zaicevVM_2
.pdfМетод неопределённых коэффициентов.
Если дифференциальное уравнение линейное, то удобно искать коэффициенты разложения частного решения по методу неопределённых коэффициентов. Рассмотрим метод на примере уравнения второго порядка
y′′ + p(x)y′+ q(x)y = f(x) |
(9.22) |
при начальных условиях |
|
y (0) = y0 , y′( 0 ) = y0′ . |
(9.23) |
Решение будем искать в виде степенного ряда с неопределенными коэффици- |
|
ентами: |
|
y(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn + … |
(9.24) |
Для определения неизвестных коэффициентов a0 , a1 , …, an , … нужно подставить в дифференциальное уравнение (9.22) вместо y и производных соответствующие степенные ряды, а функций p(x), q(x), f(x) заменить их разложениями в ряды Маклорена и произвести все необходимые операции над степенными рядами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного уравнения и учитывая начальные условия (9.23), можно определить коэффициенты ряда (9.24), а, значит, и решение дифференциального уравнения.
Замечание. Если начальные условия заданы при x = x0, то рекомендуется сделать замену x – x0 = t, после чего задача сводится к рассмотренной выше.
Пример 9.21. Найти решение дифференциального уравнения y′′ = xy при начальных условиях y(0) = 0, y′(0) = 1.
Решение. Ищем решение задачи Коши в виде ряда (9.24). Коэффициенты a0 и a1 находим из начальных условий: a0 = y(0) = 0, a1 = y′(0) = 1.
Дважды дифференцируем ряд:
y′′ = 2a2 + 3 2a3x + … + n(n – 1)anxn–2 + …
Подставляя в исходное дифференциальное уравнение вместо y и y′′ их разложения, получаем тождество:
2a2 + 3 2a3x + …+ n(n–1)anxn–2+ …= a0x + a1x2 + a2x3+ …+an–3xn–2+ …
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, находим a2 = 0, a3 = 0, 4 3a4 = 1, …, n(n – 1)an = an–3 .
Получили рекуррентную формулу an = |
1 |
|
an−3 |
, позволяющую находить |
|
n( n − 1 ) |
|||||
|
|
|
следующие коэффициенты через предыдущие. Вычислим, используя эту формулу, коэффициенты:
a = |
1 |
|
|
a = |
|
1 |
|
|
, a = |
1 |
|
a =0, a = |
1 |
a =0, a = |
1 |
|
a = |
1 |
, |
||||||||||||||
4 |
3 |
4 |
|
3 |
5 4 |
6 5 |
7 6 |
3 4 6 7 |
|||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
1 |
|
5 |
2 |
|
6 |
|
3 |
|
|
7 |
4 |
|
||||||||||||||||||
a = |
|
1 |
|
|
a |
=0, |
|
a = |
1 |
|
a |
=0, |
a = |
|
1 |
|
a |
= |
|
|
|
|
1 |
|
, ... |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
6 |
7 9 10 |
|
|
||||||||||||||||||
8 |
|
8 7 5 |
|
|
|
9 |
9 8 6 |
|
|
10 |
|
10 9 7 |
|
|
|
|
|
108
Можно подметить следующую закономерность:
a3k −1 = a3k |
= 0 , a3k +1 |
= |
|
|
1 |
|
, |
k = 1, 2, … |
|||||
3 |
4 |
6 7 ... 3k( 3k + 1 ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Значит, решение имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
x4 + |
1 |
x7 + ...+ |
1 |
|
|
|
x3k+1 + .... |
|||||
y = x + |
|
|
|
||||||||||
3 4 |
3 4 6 7 |
3 4 6 7 ... 3k ( 3k + 1 ) |
Исследуем данный ряд на сходимость, используя признак Даламбера:
lim |
|
|
|
|
x3( k+1 )+1 |
|
: |
|
|
|
|
x3k+1 |
|
= |
|||
3 |
4 |
6 7 ... 3k (3k +1) 3(k +1) [3(k +1)+1] |
3 |
4 |
6 |
7 |
... 3k (3k |
+1) |
|||||||||
k→∞ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
= lim |
|
x3 |
|
|
=0 x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
( 3k |
+3)( 3k +4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
k→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, ряд сходится на всей оси Ox и, следовательно, представляет искомое решение при всех x.
6.Ряды Фурье
6.1.Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2π.
Функциональный ряд вида
|
a0 |
+ (a |
1 |
cos x + b sin x ) + (a |
2 |
cos 2 x + b sin 2 x ) + ... = |
|
||
|
|
|
|||||||
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ ∑( an cos nx + bn sinnx ) |
(9.25) |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
n=1 |
|
|
|
|
называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа a0 , an , bn |
(n N) на- |
зываются коэффициентами тригонометрического ряда. Свободный член ряда записан в виде a20 для единообразия получающихся в дальнейшем формул.
Отметим, что если ряд (9.25) сходится, то его сумма S (x) будет периодиче-
ской функцией с периодом 2π, или, короче, 2π – периодической.
Пусть 2π – периодическая функция f(x) такова, что она разлагается в тригонометрический ряд, т. е. f(x) является суммой ряда (9.25):
|
a0 |
∞ |
|
|
|
f (x) = |
+ ∑( an cos nx + bn sinnx ) . |
(9.26) |
|||
|
|||||
2 |
n= |
1 |
|
В этом случае справедливы формулы:
|
1 |
π |
|
|
an = |
∫ f ( x )cos nxdx , n = 0, 1, 2, ... ; |
(9.27) |
||
π |
||||
|
|
−π |
|
109
|
1 |
π |
|
|
bn = |
∫ f ( x )sin nxdx , n = 1, 2, ... . |
(9.28) |
||
π |
||||
|
|
−π |
|
Числа an , bn ,определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции f(x), а тригонометрический ряд (9.26) с такими коэффициентами –
рядом Фурье функции f(x).
Сформулируем теорему Дирихле, которая даёт достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье.
Пусть функция f(x) имеет период 2π и на отрезке [–π, π] удовлетворяет двум условиям:
1) f(x) кусочно - монотонна, т. е. монотонна на всём отрезке, или этот отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что на каждом из них функция монотонна;
2) f(x) кусочно - непрерывна, т. е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-го рода.
Тогда ряд Фурье для этой функции сходится во всех точках числовой оси. При этом сумма полученного ряда:
S( x ) = f ( x ) , если x – точка непрерывности функции f(x);
S( x ) = |
f ( x − 0 ) + f ( x + 0 ) |
, если x – точка разрыва функции f(x). |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
Здесь f (x − 0) = lim f (t ), |
f (x + 0) = lim f (t ) – односторонние |
||
|
t→x−0 |
t→x+0 |
пределы функции в точке разрыва x.
Условия 1) и 2) в теореме называются условиями Дирихле.
Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение как в самой математике, так и в её приложениях к конкретным задачам механики и физики.
Условия Дирихле, накладываемые на функцию при разложении её в ряд Фурье, значительно менее строгие, чем при разложении в степенной ряд. Так, если функция представлена рядом Тейлора, то она во всём интервале сходимости ряда не только непрерывна, но и бесконечное число раз дифференцируема. Для разложения же функции в ряд Фурье этого вовсе не требуется.
Пример 9.22. Разложить в ряд Фурье функцию
0, |
−π ≤ x < 0 |
, |
f ( x ) = |
0 ≤ x < π |
|
x, |
|
удовлетворяющую условию f(x+2π)=f(x), т. е. 2π - периодическую (см. рисунок
1).
110
y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
π / 2 |
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
–3π –2π |
|
|
|
|
|
|
|
–π |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
2π |
|
3π x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Решение. Функция f(x) имеет точки разрыва 1-го рода xk = (2k+1)π, k Z. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отметим, что по условию задачи f(xk) = 0, |
|
|
f(xk – 0) = π, |
|
f(xk + 0) = 0. Данная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функция удовлетворяет условиям Дирихле. Находим коэффициенты Фурье: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
a0 = |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
f ( x )dx = |
|
|
|
|
|
∫ 0 dx + |
|
|
|
|
∫xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
|
π |
|
|
|
π |
π |
|
|
|
2 |
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
an = π1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = x du =dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
f ( x )cosnxdx = π1 |
∫xcosnxdx = |
|
dv =cosnxdx v = 1 sinnx |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x sinnx |
|
π |
|
cos nx |
|
π |
|
|
|
|
|
cos nπ − 1 |
|
|
|
|
|
( −1 )n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
π |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = x du =dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
bn =π1 |
|
π |
|
f ( x )sinnxdx =π1 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
∫xsinnxdx = dv =sinnxdx v =−1 cosnx |
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
xcosnx |
|
|
π |
sinnx |
|
π |
|
|
|
|
cosnπ |
|
|
( −1)n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
π |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Следовательно, в точках непрерывности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
∞ |
|
|
( −1 )n − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( −1 )n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
f ( x ) = |
|
|
+ |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos nx + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinnx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n= |
|
|
|
|
|
n π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
sin 4 x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+ |
− |
|
|
|
cos x + sin x |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
cos 3 x |
+ |
|
sin 3 x |
− |
|
|
+ ... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
π |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
9π |
|
|
3 |
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Следствие: полагая в этом равенстве x = 0, получим результат: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π 2 |
|
∞ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∑ |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
2 |
8 |
|
( 2n − 1 ) |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций.
Можно показать, что если функция f(x) интегрируема на симметричном отрезке [−a , a], то
a |
0 , |
если f (x) - нечётная функция, |
||
|
|
|
|
|
∫ |
|
a |
(*) |
|
f ( x )dx = |
|
|||
−a |
|
2 |
∫ |
f ( x )dx , если f (x) - чётная функция. |
|
|
|||
|
|
|
0 |
|
Заметим, что произведение двух чётных или двух нечётных функций – чётная функция, а произведение чётной функции на нечётную – нечётная функция.
Пусть f(x) – чётная периодическая функция с периодом Т = 2π, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда f(x)cos nx есть функция чётная, а f(x)sin nx– нечётная. Следовательно, используя свойство (*), получим:
|
2 |
π |
|
an = |
∫ f ( x )cos nxdx, bn = 0 . |
||
π |
|||
|
|
0 |
Таким образом, ряд Фурье для чётной функции содержит только чётные функции – косинусы и записывается так:
|
a0 |
∞ |
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
||
f ( x ) = |
+ ∑an cos nx , где an = |
∫ f ( x )cos nxdx, n = 0,1,2,... |
(9.29) |
|||||||||
2 |
π |
|||||||||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Рассуждая аналогично, получаем, что если f(x) – нечётная периодическая |
||||||||||||
(Т = 2π) функция, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
||
|
|
an = 0 , bn = |
∫ f ( x )sin nxdx . |
|
||||||||
|
|
π |
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
Следовательно, ряд Фурье для нечётной функции содержит только нечётные |
||||||||||||
функции – синусы и записывается следующим образом: |
|
|||||||||||
|
∞ |
|
2 |
π |
|
|
|
|||||
f ( x ) = ∑bn sinnx , где bn = |
|
∫ f ( x )sinnxdx ( n = 1,2,...) . |
(9.30) |
|||||||||
|
π |
|||||||||||
|
n=1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 9.23. Разложить в ряд Фурье функцию |
|
|
||||||||||
|
|
f ( x ) |
|
−1, −π ≤ x < 0 |
, |
|
||||||
|
|
= |
0 ≤ x < π |
|
||||||||
|
|
|
|
1, |
|
|
удовлетворяющую условию f(x+2π)=f(x),т. е. 2π – периодическую (см. рисунок
2).
Решение. Функция f(x) имеет точки разрыва 1-го рода xk = kπ, k Z. Данная функция удовлетворяет условиям Дирихле.
112
y
|
|
1 |
|
|
–2π |
– π |
0 |
π |
2π x |
|
|
–1 |
|
|
Рисунок 2
Так как заданная функция нечётная (график симметричен относительно начала координат), то разложение будет только по синусам (9.30).
Имеем:
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
|
2 |
π |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
π |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
n |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
bn = |
|
∫ f ( x )sinnxdx = |
|
∫sinnxdx =− |
|
|
cosnx |
|
= |
|
|
(1−cosnπ ) = |
|
1−(−1) |
. |
|||||||||||||||||
π |
π |
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
πn |
|
|
|
|
πn |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Так |
как при n = 2m (чётном) |
b2m |
= 0, |
а |
при |
n = 2m – 1 (нечётном) |
||||||||||||||||||||||||||
b2m−1 = |
4 |
|
|
, то в точках непрерывности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
π( 2m −1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
∞ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
f ( x ) = ∑bn sinnx = ∑b2m−1 sin( 2m − 1 )x = |
∑ |
sin( 2m − 1 )x |
= |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π m=1 |
2m − 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
4 |
sin x |
|
sin 3x |
|
sin5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ ... . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
π |
1 |
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие: полагая x = π2 , получим важный результат:
|
|
4 |
|
1 |
|
1 |
|
( −1 )n+1 |
|
π |
|
∞ |
( −1 )n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
1 |
= |
π |
1 |
− |
3 |
+ |
5 |
− ...+ |
2n − 1 |
+ ... , откуда |
4 |
= |
n=1 2n − 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.
Пусть теперь f(x) – периодическая функция периода Т = 2L (L – полупериод), удовлетворяющая условиям Дирихле на отрезке [–L, L]. В этом случае ряд Фурье будет иметь вид:
|
a |
∞ |
|
|
nπ x |
|
nπ x |
|
|
||
f ( x ) = |
0 |
+ ∑ |
an cos |
|
+ bn sin |
|
|
, |
(9.31) |
||
2 |
L |
L |
|||||||||
|
n= |
1 |
|
|
|
|
|
где
|
|
1 |
L |
|
1 |
L |
|
nπx |
1 L |
|
nπx |
|||
a0 |
= |
|
|
f ( x)dx, an = |
|
|
f ( x)cos |
|
dx, bn = |
|
|
f ( x)sin |
|
dx, n=1,2,... (9.32) |
L ∫ |
L ∫ |
L |
L ∫ |
L |
||||||||||
|
|
|
−L |
|
|
−L |
|
|
|
|
−L |
|
|
|
113
Заметим, что все результаты, которые имели место для рядов Фурье для периодических функций с периодом Т = 2π сохраняются и для рядов Фурье для периодических функций с произвольным периодом Т = 2L. В частности, сохранит свою силу достаточный признак разложимости функции в ряд Фурье, а также разложение чётной или нечётной функции в ряд Фурье только по косинусам или синусам соответственно.
Пример 9.24. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с периодом Т=2, которая на отрезке [–1,1] задаётся равенством f(x) = x (см. рисунок 3).
y
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
|
– 3 |
– 2 |
– 1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
x |
Рисунок 3
Решение. Функция f(x) – чётная, непрерывная, удовлетворяет условиям Дирихле, L=1. Имеем разложение в ряд Фурье только по косинусам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 |
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ x |
|
|
|
a0 |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( x ) = |
+ ∑an cos |
|
= |
|
+ ∑an cos nπ x , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
2 |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где a0 = |
|
|
∫ f ( x )dx = 2∫xdx = x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
nπ x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
an = |
|
|
L |
|
f ( x )cos |
|
|
L |
|
dx = 2 |
|
|
x cos nπ xdx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
x sinnπ x |
|
1 |
|
|
cos nπ x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
[cos nπ − 1] |
|
|
|
2 |
|
( −1 )n − 1 . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2π 2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
0 |
|
|
|
|
n2π 2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n2π 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
|
n = 2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an = |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
где |
m = 1, 2, ... |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
, |
|
n = 2m − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Итак, для любых х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
∞ cos( 2m −1 )π x |
|
|
|
1 |
|
4 |
cosπ x |
|
cos 3π x |
|
cos5π x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
f ( x ) = |
|
|
|
− |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ ... . |
||||||||
2 |
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
π |
2 |
|
|
|
2 |
|
3 |
2 |
|
|
5 |
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m=1 |
( 2m −1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
114
6.3. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.
До сих пор мы рассматривали разложение в ряд Фурье периодической функции. Между тем, чаще всего приходится иметь дело с непериодической функцией.
Если f(x) – непериодическая функция, заданная на всей числовой оси, то такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, так как сумма ряда Фурье есть функция периодическая и, следовательно, не может быть равна f(x) для всех x.
Однако непериодическая функция f(x) может быть представлена в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке [a, b], на котором она удовлетворяет условиям Дирихле. Для этого данную функцию нужно продолжить на всю числовую прямую так, чтобы получилась периодическая функция c периодом T = 2L = b − a . Её ряд Фурье будет представлять исходную функцию на проме-
жутке [a, b] (кроме точек разрыва). Вне этого промежутка сумма ряда и f(x) являются различными функциями.
Коэффициенты Фурье можно вычислять по формулам:
an = |
2 |
b |
f ( x )cos |
|
2nπ x |
dx, |
n = 0,1,2,..., |
|||
b −a ∫ |
|
b −a |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
(9.33) |
|
|
|
2 |
b |
|
2nπ x |
|
|
|||
b |
= |
f ( x )sin |
dx, |
n = 1,2,... |
||||||
b −a ∫ |
|
|
||||||||
n |
|
|
b −a |
|
|
|
||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим важный случай.
Пусть функция f(x) задана на отрезке [0, L] и удовлетворяет на нем условиям Дирихле. Желая разложить эту функцию на этом отрезке в ряд Фурье, мы можем доопределить её произвольным образом для значений х в промежутке [–L, 0) и получить разложение полученной функции на [–L, L], T = 2L.
Произвол в определении функции на промежуток [–L, 0) даёт возможность получить таким путём различные тригонометрические ряды. В частности, если мы
доопределим функцию f(x) при x [−L, 0) так, чтобы было f(–x) = f(x), то в
результате получится чётная функция («функция продолжена чётным образом», рисунок 4)).
y |
y |
–L |
0 |
L x |
–L |
0 |
L x |
|
Рисунок 4 |
|
|
|
Рисунок 5 |
115
Эту функцию можно разложить в ряд Фурье, который будет содержать одни только косинусы. Коэффициенты разложения an будут вычисляться только через первоначально заданную функцию f(x):
|
2 L |
|
nπ x |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
an = |
L |
f ( x )cos |
L |
dx , n = 0 ,1,2,... |
|
0 |
|
Если же мы доопределим функцию f(x) при x [−L, 0) так, чтобы было
f(–x) = – f(x), то в результате получится нечётная функция («функция продолжена нечётным образом», рисунок 5)). Такая функция разлагается в ряд Фурье только по синусам, при этом
|
|
2 L |
|
nπ x |
|
|
b |
= |
L ∫ |
f ( x )sin |
L |
dx , n = 1,2,... |
|
|
|
|
||||
n |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Таким образом, заданную в промежутке [0, L] функцию при выполнении условий Дирихле оказывается возможным разлагать как в ряд по косинусам, так и в ряд по синусам (в «неполные» ряды).
Напомним, что эту функцию можно представить и в виде «полного» ряда Фурье. В этом случае можно воспользоваться формулами (9.33) при a = 0, b = L.
Пример 9.25. Функцию |
|
1, |
0 ≤ x < 1 |
|
|
||
f ( x ) = |
2 |
− x, |
1 ≤ x ≤ 2 |
|
разложить: 1) по косинусам; 2) по синусам.
Решение. 1) Продолжим чётным образом функцию f(x) на промежуток [–2, 0). Полученную функцию на отрезке [–2, 2] периодически продолжаем для любых x
(T = 2L, L = 2, рисунок 6).
|
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения коэффициентов an |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
промежуток интегрирования [0, 2] при- |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дётся разбить на два: от 0 до 1 и от 1 до 2, |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
так как функция f(x) задана разными фор- |
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
– 2 –1 |
0 1 |
2 |
33 |
x мулами на этих промежутках. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
–– 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 L |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
Рисунок 67 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
− x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a0 = |
L |
f ( x )dx = |
2 |
|
1 |
dx |
+ |
( 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
L |
|
|
nπ x |
|
2 |
|
1 |
|
nπ x |
|
|
2 |
|
|
nπ x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
an = |
L |
|
f ( x )cos |
|
L |
|
dx = |
|
2 |
|
cos |
2 |
dx + |
( 2 − x )cos |
|
|
2 |
|
dx |
= |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
116
|
|
|
|
|
|
2 |
|
sin |
nπ x |
1 |
|
+ ( 2 − x ) |
|
2 |
|
sin |
|
nπ x |
2 |
|
|
4 |
|
|
cos |
nπ x |
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
nπ |
2 |
|
|
|
|
|
|
nπ |
2 |
|
|
|
n2π 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
− |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
cos nπ − cos |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
nπ |
2 |
|
|
|
nπ |
2 |
|
|
n2π 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
− cos nπ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
n2π 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Ряд Фурье в этом случае: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
π x |
|
|
2 |
|
|
|
2π x |
|
|
|
1 |
|
|
3π x |
1 |
|
|
|
5π x |
|
|
|
2 |
|
|
|
6π x |
|
|||||||||||||||||||||||
f ( x ) = |
|
+ |
|
|
|
|
cos |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
− |
|
|
|
cos |
|
|
+ ... . |
|||||||||||
4 |
π |
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
3 |
2 |
2 |
5 |
2 |
|
2 |
|
|
6 |
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Продолжая данную функцию f(x) нечётным образом (см. рисунок 7), находим
|
|
|
|
2 |
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
nπ x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ x |
|
||||||||||||||||||||||
b |
= |
L |
∫ |
f ( x )sin |
|
|
|
L |
dx |
= |
2 |
|
|
∫ |
sin |
|
2 |
|
|
|
dx + |
∫ |
( 2 − x )sin |
|
2 |
|
|
dx |
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= − |
2 |
|
cos |
nπ x |
|
|
1 |
− ( 2 |
|
− x ) |
|
|
2 |
|
|
cos |
|
nπ x |
|
|
2 |
|
− |
|
4 |
|
|
|
sin |
nπ x |
|
|
2 |
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
nπ |
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
nπ |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
n2π |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= − |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
− |
1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
nπ |
|
2 |
|
|
nπ |
|
2 |
|
|
n2π 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
2 |
+ |
4 |
|
|
sin |
nπ |
|
= |
|
|
|
2 |
1 + |
|
|
|
2 |
|
sin |
nπ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
nπ |
|
n2π 2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
nπ |
|
nπ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Ряд Фурье имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
π x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2π x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3π x |
|
1 |
|
|
4π x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
f ( x ) = |
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
+ |
|
sin |
|
|
|
|
|
|
+ |
... . |
|||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
3π |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Варианты заданий контрольной работы № 9
9.1. Исследовать сходимость числового ряда.
|
∞ |
2 |
n |
|
|
|
|
|
1. ∑ |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
n=1 n! |
|
|
|
|
|||
|
∞ |
|
|
|
|
1 n |
||
4. |
∑ |
2 |
+ |
|
|
. |
||
|
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
n |
||
|
∞ |
n! |
|
|
||||
7. |
∑ |
. |
||||||
n+3 |
||||||||
|
n=1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
∞ |
2n −1 n |
|
|||||||
2. |
∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
||
3 |
n |
− |
|
|||||||
|
n=1 |
|
|
1 |
|
|||||
|
∞ |
|
|
3 |
n |
|
|
|
|
|
5. ∑ |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
( 2n + |
1 )! |
|
||||||||
|
n=1 |
|
|
|||||||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
∑n101−n . |
|
n=1
∞ |
|
|
5 |
n |
|
|
|
3. ∑ |
|
|
|
|
. |
||
( n + 1 )! |
|||||||
n=1 |
|
||||||
∞ |
|
|
7 n + 1 2n |
||||
6. ∑ |
|
|
|
. |
|||
2n |
|||||||
n=1 |
|
|
9. ∑∞ 10n n .
n=1 n!
117