Динамический хаос (ИПИС, ФКС)

где

				a
		l		h	,	h ,	(83)
m	и	n	– целые числа. Другими словами функции u ,
w	и		будем раскладывать в ряды Фурье.
Как видно из рис. 56 температура						должна быть чётной
функцией			x и нечётной функцией y . Следовательно, её

разложение в ряд имеет вид

(x, y,t) mn (t)cos(m x)sin(n y) . (84)

m 0 n 1

Аналогичные разложения можно записать и для функций u и w . Из рис. 56 следует, что компонента скорости

должна быть нечётной функцией по		x	и чётной по
uy , а компонента w	– наоборот, чётной по		x и нечётной
по y . Эти условия	выполнятся, если	функцию тока
выбрать нечётной как по x , так и по		y , т.е.

(x, y,t) mn (t)sin(m x)sin(n y) . (85)

m 1 n 1

Тогда для компонент скорости получим

u(x, y,t) mn (t) n sin(m x)cos(n y)

m 1 n 1

w(x, y,t) mn (t) m cos(m x)sin(n y)

m 1 n 1

, (86a)

. (86б)

При таком выборе формы разложений граничные условия (78) будут автоматически выполняться.

Далее можно подставить разложения (84) и (85) в систему (80) и, используя соотношения ортогональности для базисных функций, получить систему из бесконечного количества уравнений для коэффициентов mn и mn . Естественно решить такую бесконечную систему уравнений невозможно, поэтому ряды нужно каким-то разумным образом обрезать.

Возьмём сначала по одному слагаемому в каждом из рядов

(84)и (85), т.е. будем полагать

X sin( x)sin( y) ,

Y cos( x)sin( y) , (87)

где под X и Y понимаются 11 (t) и 11 (t) соответственно. Такому выбору функции соответствуют компоненты скорости

u X sin( x)cos( y) , w X cos( x)sin( y) .

Подставим теперь функции и из (87) в систему (80):

x X cos( x)sin( y) ,

y X sin( x)cos( y) ,

x x yy ( 2 2 ) X sin( x)sin( y) ,

( )t ( 2 2 ) X sin( x)sin( y) ,

( )x ( 2 2 ) X cos( x)sin( y) , (88)

( )y ( 2 2 ) X sin( x)cos( y) ,

2 ( 2 2 )2 X sin( x)sin( y) ,

x Y sin( x)sin( y) ,

y Y cos( x)cos( y) ,

x x yy ( 2 2 )Y cos( x)sin( y) ,

t Y cos( x)sin( y) .

Тогда первое уравнение системы (80) примет вид

( )t y ( )x x ( )y 2 g x ,

( )t X sin( x)cos( y) ( 2 2 ) X cos( x)sin( y)

X cos( x)sin( y) ( 2 2 ) X sin( x)cos( y)

( 2 2 )2 X sin( x)sin( y) g Y sin( x)sin( y)

( 2 2 )2 X g Y sin( x)sin( y) .

После подстановки ( )t и сокращения на sin( x)sin( y) , получим

( 2 2 ) X ( 2 2 )2 X g Y ,

	g
X ( 2	2 ) X 2 2 Y .	(89)

Аналогично распишем второе уравнение системы (80):

t y x x y T x , h

t X sin( x) cos( y) Y sin( x)sin( y)

X cos( x)sin( y) Y cos( x)cos( y)

	T		X cos( x)sin( y)		( 2	2 )Y cos( x)sin( y)
		h
	1			T	X ( 2 2 )Y			cos( x)sin( y) .
		XY sin(2 y)
	2			h
	Далее подставляя t , отбрасывая слагаемое с sin(2 y) , после
	сокращения на cos( x)sin( y)					получим
			Y T		X ( 2 2 )Y .				(90)

h