Вопрос №17

Общий порядок решения параллак­тического треугольника следующий:

сделать чертеж треугольника, поме­тить данные и искомые величины;

подобрать формулы для получения искомых величин, как правило, через данные и привести их к простейшему виду;

исследовать формулы на знаки функ­ций (по тригонометрическим четвертям) при данных значениях аргументов;

составить простейшие схемы вычислений;

произвести вычисления по таблицам логарифмов или натуральных значений тригонометрических функций;

приписать искомым наименования;

произвести контроль вычислений.

Переход от экваториальных коорди­нат к горизонтным. Положим, что в треугольнике zPNC (см. рис. 11) зада­ны φ, δ и t, требуется определить высо­ту h и азимут A. Отметим в параллактиче­ском треугольнике заданные элементы крестиком (X), а искомые — знаком во­проса (?).

Для получения h применим формулу, связывающую три стороны и угол тре­угольника, т. е. формулу косинуса сто­роны (см. приложение 1.2), к стороне zС:

После упрощений получим

Для получения азимута через задан­ные величины φ, δ, t,применим формулу для четырех рядом лежащих элементов, т. е. формулу котангенсов (см. приложе­ние 1.2), к углу А:

после упрощений и отделения неизвест­ного получим

Из параллактического треугольни­ка можно получить и другие элементы, например по данным A, t, φ, применяя формулу косинуса угла С, получим q:

Исследование формул на знаки. Ис­следование производится определением знака тригонометрической функции при данной величине и знаке координаты с последующим перемножением знаков.

Исследование выполняется, чтобы опре­делить:

будет ли в правой части двучлен­ной формулы сумма членов (т. е. +I+II; —I—II) или их разность (например, —I+II);

знак искомой функции, а по нему тригонометрическую четверть или знак искомой координаты.

Правила исследования формул на знаки приведены ниже.

1. Широта всегда меньше 90° и считается положительной независимо от наименования (N или S), поэтому все ее функции имеют знак «+».

2. Склонение всегда меньше 90° но можёт иметь знак «+» если оно одноименно с φ, и знак «—», если разноименно. (знак «—» означает четвертую тригонометрическую четверть). Если δ одноименно с φ, функции δ имеют знак «+», если же δ разноименно с φ, то cosδ и secδ имеют знак «+», остальные функции знак «—».

3. Высота всегда меньше 90°, но может иметь знак « +» или «—». Если знак высоты «+», то все ее функции положительны, если же знак «—», то cosh и sech имеют знак «+»; осталь­ные функции «—».

4. Часовой угол вводится в треуголь­ник всегда меньшим 180° (Е или W). Ес­ли t < 90°, т. е. в первой тригонометри­ческой четверти, то все его функции име­ют знак «+». Если же t>90°, т. е. во второй четверти, то sin t и cosec t име­ют знак «+», остальные функции «—».

5. Азимут в треугольнике всегда в полукруговом счете, т. е. может быть в первой и второй четвертях. Поэтому независимо от его наименования, если А < 90°, все его функции имеют знак «+»; если же А > 90°, то sin А и cosec А имеют знак «+», остальные функции «—».

6. Параллактический угол имеет ве­личину от 0 до 180° и знаки его функций определяются аналогично A и t.

Эти же правила применяются и при определении знака или величины иско­мой координаты.

Рассмотрим примеры исследования и решения по таблицам МТ—75.

Рассмотрим полное решение парал­лактического треугольника на приме­ре 4.

Исследуем эти формулы на знаки. Все функции φ будут, как всегда, иметь знак «+». Так как δs разноименно с φN, то его знак будет «—» (что аналогично четвертой четверти), поэтому sinδ и tgδ имеют знак «—», a cosδ — знак «+»; t < 90°, поэтому все функции имеют знак «+». Результат перемножения знаков записывается справа; в первой формуле получим (-I +II), во второй (—I —II), т. е. в первой формуле будет разность (β), во второй — сумма (α). Составляем схему и производим вы­числения по табл. 5-а, 3-а, З-б МТ—75.