ом,
		I		5

XL		Z2 R2		162		62 13,4 Ом,
L	XL		13,4		42,7	мГн.

2 50

Рис. 2.1.4

Задача 2.1.5 При включении катушки в цепь постоянного тока амперметр показал 2 А, вольтметр – 30 В; затем ту же катушку включили в цепь синусоидального тока частотой f = 400 Гц, при этом амперметр показал 1 А, вольтметр – 77 В. Определить параметры катушки L и R.

РЕШЕНИЕ:

В общем случае модуль полного сопротивления катушки индуктивности определяется как Z R2 2L2 , при включении катушки в цепь постоянного

35

тока, где ω = 0, получаем Z R2 02 R, поэтому измерение на постоянном токе дает возможность найти активное (омическое) сопротивление катушки:

R	U		30	15 Ом,
	I
		2

Измерение на переменном токе, где 2 f позволяет рассчитать модуль

полного сопротивления катушки: Z U 77 77 Ом, I 1

Зная активное сопротивление катушки R = 15 Ом и модуль полного сопротивления на переменном токе Z 77Ом, найдем реактивное сопротивление катушки и ее индуктивность:

						L	XL		75,5	0,03Гн 30 мГн.
	XL	Z2 R2		772 152	77,5 Ом,
									2 400

Задача 2.1.6 Последовательно соединенные резистор с сопротивлением R = 120 Ом и конденсатор емкостью С = 19,7 мкФ подключены к источнику синусоидального напряжения u(t) = 311 sin 314 t (рис. 2.1.6). Требуется найти полное сопротивление цепи, действующее значение напряжения U и тока I, угол сдвига фаз между напряжением и током, активную Ua и реактивную UC составляющие напряжения. Построить ВД тока и напряжений. Выяснить, как будет выглядеть ВД, если принять равной нулю начальную фазу тока? Рассчитать модули полной S, активной P и реактивной Q мощностей R – L цепи. При заданном напряжении записать выражения для мгновенных значений тока, активной ua(t) и реактивной uC(t) составляющих напряжения мгновенных активной pа(t), реактивной pC(t), полной мощности p(t) и энергии электрического поля WЭ(t) в конденсаторе. Построить векторные и временные диаграммы.

РЕШЕНИЕ:

Т.к. частота источника ω = 314 рад/с и емкость конденсатора известны, то реактивное емкостное сопротивление конденсатора найдем как:

	Рис. 2.1.6		1		1
		XC C			2 50 19,7 10 6	160 Ом.

Тогда модуль полного сопротивления цепи:

Z

R2 XC

2

1202 1602

200 Ом.

Угол сдвига фаз между током и общим напряжением:

arctg XC arctg 160 53,1 .

						R	120
Действующее значение напряжения:
	U		Um			0,707Um 0,707 311 220 B,
			2
Определяем действующее значение тока: I = U/Z = 220/200 = 1,1 A, дейст-
вующее	значение					активной	составляющей	напряжения:

36

Ua = RI = 120·1,1 = 132 B, а также реактивной составляющей напряжения: UC = XC I = 160·1,1 = 176 B.

Рис. 2.1.6.а

Рис. 2.1.6.б

Для построения ВД (рис. 2.1.6.а) выбираем масштабы: для напряжения MU = 50 В/см и для тока MI = 0,2 A/см. Т.к. начальная фаза общего напряжения u = 0, то вектор напряжения U откладываем вдоль оси вещественных чисел, а затем вектор тока I с опережением вектора общего напряжения на угол . Вектор Uа будет совпадать с векто-

ром тока I, а вектор UС будет отставать от

вектора тока I на угол 90° (в емкости ток "спешащий").

Если принять начальную фазу тока i = 0, то построение ВД нужно начинать с построения вектора тока I, откладывая его вдоль оси вещественных чисел. Далее строим век-

тор напряжения Uа, который совпадает с вектором тока I. Под углом 90° в сторону отставания от тока I строим вектор напря-

жения UС. Затем строим вектор общего на-

пряжения U и отмечаем угол между вектором тока и вектором общего напряжения

(рис. 2.1.6.б).

Из ВД следует, что активная Uа и реактивная UС составляющие общего

напряжения являются проекциями вектора U на оси вещественных и мнимых чисел. Определим модули полной, активной и реактивной мощности, потребляемых R – C цепью.

полная мощность: S = UI = 220·1,1 = 242 BA;

активная мощность: P = I2R = 1,12·220 = 146 Вт;

реактивная мощность: Q = I2(–Xc) = 1,12 ·(–160) = –194 BAp.

Запишем выражения для мгновенного значения тока, активной и реактивной составляющих напряжения, мгновенной активной, реактивной и полной мощности, а также энергии электрического поля конденсатора:

i(t) Imsin( t ) 1,1	2sin(314t 53,1 ) 1,56sin(314t 53,1 ) A;
ua(t) R i(t) 120 1,56sin(314t 53,1 ) 187sin(314t 53,1 ) B;
uC(t) XC i(t) XCIm sin( t 90 ) 160 1,56sin(314t 53,1 90 )
250sin(314t 36,9 )	B;

37

Графики мгновенного значения тока, полной, активной и реактивной составляющих напряжения представлены на рис. 2.1.6.в.

Рис. 2.1.6.в

pa(t) R i(t)2 RIm2 sin2( t ) RI2[1 cos2( t )]

120 1,12[1 cos(628t 106,2 )] 146[1 cos(628t 106,2 )];

pC(t) uC(t) i(t) 311sin(314t 36,9 ) 1,56sin(314t 53,1 ) 194sin(628t 73,8 ); p(t) u(t) i(t) 311sin314t 1,56sin(314t 53,1 ) 146 242cos(628t 53,1 );

WЭ		СuC(t)2		СUCm2		sin2( t С)	СUC2	1 cos2( t C)
2					2	2
	19,7 10 6 1762				1 cos(628t 73,8 0,305 1 cos 628t 73,8				Дж.
2
								На рис. 2.1.6.г приведе-
								ны графики мгновенной
								полной p(t),		активной
								pa(t) и реактивной pС(t)
								мощностей,		а также
								энергии электрического
								поля	конденсатора
								WЭ(t).

Рис. 2.1.6.г

Задача 2.1.7 Последовательно с резистором R1 = 20 Ом включена катушка индуктивности, параметры которой L = 42,7 мГн и Rк = 6,7 Ом (рис. 2.1.7). Определить ток в цепи I, угол между общим напряжением и током в цепи, действующее значение напряжения на резисторе U1 и на катушке Uк, сдвиг фаз

38

между общим напряжением U и падением напряжения на катушке Uк. Найти модули активной, реактивной, полной мощности катушки Pк, Qк, Sк, если: U = 220 B, f = 50 Гц. Построить ВД тока и напряжений.

РЕШЕНИЕ:

XL L 2 50 42,7 10 3 13,4 Ом;

Zк

Rк

2 XL

2

6,72 13,42

15

Ом;

Z

(R1 Rк)2

XL

2

26,72 13,42

29,9 Ом;

I = U/Z = 220/29,9 = 7,35 A;

arctg

XL

arctg

13,4

26,6 ;

R1 Rк

26,7

U1 R1I 20 7,35 147

B;

Рис. 2.1.7

Uк = IZк = 15·7,35 = 110

B.

Сдвиг фаз между общим напряжением и падением напряжения на катушке определим как разность углов сдвига к и , где угол сдвига фаз для катушки:

K

arctg

XL

arctg

13,4

63,4 ; тогда =

к

– = 63,4°– 26,6° = 36,8°.

R

6,7

Для графического определения сдвига

фаз построим ВД (рис. 2.1.7.а), для

этого выбираем масштабы тока и на-

пряжения: МI = 1 А/см, МU = 50

B/см.

Порядок построения:

В начале, откладываем вектор тока I и

вектора падений напряжений в актив-

ных сопротивлениях вдоль оси вещест-

венных

чисел: вектор

и

вектор

Рис. 2.1.7.а

U1

URк :

В.

URк

RкI 6,7 7,35 49,2

под

Вектор UL

XLI 13,4 7,35 98,4 В откладываем в конце вектора

URк

RкI

2

XLI

2

углом 90° к URк и току I. Вектор напряжения U

к

110

В

откладываем в конце вектора

под углом к до пересечения с вектором

U1

UL .

Вектор U проводим из начала координат под углом φ до пересечения с векторами UL и Uк.

Рассчитываем активную и реактивную мощности катушки:

Pк = RкI2 = 6,7·7,352 = 362 Вт; Qк = XLI2 = 13,4·7,352 = 724 ВАр;

Sк = ZкI2 = 15·7,352 = 810 BA.

39

Для построения ВД выберем масштаб: для тока I (MI = 0,2 A/см) и отложим ток вдоль оси вещественных чисел.

Задача 2.1.8 Три вольтметра включены в цепь (рис. 2.1.8) и имеют показания: U = 60 B; U1 = 40 B; U2 = 30 B. Известны сопротивление резистора R1 = 32 Ом и частота f = 50 Гц. Требуется определить параметры катушки L и Rк, мощность, рассеиваемую в обмотке катушки Ра.

РЕШЕНИЕ:

Проще всего решить задачу с помощью ВД, которая будет подобна ВД приведенной в задаче

2.1.7 (рис. 2.1.7.а).

Используя показание вольтметра V1 определяем ток в резисторе R1 и следовательно во всей цепи:

I	U1		40	1,25 A,
	R1
		32

Рис. 2.1.8

Выбрав масштаб напряжения МU = 15 B/см, откладываем вектор U1 на оси вещественных чисел, затем радиусом, равным вектору общего напряжения U (показание вольтметра V) из начала координат проводим дугу окружности радиусом U, а из конца вектора U1 (показание вольтметра V2) проводим вторую дугу окружности радиусом U2 до пересечения с первой дугой.

Находим точку пересечения и строим векторы U, U2 и UL. Затем нахо-

дим проекцию вектора U2 на направление тока I и вектора Uна ось вещественных и мнимых чисел и определяем активную и реактивную составляющие падения напряжения на катушке: URк = RкI = 12 B, UL = XLI = 27,5 B.

Определяем параметры катушки:

L	UL				27,5				70	мГн,
	I
				2 314 1,25
Rк =			URк				12	9,25		Ом.
				I		1,25

Тогда активная мощность, потребляемая (рассеиваемая) обмоткой катушки:

Pa = RкI2= 9,25·1,252 = 15 Вт.

Рис. 2.1.8.а

Задача 2.1.9 К цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора R = 3 Ом, индуктивности L = 38,2 мГн и конденсатора C = 398 мкФ, подведено напряжение U = 220 B с частотой f = 50 Гц (рис. 2.1.9). Требуется найти ток I, напряжение на каждом приемнике, угол сдвига между общим напряжением и током , активную, реактивную и полную мощности – P, S, Q. Построить ВД тока и напряжений.

40