Лекция 5

pC =UC I sin 2ω t .

(2.94)

Полученное выражение (2.94) описывает характер изменения мощности в идеальном емкостном элементе.

Для наглядного представления на рис. 2. 19б построен график изменения мощности, соответствующий выражению (2.94).

Из выражения (2.94) и на графике рис. 2. 19б видно, что в цепи с идеальным емкостным элементом мгновенная мощность изменяется по синусоидальному закону с амплитудой UСI с двойной частотой 2ω .

При этом в течение периода значение мгновенной мощности меняет знак через каждую четверть периода. При рС > 0 – электрическая энергия от источника поступает в цепь и преобразуется в энергию электрического поля в емкостном элементе. При рС < 0 – энергия, запасенная в электрическом поле, полностью возвращается к источнику.

Среднее за период значение мгновенной мощности рС, или активная мощность Р = 0.

Т.е. в емкостном элементе не происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии. При этом происходит непрерывный колебательный процесс обмена энергией между источником и электрическим полем емкостного приемника. То есть в этой цепи происходит обратимый процесс преобразования энергии.

Для характеристики интенсивности этого процесса используют понятие реактивной емкостной мощности QС. Ее величину определяют амплитудой

колебания мгновенной мощности pСmax. Исходя из (92):
QC = pC max =UC I .	(2.95)

Т.е. реактивная мощность емкостного элемента равна произведению действующих значений напряжения и тока.

С учетом соотношения тока и напряжения по закону Ома (2.88) реактивная емкостная мощность цепи с идеальным емкостным элементом:

QC =UC I = X C I 2 .			(2.96)
Емкостное сопротивление
X С =	QС	.	(2.97)
	I 2

Единицы реактивной емкостной мощности QС – Вар, КВАр, МВАр.

Пример.

Емкостный элемент с емкостью С = 22 мкФ подключен к источнику синусоидального напряжения U = 220В с частотой f = 50 Гц. Заданная начальная фаза напряжения ψu = 650.

Определить синусоидальный ток и реактивную мощность этого элемента.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

11

При изображении тока и напряжения в комплексном виде:

U& = 220e j65o .

Сопротивление емкостного элемента синусоидальному току:

X C =	1	=		1	=	1	=144,8Ом.
						2π50 22 10−6
ωC			2πfC
Комплексное емкостное сопротивление:
X C =144,8e				− jπ	2 = −j144,8.

По закону Ома для емкостного элемента комплексный ток:

I& =	U&				220e j65o	=1,52e j155	o
			=				.
	X	C			144,8e− jπ 2

Таким образом, величина (действующее значение) тока в емкостном элементе I=1,52А , а его начальная фаза ψi = 1550.

Реактивная мощность емкостного элемента

QC = I 2 X C = (1,52)2 144,8 =334,5ВАр

Полученные выше соотношения между током и напряжением поеличиине и по фазе на каждом из идеальных элементов позволяют проводить расчет и анализ электрической цепи синусоидального тока, которая содержит разные элементы. При этом могут использоваться способы изображения синусоидальных величин в комплексной форме и на векторной диаграмме.

Пример.

К источнику синусоидального напряжения подключены соединенные последовательно резистор с сопротивлением R = 133 Ом и индуктивный элемент с индуктивностью L = 200 мГн (рис. 21). Измеренный амперметром ток в этой цепи имеет величину 1,5 А.Определить напряжение источника.

Рис. 2. 21. Расчет цепи с последовательным соединением R и L – элементов.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

12

Примем начальную фазу тока, равной нулю: ψi = 0. При этом

комплексный ток I& =1,5 e j0 =1,5. Комплексное индуктивное сопротивление:

X L = 2πfL e jπ 2 = 2π50 200 10−3e jπ 2 = 62,8e jπ 2 = j62,8.

Напряжение индуктивного элемента по закону Ома:

U&L = I& X L =1,5 e j0 62,8e jπ 2 =94,2e jπ 2 .

Напряжение на резисторе:

U&R = I& R =1,5 e j0 133 = 200 e j0.

Чтобы определить напряжение всего участка выразим его через напряжения отдельных элементов по второму закону Кирхгофа для обозначенного на схеме контура:

U& =U&R +U&L = 200 e j0 + 94,2e jπ 2 =			π ) = 220e j25о
= (200cos0 + j200sin 0) + (94,2cos	π	+ j94,2sin		,
	2		2

Т.е. напряжение рассмотренной цепи имеет действующее значение U=220В и изменяется с начальной фазой ψu=250. Тот же результат может быть получен на векторной диаграмме (рис. 2. 22).

Рис. 2. 22. Графический расчет на векторной диаграмме

Здесь вектор напряжения резистора совпадает по направлению с вектром тока. Вектор напряжения на индуктивном элементе опережает ток на угол π/2.

Напряжение всей цепи U& определяется в соответствии с вторым законом Кирхгофа суммой векторов U&R и U&L . Результирующий вектор графически

изображает напряжение источника и соответствует значению, полученному аналитически в комплексной форме.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

13

Заключение

1.На идеальном индуктивном элементе соотношение между током и напряжением по величине:

I =	U	=	U	,
	ωL
			X L

где величинаX L =ωL = 2πfL – индуктивное сопротивление.

Начальная фаза напряжения больше начальной фазы тока на π/2, при этом разность фаз

ϕ = ψu − ψi = π2 ,

то есть напряжение на индуктивном элементе опережает ток по фазе на угол

φ = π/2.

Соотношение комплексных тока и напряжения на идеальном индуктивном элементе

I& = U&L , X L

где X L = X L e jπ 2 = jX L - комплексное индуктивное сопротивление.

На векторной диаграмме вектор напряжения повернут относительно вектора тока против часовой стрелки на π/2.

Интенсивность энергетических процессов в идеальном индуктивном элементе характеризуется реактивной индуктивной мощностью QL,

определяемой действующими значениями тока и напряжения, или действующим значением тока и индуктивным сопротивлением:

QL =U L I = X L I 2 .

2.На идеальном емкостном элементе соотношение между током и напряжением по величине:

I = UC = UC , 1Cω X C

где величинаX c = ω1C = 2π1fC – емкостное сопротивлением.

Начальная фаза напряжения меньше начальной фазы тока на π/2, при этом разность фаз

ϕ = ψu −ψi = − π2 ,

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

14

то есть напряжение на индуктивном элементе отстает от тока по фазе на угол

π/2.

Соотношение комплексных тока и напряжения на идеальном емкостном элементе

I& = U&C , X C

где X C = XCe− jπ2 = −jXC - комплексное емкостное сопротивление.

На векторной диаграмме вектор напряжения повернут относительно вектора тока по часовой стрелке на π/2.

Интенсивность энергетических процессов в идеальном емкостном элементе характеризуется реактивной емкостной мощностью QС,

определяемой действующими значениями тока и напряжения, или действующим значением тока и емкостным сопротивлением:

QC =UC I = X C I 2 .

Контрольные вопросы

Указать векторную диаграмму для индуктивного элемента:

Указать векторную диаграмму для емкостного элемента:

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

15

Поставить в соответствие векторную диаграмму и схему замещения

Определить ток и реактивную индуктивную мощность для цепи синусоидального тока, показанной на схеме . (L=60 мГн, f=50 Гц, U=100 В)

Ток цепи		Реактивная индуктивная
			мощность
I = 5,31 А;		QL = 531,2 Вт;
I = 1,67 А;		QL = 188400,0 Вт;
I = 33,3 А.		QL = 20891,5 Вт;

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

16

Определить ток и реактивную емкостную мощность для цепи синусоидального тока, показанной на схеме . (C=600 мкФ, f=50 Гц, U=100 В)

Ток цепи		Реактивная емкостная мощность
I = 18,84 А;		QC = 1884,0 Вт;
I = 3,0 А;
		QC = 53081,0 Вт;
I = 0,167 А;
		QC = 66,9 Вт;
I = 530,8 А.

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

17

Разработано по плану инновационной образовательной программы УГТУ-УПИ.

Коллектив разработчиков кафедры «Электротехника и электротехнологические системы»

УГТУ–УПИ

Сарапулов Федор Никитич – заведующий кафедрой, профессор, д.т.н.; Проскуряков Валерий Степанович – доцент, к.т.н.;

Соболев Сергей Владимирович	– доцент, к.т.н.;
Федотова Лидия Адамовна	– доцент, к.т.н.;

Хрулькова Наталья Вячеславовна – ассистент.

Кафедра «Электротехника и электротехнологические системы» УГТУ–УПИ

620002, г. Екатеринбург, ул. Мира, 19. Тел. [phone], E-mail: [e-mail]

Модуль I. Электрические цепи

Лекция 5

18