Абанин, Калиниченко. Целые функции
.pdf20. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА |
81 |
òàê êàê (tzk0 +(1−t)zk00) D (k N) в силу выпуклости D. Следовательно,
D выпукло в C. B
Åñëè G произвольное множество комплексной плоскости C, то по нему можно определить некоторое выпуклое множество F , его содержа- щее. Именно, пусть BG класс всех выпуклых множеств комплексной плоскости, содержащих G. Ясно, что этот класс не пуст, так как он со-
держит, по крайней мере, всю плоскость C.
\
Определение 20.3. Пересечение |
F всех выпуклых множеств, |
F BG
содержащих данное множество G C называется выпуклой оболочкой множества G и обозначается через conv G. Замыкание выпуклой оболочки conv G называется замкнутой выпуклой оболочкой множества G
и обозначается через conv G.
Лемма 20.5. Если G C, то conv G есть множество всех выпуклых комбинаций точек из G.
C Согласно лемме 20.1 conv G есть выпуклое в C множество. Так как conv G содержит G, то по лемме 20.3 оно должно содержать и все точки вида
z = λ1z1 + λ2z2 + . . . + λmzm ,
Xm
ãäå zi G, λi > 0 (i = 1, 2, . . . , m) è λi = 1. Другими словами, conv G
i=1
содержит все выпуклые комбинации точек из G. Нетрудно убедиться, что множество точек такого вида само выпукло в C. Èòàê, conv G содержит множество точек вида (20.1), а, с другой стороны, по определению само должно в нем содержаться. Лемма доказана. B
Лемма 20.6. Выпуклая оболочка множества G C является наименьшим выпуклым множеством в C, содержащим G.
C Согласно лемме 20.1 conv G выпуклое в C множество. Предположим, что conv G не является наименьшим выпуклым множеством из BG. Тогда существуют множество F1 BG и точка z0 conv G такие,
÷òî z0 |
не принадлежит F1. Согласно лемме 20.1 conv G BG. Поэтому |
||
|
T |
T |
\ |
(conv G F1) |
BG è (conv G F1) conv G = |
F . Отсюда следует, |
|
|
T |
|
F BG |
÷òî z0 |
(G |
F1), а, значит, z0 F1. Полученное противоречие доказы- |
вает лемму. B
Лемма 20.7. Пусть G замкнутое выпуклое множество точек комплексной плоскости и z0 не принадлежит G. Тогда существует прямая l, по отношению к которой множество G и точка z0 лежат в различных полуплоскоскостях.
82 |
ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ |
C Положим d = inf |z0 − z|, òî åñòü d расстояние от множества G
z G
до точки z0. По условию z0 не принадлежит G. Поэтому, учитывая еще замкнутость G, заключаем, что d > 0. Кроме того, существует точка ξ0 G, для которой |z0 − ξ0| = d. Проведем через точку ξ0 прямую l0 перпендикулярно отрезку [z0, ξ0]. В полуплоскости, где лежит точка z0, нет точек множества G.
pz0ppz l0
@
@ξ0
Действительно, допустив существование такой точки z, мы, ввиду выпуклости множества G, должны отнести к нему и весь отрезок [ξ0, z]. Однако, расстояние от z0 до этого отрезка сторого меньше d (перпендикуляр короче наклонной), что противоречит определению числа d. Чтобы закончить доказательство, нужно еще немного сдвинуть прямую l0 параллельно самой себе в направлении точки z0. B
Все ли выпуклые множества из BG следует рассматривать при изу- чении замкнутой выпуклой облочки множeства G? Ответ на этот вопрос дает следующая лемма.
Лемма 20.8. Замыкание выпуклой оболочки множества G C совпадает с пересечением всех замкнутых полуплоскостей Π, содержащих
G, òî åñòü |
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
conv G = |
Π . |
|
|
\ |
|
|
Π BG |
C Пусть DG := |
|
|
|
|
Π, ãäå Π замкнутая полуплоскость, содер- |
Π BG
жащая G. Тогда DG conv G è DG замкнуто. Предположим, что DG не совпадает с conv G. Тогда существует точка z0 DG такая, что z0 íå принадлежит conv G. Отсюда, согласно лемме 20.7, существует прямая l
такая, что conv G è z0 лежат в разных полуплоскостях относительно l .
pz0 l
Π1
Пусть Π1 замкнутая полуплоскость, границей которой является l, ñî-
держащая conv G (а значит и G), и не содержащая точку z0. Поскольку Π1 DG, òî z0 Π1. Полученное противоречие доказывает лемму. B
21. ОПОРНАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА |
83 |
Лемма 20.8 позволяет в ряде случаев упростить отыскание выпуклых оболочек множеств. Рассмотрим
Пример 11. Найти выпуклую оболочку следующих множеств:
a) G = {z0} (z0 C);
á) G = {z1, z2} , z1 , z2 C;
â) G = {z1, z2, . . . , zn0 }, zi C (i = 1, . . . , n0).
CИмеем
a)conv G = {z0};
á) conv G = {z C : z = tz1 + (1 − t)z2 , t [0, 1]}, то есть выпук-
лая оболочка множества, сосотоящего из двух точек комплексной плоскости, совпадает с прямолинейным отрезком, соединяющим их. Этот факт следует из того, что каждая полуплоскость, содержащая
точки z1 è z2, содержит и отрезок, их соединяющий;
â) conv G совпадает с наименьшим выпуклым многоугольником, содержащим G, вершины которого принадлежат G. B
Упражнение 13.
1.Пусть Q выпуклый компакт и KR = {z : |z| < R}. Докажите, ÷òî Q + KR выпуклая ограниченная область (открытое множество).
2.Пусть Q выпуклый компакт. Докажите, что для любой точки
z C \ Q справедливо равенство ρ(z, ∂Q) = ρ(z, Q), ãäå
ρ(z, X) = inf{|z − z0| : z0 X} −
расстояние от точки z до произвольного множества X комплексной плоскости.
3.Докажите, что арифметическая сумма выпуклых компактов есть выпуклый компакт.
4.Докажите, что граница любого выпуклого компакта является спрямляемой выпуклой кривой.
21. Опорная функция множества
Определение 21.1. Пусть G произвольное непустое подмножество комплексной плоскости C. Функция
kG(ϕ) = sup Re(ze−iϕ) : z G (ϕ [0, 2π]) (21.1)
84 |
ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ |
|
|
называется опорной функцией множества G. |
|
||
|
Найдем геометрическую интерпретацию величины kG(ϕ) при фикси- |
||
рованном ϕ [0, 2π]. |
iθ некоторая точка множества |
G. Прове- |
|
|
Пусть z0 = x0 + iy0 = |z0|e |
|
äåì ëó÷ {z : arg z = ϕ} и из точки z0 опустим на него перпендикуляр. Найдем удаление точки M основания этого перпендикуляра от на- чала координат O. При этом удаление считается положительным, если M лежит на {z : arg z = ϕ}, и отрицательным, если M лежит на про-
должении луча |
π{z : arg z = ϕ}. Очевидно, что OM = |z0| · cos(θ − ϕ), |
|||
åñëè |θ − ϕ| 6 |
|
, è OM = −|z0| · cos(π − θ + ϕ) = |z0| cos(θ − ϕ), åñëè |
||
2 |
||||
|
π |
|
|
|
|
|
< |θ − ϕ| 6 |
π. Таким образом, удаление OM = |z0| cos(θ − ϕ) äëÿ |
|
|
2 |
âñåõ z0 G. Поскольку |z0| cos(θ − ϕ) = Re(|z0|ei(θ−ϕ)) = Re(z0e−iϕ) , òî OM = Re(z0e−iϕ). Следовательно, kG(ϕ) это наибольшее (с учетом знака) удаление от начала координат прямых, перпендикулярных лучу {z : arg z = ϕ} и проходящих хотя бы через одну точку множества G.
Заметим, что для любого подмножества G комплексной плоскости его опорная функция kG принимает значения из промежутка (−∞; +∞].
Определение 21.2. Åñëè kG(ϕ) R при некотором ϕ, то прямую lϕ, задаваемую уравнением
x cos ϕ + y sin ϕ = kG(ϕ) , |
(21.2) |
называют опорной прямой множества G в направлении ϕ, а замкнутую |
|
полуплоскость |
|
Πϕ : x cos ϕ + y sin ϕ 6 kG(ϕ) − |
(21.3) |
опорной полуплоскостью множества G в направлении ϕ.
Заметим, что опорная прямая lϕ множества G в направлении ϕ (в слу- чае существования) перпендикулярна лучу {z : arg z = ϕ} (покажите) и
удалена от начала координат на величину kG(ϕ) (с учетом знака). Определение 21.3. Пусть kG(ϕ) R при некотором ϕ. Åñëè ñóùå-
ствует такая точка zϕ G, ÷òî
kG(ϕ) = Re(zϕe−iϕ) , |
(21.4) |
то ее называют точкой опоры множества G в направлении ϕ. Функция Re(ze−iϕ) гармонична на C и, тем более, непрерывна на G.
Поэтому, если G компакт, то для любого ϕ значение kG(ϕ) есть число и при этом существует zϕ G, для которого kG(ϕ) = Re zϕe−iϕ . Кроме
того, согласно принципу максимума гармонической функции точка zϕ обязана принадлежать ∂G.
21. ОПОРНАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА |
85 |
Следует отметить, что произвольное множество G может иметь в данном направлении несколько точек опоры. При этом, если G выпукло,
то множество его точек опоры в любом направлении является отрезком (возможно, вырожденным, то есть точкой).
Пример 12. Найти опорную функцию следующих множеств:
a) G = {z0}, z0 C;
á) G = {z C : |z| 6 R0} (R0 > 0);
â) G = {z C : z = iy , |y| 6 a} (a > 0 ); ã) G = {−ia, ia} (a R\{0}).
C
a) Пусть z0 = |z0|eiϕ0 . Тогда для любого ϕ [0, 2π]
kG(ϕ) = sup Re(ze−iϕ) = Re |z0|ei(ϕ0−ϕ) = |z0| cos(ϕ − ϕ0) .
z G
б) Пусть z = reiθ. Тогда для любого ϕ [0, 2π]
k |
|
ϕ |
sup Re(ze−iϕ) = |
sup |
rei(θ−ϕ) = |
sup r |
|
θ |
− |
ϕ |
|
R |
|
. |
||||
|
G( |
|
) = z |
|
G |
reiθ |
|
G |
|
r [0,R0] |
cos( |
|
|
) = |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ [0,2π] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что если G1 = {z C : |z| < R0}, òî kG1 (ϕ) = R0 ïðè âñåõ ϕ [0, 2π], òî åñòü kG(ϕ) = kint G(ϕ) ïðè âñåõ ϕ [0, 2π].
в) При любом ϕ [0, 2π]
kG(ϕ) = sup Re(ze−iϕ) = sup Re(iye−iϕ) = sup (y sin ϕ) =
z G z G z G
= |
a sin ϕ , |
ϕ [0, π] |
= a |
sin ϕ |
. |
|
−a sin ϕ , |
ϕ (π, 2π] |
| |
| |
|
г) В данном случае, при любом ϕ [0, 2π]
kG(ϕ) = sup Re(ze−iϕ) = sup{−a sin ϕ , a sin ϕ} = a| sin ϕ| . B
z G
86 |
ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ |
Отметим два полезных соотношения. Согласно примеру 12а)
k |
|
(ϕ) = sup Re |
ze−iϕ |
|
sup k |
{z} |
(ϕ) , ϕ |
|
[0, 2π]. |
(21.5) |
|
G |
z G |
|
= z G |
|
|
|
Далее, пусть α1 , α2 R , z1 , z2 C. Имеем
k{α1z1+α2z2}(ϕ) = Re (α1z1 + α2z2)e−iϕ = α1 Re z1e−iϕ +α2 Re z2e−iϕ =
= α1k{z1}(ϕ) + α2k{z2}(ϕ). |
(21.6) |
Установим некоторые свойства опорных функций множеств относительно основных теоретико-множественных операций.
Лемма 21.1. Если G1 G2 C, òî
kG1 (ϕ) 6 kG2 (ϕ), ϕ [0, 2π] .
C В самом деле, из вложения G1 G2 следует, что
kG1 (ϕ) = sup Re(ze−iϕ) 6 sup Re(ze−iϕ) = kG2 (ϕ)
z G1 z G2
ïðè âñåõ ϕ [0, 2π]. B
|
Лемма 21.2. Пусть G1 è G2 произвольные подмножества ком- |
|||||||
плексной плоскости C и G1 T G2 6= . Тогда |
|
|||||||
|
|
kG1 |
T G2 (ϕ) 6 min {kG1 (ϕ), kG2 (ϕ)} , ϕ [0, 2π] . |
(21.7) |
||||
kG1 |
G2 (ϕ) 6 kGi |
(ϕ) |
T |
|
i = 1, 2 ïðè âñåõ ϕ [0, 2π]. Отсюда следует |
|||
|
C |
Поскольку |
G1 |
|
G2 Gi (i = 1, 2), то согласно |
лемме 21.1 |
||
|
T |
B |
|
|
äëÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
требуемое.
Замечание. Лемма 21.2 точна в том смысле, что существуют мно- жества G1 è G2 такие, что в (21.7) имеет место строгое неравенство.
Например, если a, b > 0, G1 |
= {(x, y) C : |x| 6 a, y = 0} è G2 = |
||
{(x, y) |
ϕ [0, 2π]. А с другой |
T |
kG1 (ϕ) = a| cos ϕ|T kG2 (ϕ) = |
C : |y| 6 b, x = 0}, òî G1 G2 = {0}, а значит, kG1 G2 (ϕ) = 0 |
|||
ïðè âñåõ |
|
стороны, |
, |
b| sin ϕ| ïðè âñåõ ϕ [0, 2π]. Поэтому |
|
min {kG1 (ϕ), kG2 (ϕ)} = min {a| cos ϕ|, b| sin ϕ|} > 0
ïðè âñåõ ϕ [0, 2π].
Лемма 21.3. Пусть G1 è G2 произвольные подмножества комплексной плоскости C. Тогда
kG1 S G2 (ϕ) = max {kG1 (ϕ), kG2 (ϕ)} , ϕ [0, 2π] .
|
|
|
|
21. ОПОРНАЯ ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА |
|
|
87 |
|
|||||
|
|
C По определению опорной функции при любом ϕ [0, 2π] имеем |
|
|
|||||||||
k |
|
S G2 |
(ϕ) = |
sup |
Re ze−iϕ |
= max |
sup Re |
ze−iϕ |
, |
sup Re |
ze−iϕ |
= |
|
|
G1 |
|
z G1 S G2 |
|
|
z G1 |
|
|
z G2 |
|
|
= max {kG1 (ϕ), kG2 (ϕ)} .
Лемма доказана. B
Следствие. Если Gi (i = 1, 2, . . . , n) произвольные подмножества
[n
â C è G := Gi, òî kG(ϕ) = max kGi (ϕ) ïðè âñåõ ϕ [0, 2π].
16i6n
i=1
Заметим (см. примеры 12в) и 12г)), что опорная функция множества, состоящего из двух точек −ia è ia, ãäå a R\{0}, совпадает с опорной
функцией выпуклой оболочки этого множества, которая является отрезком, соединяющим точки −ia è ia. Этот факт имеет место и в общем
случае. Именно, справедлива
Лемма 21.4. Опорные функции множества G C и его выпуклой оболочки conv G совпадают.
C Поскольку всегда G conv G, то при любом ϕ [0, 2π]
k |
G( |
ϕ |
sup Re |
ze−iϕ |
|
sup |
Re ze−iϕ |
= k |
|
(ϕ) . |
|
|
) = z G |
|
6 z covn G |
|
|
conv G |
|
C другой стороны, если z conv G, то согласно лемме 20.5 найдутся точки z1, z2 G и число t [0, 1] такие, что
z = tz1 + (1 − t)z2 ,
то есть найдется отрезок, содержащий точку z, с концами в точках z1 è z2 (возможно, что z1 = z2). Отсюда по формуле (21.6)
k{z}(ϕ) = tk{z1}(ϕ) + (1 − t)k{z2}(ϕ) , ϕ [0, 2π] ,
z convG имеем
k{z}(ϕ) 6 tsup k{z1}(ϕ)+(1−t) sup k{z2}(ϕ) = (t+1−t)kG(ϕ) = kG(ϕ) , ϕ [0, 2π] .
z1 G |
z2 G |
Таким образом, |
|
kconv G(ϕ) = |
sup k{z}(ϕ) 6 kG(ϕ) , ϕ [0, 2π] . |
z conv G
Учитывая предыдущее, получаем, что при всех ϕ [0, 2π] kG(ϕ) = kconv G(ϕ) . B
88 ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ
Отметим, что замечание к примеру 12б) носит более общий характер. Именно, справедлива
Лемма 21.5. Опорная функция любого множества G C совпадает с опорной функцией его замыкания G.
C Доказательство проведите самостоятельно. B
Изучим степень изменения опорной функции при малых ½возмущениях“ множества.
Определение 21.3. Пусть G C. Назовем ε -расширением ножества G объединение всех открытых кругов радиуса ε > 0 с центрами в точках, принадлежащих G. Будем обозначать его через Gε .
Лемма 21.6. Пусть G C и Gε его ε -расширение, kG(ϕ) è kGε (ϕ) опорные функции множеств G и Gε, соответственно. Тогда
kGε (ϕ) 6 kG(ϕ) + ε , ϕ [0, 2π] .
C Пусть ζ Gε. Согласно определению этого множества существует точка z G такая, что |z − ζ| < ε .
Из (21.6) следует, что
k{ζ}(ϕ) = k{z}(ϕ) + k{ζ−z}(ϕ) , ϕ [0, 2π] .
Отсюда, поскольку всегда k{z}(ϕ) 6 |z| ïðè âñåõ ϕ [0, 2π], òî k{ζ}(ϕ) 6 k{z}(ϕ) + |ζ − z| < k{z}(ϕ) + ε , ϕ [0, 2π] ,
и, тем более, k{ζ}(ϕ) < sup k{z}(ϕ) + ε = kG(ϕ) + ε ïðè âñåõ ϕ [0, 2π].
z G
Следовательно, kGε(ϕ) = sup k{ζ}(ϕ) 6 kG(ϕ)+ε ïðè âñåõ ϕ [0, 2π]. B
G
плексной плоскости. Однако, как это вытекает из лемм 21.4 и 21.5, с точки зрения использования опорных функций, имеет смысл ограни- читься замкнутыми выпуклыми множествами. При этом, как будет ясно из дальнейшего, для замкнутых выпуклых множеств опорная функция является характеристикой, обладающей дополнительными полезными свойствами. В следующем параграфе мы рассмотрим некоторые из этих свойств в случае выпуклых компактов.
22. Свойства опорной функции выпуклого компакта
Âданном параграфе мы будем рассматривать ограниченные замкнутые выпуклые множества в C, то есть выпуклые компакты.
22. ОПОРНАЯ ФУНКЦИЯ ВЫПУКЛОГО КОМПАКТА |
89 |
Лемма 22.1. Если G1 è G2 выпуклые компакты в C, то kG1+G2 (ϕ) = kG1 (ϕ) + kG2 (ϕ) (ϕ [0, 2π]) .
C Зафиксируем ϕ [0, 2π]. Åñëè z1 G1, z2 G2, òî
Re (z1 + z2)e−iϕ = Re(z1e−iϕ) + Re(z2e−iϕ) 6 kG1 (ϕ) + kG2 (ϕ) .
Поэтому при всех z G1 + G2
Re ze−iϕ 6 kG1 (ϕ) + kG2 (ϕ) .
Далее, поскольку kGi (ϕ) числа (i = 1, 2), то из определения опорной функции следует, что
ε > 0 zϕ(i) Gi : Re zϕ(i)e−iϕ > kGi (ϕ) − |
ε |
(i = 1, 2) . |
|
|
|
||
2 |
Таким образом, ε > 0 zϕ = zϕ(1) + zϕ(2) : zϕ (G1 + G2) è
Re zϕe−iϕ
Следовательно, по характеристическому свойству точной верхней грани множества
sup |
Re ze−iϕ |
|
= k |
|
(ϕ) + k |
|
(ϕ) , |
z G1+G2 |
|
|
G1 |
|
G2 |
|
òî åñòü kG1+G2 (ϕ) = kG1 (ϕ) + kG2 (ϕ). B
Лемма 22.2. Пусть G1 è G2 выпуклые компакты в C. Для того чтобы G1 G2, необходимо и достаточно, чтобы их опорные функции kG1 (ϕ) è kG2 (ϕ), соответственно, удовлетворяли неравенству
kG1 (ϕ) 6 kG2 (ϕ) , ϕ [0, 2π] .
C Необходимость следует непосредственно из определения опорной
функции.
Для доказательства достаточности можно, не ограничивая общности, предположить, что начало координат является точкой множества G2 . Предположим, вопреки доказываемому, что существует точка z0 G1, которая не принадлежит G2. Проведем прямую l, разделяющую точку z0 и компакт G2 (существование такой прямой установлено в лемме 20.7). Запишем уравнения прямой l в нормальном виде:
x cos θ + y sin θ − p = 0 ,
90 |
ГЛАВА 3. ИНДИКАТОР ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ |
|
|
||
|
|
G2 |
|
l |
|
òî åñòü Re |
ze−iθ = p. |
|
|
|
|
Поскольку все множество |
|
лежит по ту сторону от |
|
, ÷òî è åãî |
точка z = 0, то kG2 (θ) 6 p. C другой стороны, k{z0}(θ) > p. Íî z0 G1 è, значит, согласно (20.5),
kG1 (θ) = sup k{z}(θ) > k{z0}(θ) > p .
z G1
Таким образом, kG1 (θ) > kG2 (θ), что противоречит условию. Лемма доказана. B
Следствие. Пусть G1 è G2 выпуклые компакты в C. Для того чтобы G1 = G2, необходимо и достаточно, чтобы их опорные функции kG1 (ϕ) è kG2 (ϕ) совпадали для каждого ϕ [0, 2π].
Лемма 22.3. Пусть G1 è G2 выпуклые компакты в C. Для того чтобы G1 int G2, необходимо и достаточно, чтобы kG1 (ϕ) < kG2 (ϕ) ïðè âñåõ ϕ [0, 2π].
C Докажем достаточность. Пусть kG1 (ϕ) < kG2 (ϕ) ïðè âñåõ ϕ èç [0, 2π]. Покажем, что G1 int G2. Предположим противное, то есть, что G1 не содержится в int G2. Тогда найдется такое z1 G1, ÷òî z1 ∂G2 èëè z1 / G2. Через точку z1 проведем прямую l так, чтобы компакт G2 лежал по одну сторону от l. Пусть l перпендикулярна лучу {z : arg z =
ϕ0}. Сравним kG1 (ϕ0) è kG2 (ϕ0). Так как компакт G2 лежит по одну сторону от l, то
k |
|
(ϕ |
) = sup Re |
ze−iϕ0 |
|
> |
Re |
|
z |
e−iϕ0 |
|
sup Re |
ze−iϕ0 |
= k |
|
(ϕ |
) , |
|
G1 |
0 |
z G1 |
|
|
1 |
|
> z G2 |
|
|
G2 |
0 |
|
òî åñòü kG1 (ϕ0) > kG2 (ϕ0), что противоречит условию.
Следовательно, если kG1 (ϕ) < kG2 (ϕ) ïðè âñåõ ϕ [0, 2π], òî G1 ñî- держится в int G2. B
Лемма 22.4. Если G выпуклый компакт в C, то
|
|
max k |
G( |
ϕ |
) = |
max |
z |
| |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ϕ |
|
[0,2π] |
|
z |
|
G | |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C Положим α := sup |z|, |
β := |
|
sup |
kG(ϕ). Тогда, используя опреде- |
||||||||||||||||
|
z G |
|
|
|
|
ϕ [0,2π] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ление опорной функции множества, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
β = sup |
sup Re |
ze−iϕ |
|
|
|
sup |
|
|
sup |
ze−iϕ |
= sup |
z |
|
= α , |
||||||
6 |
|
|
|
|
|
| |
||||||||||||||
ϕ [0,2π] |
z G |
|
|
|
ϕ [0,2π] z G |
|
z G | |
|
|
òî åñòü β 6 α.