Решение

=5,283-104,125∙0,00092=0,01112.

Получим линейное уравнение регрессии:

Ŷ= 5,379+0,000092∙х. (32)

Тесноту полученной линейной модели характеризует линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент детерминации при этом равен:

R²=r²_хУ=1,11%.

Это означает, что чуть более 1% вариации фактора Y объясняется вариацией фактора x.

Средняя ошибка линейной аппроксимации составляет:

=∙100% = 0,816%.

В среднем по полученной линейной модели расчетные значения отклоняются от фактических на 0,816%, что входит в допустимый предел.

Проведя потенцирование уравнения (32), получим искомую нелинейную (показательную) модель.

216,776∙0,99908^х (33)

Результаты вычисления параметров показательной кривой (1) проверим с помощью ППП Exel, для чего используем встроенную статистическую функцию ЛГРФПРИБЛ.Результат выполнения:

0,9990798	216,775694
0,0023203	0,24213384
0,0111204	0,06437451
0,157436	14
0,0006524	0,05801708

Для расчета индекса корреляции ρ_xy нелинейной регрессии воспользуемся вспомогательной таблицей 5.

Таблица 1.5. – Расчетные величины

№	х	у
1	115	202	194,998	49,02816	21,97266	118,2656
2	98	209	198,074	119,3798	136,5977	37,51563
3	105	204	196,802	51,81822	44,72266	0,765625
4	109	169	196,078	733,224	801,5977	23,76563
5	102	214	197,346	277,3619	278,4727	4,515625
6	116	195	194,819	0,032925	5,347656	141,0156
7	97	174	198,256	588,3698	543,4727	50,76563
8	92	200	199,171	0,687151	7,222656	147,0156
9	112	194	195,537	2,363303	10,97266	62,01563
10	110	198	195,898	4,419769	0,472656	34,51563
11	104	199	196,983	4,069176	2,847656	0,015625
12	100	189	197,710	75,85575	69,09766	17,01563
13	95	209	198,622	107,7088	136,5977	83,26563
14	98	196	198,074	4,301042	1,722656	37,51563
15	107	201	196,439	20,79836	13,59766	8,265625
16	106	204	196,620	54,45831	44,72266	3,515625
Итого	1666	3157	3151,426	2093,876	2119,438	769,750
Ср.зн	104,125	197,313	196,964	130,867	132,465	48,109

ρ_xy===

Найдем коэффициент детерминации

R²= ρ²_xy·100%=0,11²

Полученное значение коэффициента детерминации говорит о том, что 1,2% вариации урожайности картофеля объясняется вариацией фактора х – дозы внесения органических удобрений.

Рассчитаем фактическое значение F-критерия при заданном уровне значимости =0,05:

F_факт = _{= ·} (n-2)==0,171.

Сравнивая табличное F_табл=4,6 и фактическое F_факт=0,171 значение отмечаем , что F_факт.< F_табл.,

Это означает, что при заданном уровне вероятности =0,05 следует принять нулевую гипотезу о статистической незначимости параметров уравнения регрессии.

5. По условию задачи прогнозное значение фактора выше его среднего уровня x=104,125 на 5%, тогда оно составит:

=1,05∙104,125=109,33

Обе модели статистически незначимы, прогноз не будет иметь смысл

оба уравнения регрессии является статистически незначимыми и ненадежными, рассчитывать прогнозируемое значение урожайности ни по одному из рассмотренных уравнений не имеет смысла, поскольку данный прогноз не даст достоверного результата.

Тем не менее, выполним расчет прогнозного значения результата по линейной модели. (R²_лин >R²_{показат.}).

;

Найдем ошибку прогноза:

=

=

Далее построим доверительный интервал прогноза при уровне значимости =0,05:

;

предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

=2,1448∙12,807=27,47

Доверительный интервал прогноза

(168,859; 223,796).

С вероятностью 95% при внесении 109,33 ц/га удобрений урожайность будет находиться в пределах указанного выше интервала.

1 Будем считать, что приведенные в примере данные являются выборкой из двумерной нормально распределенной совокупности, являющейся достаточно однородной по своему составу.