Розрах

Отже, точка М ( ; ).

7) Обчислити кут між прямими AD і BE

AD:			N		1		;
ВЕ:				2			;
		N

cos cos N1,N2

N1

N2

A1 A2

B1 B2

N

1

N

2

A2

B2

A2

B2

1

1

2

2

Тема 4. Аналітична геометрія в просторі.

Письмово дати відповіді на запитання та продовжити вирази:

1.Записати загальне рівняння площини в просторі.___________________

2.Кут між двома площинами:_____________________________________

3.Умова перпендикулярності двох площин:___________________________

4.Умова паралельності двох площин:________________________________

5.Записати загальне рівняння у просторі_____________________________

6.Записати канонічне рівняння у просторі____________________________

7.Записати параметричне рівняння прямої у просторі

________________________________________________________________

8.Записати рівняння прямої, що проходить через дві точки:______________

31

________________________________________________________________

9.Кут між двома прямими знаходиться за формулою:__________________

________________________________________________________________

10.Кут між прямою і площиною визначається за формулою:

________________________________________________________________

11. Записати умову паралельності прямої і площини

________________________________________________________________

12. Записати умову перпендикулярності прямої і площини

________________________________________________________________

Завдання 4.

Задано координати точок А, В, С.
А (	),	B (	),	C (	)

Знайти:

1) рівняння площини P1, що проходить через точку А перпендикулярно

вектору BC ;

2)відстань від точки С до цієї площини;

3)рівняння площини P2 , що проходить через точки А, В, С;

4)рівняння прямої L1, що проходить через точки В і С;

5)точку перетину прямої L1 із площиною P1;

6)кут між площиною P1 і прямою L2 , що проходить через точки А і С (у

градусах).

Розв´язання:

1) Знайдемо координати вектора BC , який є нормаллю до площини P1:

32

N BC (xC xB ; yC yB ;zC zB )

Скористаємося рівнянням площини, яка проходить через задану точку

			~	~	~
A(x0 ; y0 ;z0 ) перпендикулярно вектору N A;B;C :
~	~	(y y	~
A(x x0 ) B			0 ) C(z z0 ) 0

P1 :

2) Для обчислення відстані від точки С до площини P1 скористаємося формулою:

~

~

~

~

d

Ax0

By0

Cz0

D

,

A~2 B~2 C~2

тут

C(x0 ; y0 ;z0 ) - координати точки С,

~

~

~

~

P1.

Ax0

By0

Cz0

D 0 - рівняння

Значить,

d

	x x1		y y1		z z1
3)	x2	x1	y2	y1	z2	z1	0 – рівняння площини, яка проходить
	x3	x1	y3	y1	z3	z1

через три задані точки A(x1; y1;z1 ),В(x2 ; y2 ;z2 ),С(x3 ; y3;z3 ).

Підставимо координати точок до формули:

33

Шукаємо визначник по теоремі розкладання за першим рядком:

P2 :

4)	x x1		y y1		z z1	- рівняння прямої, яка проходить через дві
	x2 x1		y2 y1
					z2 z1

точки B(x1; y1;z1) і C(x2 ; y2 ;z2 ).

Підставимо координати:

L1:

5) Розв’язок системи, складеної з рівнянь прямої L1 і площини P1:

34

і буде координатами шуканої точки перетину. Для зручності розв’язання системи запишемо рівняння прямої у параметричній формі:

x

yz

і підставимо в рівняння площини:

t=

x

тоді

y

z

Точка перетину прямої і площини M

;

;

6) Кут між площиною та прямою:

sin P ,L

N

S

,

1

2

N

S

де N BC

- нормальний вектор до площини

S AC

- напрямний вектор прямої L2 .

Обчислимо:

N S

N

S

Тобто:

sin( P1,L2 )

( P1,L2 )

35

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1.

Київ, «Либідь», 1993.

2.Луценко Ю.Л. Вища математика. Навчально-методичний посібник для студентів-заочників. ВДАУ. 2001.

3.Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика. Навчальний посібник.

Київ, 2001.

4.Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах с решениями. В 2 ч. Ч. 1: Учебное пособие для вузов. – М.: ОНИКС 21 век, 2002. – 304 с.

5.Дубовик В.П. Юрик І.І. Вища математика. Навч.посібник. К. Вища школа. Київ, 2003.

6.Вища математика: Підручник. У 2 ч. Ч. 1: Лінійна і векторна алгебра.

Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальне і інтегральне числення / Овчинников П. П. та ін. – К.: Техніка, 2003. – 600 с.

7. Вища математика. Модуль 1. Лінійна, векторна алгебра та аналітична геометрія: Навч. посібник / Антоненко В. Ф., Клюс І. С., Горідько Р. В.,

Чуб Л. О.– К.: Книжкове вид-во НАУ, 2006. – 300 с.

36

Додаток

ВИХІДНІ ДАНІ ДЛЯ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ

Завдання 1.

№		A			B		№		A				B
	1		2 3		14			0		2	3			4
1.							2.			2
	A 1		0 1		B 2			A 1			1		B 3
		2							3	1
			1 1			3					1			4
	1		2 3		5				3	1	2			3
3.							4.	A 1 1			1
	A 3		1 1		B 4				2 1				B 2
		2									1			1
			1 1			1
	1		2 3		11				2	2	3			15
										1
5.							6.	A 3			1
	A 1		1 1		B 0				2	1	1		B 9
		2
			1 0		5									7
	4		2 3			9		1 2			3		8
7.							8.
	A 0		1 1		B 5			A 5 1			1		B 7
		2
			1 1			7		2 1			1		0
	0		2 3		1			5		2	3			9
9.			5				10.			2
	A 1			1	B 10			A 1			1		B	5
		2							2 1
			1 1		3						1			1
	1		2 3		14				1 2		3		14
11.			0				12.			4
	A 1			1	B 2			A 1			1		B 10
		2
			1 1			3			0 1		1		5
	1		2 3			2		1		2	0			11
13.			1				14.		3	1
	A 1			1	B	0		A			1		B 11
		2							2
			1 1		1					1 1				4
	1		1 3		2			1 1			3			12
15.		3	2				16.			2
	A			1	B	2		A 1			1		B	6
									2 1
	2		1 1		3						1			3
	1		1 3		3				1	2	1			0
17.			3				18.	A 3 1			2
	A 2			1	B	9			2 1				B	5
		2									1
			1 1			5								3

37

	1	2 3			14			1	2 3		14
19.		0					20.		0			2
	A 1		1		B 2			A 1		1	B
												3
	2	1 1				3		2	1 1
	3	2 3				7		1	2 1		3
21.		2					22.		2			7
	A 1		1		B 3			A 1		1	B
		0 1										3
	2					0		3	1 1
	1	2 5			11			2	1	3	10
23.		2					24.		2			0
	A 1		1		B	1		A 1		1	B
									1
	0	1 2			4			3		1		11
	1	2 3			15			5	2 3			8
25.		2					26.		2
	A 4		1		B 4			A 1		1	B 8
		1 1										5
	3					4		3	1 1
	6	0 3				6		1	2 1			7
27.		2					28.		3
	A 1		1		B 3			A 1		1	B 15
												9
	3	1 1				2		3	1 1
	7	2 3			9			1	2 1			3
29.		2	0				30.		5
	A 1				B 11			A 1		1	B 13
		1 1										0
	1					2		2	1 0

38

				Завдання 2
№	A	B	C	D
1.	(0;1;-1)	(-2;4;2)	(1;3;2)	(0;3;2)
2.	(4;1;0)	(-1;2;4)	(4;1;1)	(2;-1;1)
3.	(2;3;-1)	(4;1;2)	(-1;2;4)	(-3;2;0)
4.	(3;5;7)	(1;0;2)	(2;1;2)	(-2;3;2)
5.	(-2;1;2)	(1;2;1)	(2;1;0)	(2;1;-1)
6.	(1;0;1)	(2;1;5)	(6;-2;2)	(-3;1;2)
7.	(2;1;0)	(6;1;2)	(3;0;2)	(3;-1;2)
8.	(6;1;2)	(3;1;2)	(2;2;1)	(5;2;1)
9.	(2;-1;5)	(1;0;1)	(2;2;1)	(-1;2;1)
10.	(-1;4;1)	(3;2;1)	(2;4;1)	(7;-4;0)
11.	(3;2;1)	(3;4;1)	(2;3;5)	(1;-3;5)
12.	(0;4;1)	(2;3;5)	(1;2;1)	(1;0;-1)
13.	(1;1;6)	(-1;5;2)	(3;0;1)	(4;0;1)
14.	(1;3;2)	(3;1;1)	(7;1;5)	(0;1;5)
15.	(3;0;1)	(6;1;5)	(1;1;6)	(-1;1;3)
16.	(4;1;-5)	(1;0;6)	(1;5;2)	(-3;-4;2)
17.	(2;0;4)	(-1;2;2)	(-1;5;3)	(0;5;-3)
18.	(3;2;2)	(4;5;3)	(2;1;3)	(5;0;3)
19.	(4;0;3)	(2;1;3)	(2;5;4)	(2;5;4)
20.	(-2;1;3)	(2;5;4)	(3;2;2)	(-3;1;2)
21.	(2;2;1)	(3;4;2)	(6;3;1)	(4;3;0)
22.	(3;4;1)	(6;-3;1)	(6;2;5)	(0;2;-5)
23.	(6;3;1)	(6;2;5)	(2;4;1)	(-2;3;1)
24.	(6;2;5)	(2;4;1)	(3;4;2)	(0;4;2)
25.	(2;-5;3)	(2;0;3)	(1;4;1)	(-1;6;1)
26.	(2;4;3)	(1;1;3)	(2;4;6)	(-3;4;6)
27.	(1;4;3)	(2;4;6)	(2;0;3)	(7;-1;3)
28.	(2;4;1)	(2;-5;3)	(2;3;-1)	(-1;3;0)
29.	(0;3;3)	(4;2;1)	(2;1;2)	(5;-1;4)
30.	(2;1;2)	(2;3;4)	(-1;3;3)	(-5;0;3)

39

							Завдання 3
№	A	B	С	№	A	B	С
1.	(1;-1)	(-2;2)	(0;2)	16.	(4;1)	(0;6)	(9;-1)
2.	(4;1)	(-1;4)	(2;-3)	17.	(2;4)	(-1;2)	(3;-7)
3.	(2;3)	(4;2)	(-4;-1)	18.	(3;2)	(5;3)	(0;-4)
4.	(3;7)	(0;2)	(-2;2)	19.	(4;3)	(1;3)	(2;-5)
5.	(-2;2)	(1;1)	(6;1)	20.	(-2;3)	(5;4)	(0;6)
6.	(1;1)	(1;5)	(-1;7)	21.	(2;1)	(3;2)	(-4;1)
7.	(2;0)	(6;2)	(-2;-3)	22.	(3;4)	(-3;1)	(0;-2)
8.	(1;2)	(3;2)	(0;2)	23.	(6;1)	(6;5)	(8;-1)
9.	(2;5)	(1;0)	(-1;5)	24.	(6;2)	(4;1)	(5;-3)
10.	(-1;1)	(3;1)	(9;1)	25.	(-5;3)	(0;3)	(1;-2)
11.	(3;2)	(4;1)	(-5;1)	26.	(2;3)	(1;3)	(-9;0)
12.	(0;1)	(2;5)	(2;3)	27.	(1;3)	(4;6)	(2;-5)
13.	(1;1)	(-1;2)	(0;2)	28.	(2;1)	(-5;3)	(0;-6)
14.	(1;3)	(1;1)	(-6;0)	29.	(0;3)	(4;1)	(7;-5)
15.	(0;1)	(6;5)	(2;-3)	30.	(2;2)	(2;3)	(1;-5)

40