MP_praktikumNG

1.13. Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости параллельны, если в одной из них можно провести две пересекающиеся прямые параллельно двум пересекающимся прямым в другой плоскости.

Чтобы задать на эпюре Монжа плоскость Ω (a b), параллельную плоскости Σ (m n), достаточно указать проекции пересекающихся прямых a и b , соответственно параллельных пря-

мым m и n (рис. 1.28, 1.29, 1.30).

Рис. 1.28 Взаимно параллельные плоскости заданы следами

Рис.1.29Взаимнопараллельныеплоскостизаданыпересекающимисяпрямыми

Рис. 1.30 Взаимнопараллельныеплоскостизаданытреугольниками

20

Две плоскости перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную к другой плоскости.

Пересечение плоскостей.

Если плоскости не параллельны, то они обязательно пересекутся. Можно утверждать, что линия пересечения будет горизонтальной прямой. Действительно, линия пересечения принадлежит одновременно плоскости общего положения и горизонтальной плоскости, а все линии принадлежащие горизонтальной плоскости являются горизонталями (рис. 1.31).

Рис. 1.31. Пересекающиеся плоскости

Пересечение прямой и плоскости.

Если прямая не параллельна плоскости, то она пересекает ее под тем или иным углом. Задача на пересечение прямой с плоскостью является одной из основных задач. Алгоритм или план решения таких задач рассмотрен в главе 2, пример 25.

Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна по крайней мере двум прямым, лежащим в плоскости и не параллельным друг другу.

Достаточно в плоскости провести горизонталь и фронталь и к ним восстановить перпендикуляр, так как эти прямые проведенные из одной точки задают плоскость.

Для того чтобы восстановить перпендикуляр к плоскости, необходимо, чтобы его горизонтальная проекция была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция фронтальной проекции фронтали. Горизонтали и фронтали плоскости служат для определения направления проекций перпендикуляра к плоскости. Алгоритм решения таких задач рассмотрен в главе 2 пример 27.

21

1.14. Способы преобразования ортогональных проекций

Способы преобразования чертежа предназначены для того, чтобы дать наиболее выгодное изображение предметов (геометрических образов) для решения позиционных и метрических задач. Решение многих задач существенно упрощается, если изображение предмета на плоскости вырождается или его проекции занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Существуют способы, позволяющие так преобразовывать чертеж, чтобы изображение предмета заняло частное положение относительно плоскостей проекций. Такие способы получили название – способы преобразования чертежа.

Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций.

При вращении т. А вокруг неподвижной оси перпендикулярной плоскости проекций π1 на π2 т. А2 перемещается по окружности, а т. А1 на π1 по прямой (рис. 1.32).

А2

	А2	i2
			По окружности
x		i1
			По прямой
			А1
	А1

Рис. 1.32. Вращение точки вокруг неподвижной оси

Истинные размеры фигуры общего положения не могут быть определены вращением ее вокруг одной оси: 1) вращением

22

вокруг проецирующей прямой фигуру приводят в положение проецирующей плоскости ( ), а затем 2) вращением вокруг второй проецирующей прямой – в положение (//) параллельное плоскости проекций. Плоскость фигуры перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, если горизонталь этой фигуры фронтальной плоскости проекций h2. π2.

Чтобы произвольно расположенную плоскость перезадать во фронтально проецирующую, за ось вращения следует принять горизонтально проецирующую прямую. Чтобы произвольно расположенную плоскость перезадать в горизонтальнопроецирующую, за ось вращения следует принять фронтальнопроецирующую прямую.

Способ замены плоскостей проекций

Сущность способа замены (перемены) плоскостей проекций заключается в том, что положение точек, линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система π1π2 дополняется плоскостями, образующими с πl или с π2 между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.

Следует помнить, что направление проецирования должно оставаться ортогональным, а новая плоскость проекций должна быть перпендикулярной оставшейся плоскости.

На рис. 1.33 представлена пространственная модель координатных плоскостей проекций и точка А с ее ортогональными проекциями А1 и А2 на плоскостях π1 и π4.

Рис. 1.33. Наглядное представление способа замены плоскостей проекций

23

Введем дополнительную вертикальную плоскость π4 перпендикулярно горизонтальной плоскости π1. Взаимно ортогональные плоскости π1 и π4 образуют новую систему плоскостей проекций. Плоскость π1 – является общей для систем П1/П2 и π1/π4. Для упрощения решения задач можно использовать второй путь: фигуру оставить на месте и ввести новые плоскости проекций. На эпюре Монжа это выглядит следующим образом (рис.

1.34).

Рис. 1.34. Эпюр

Плоскость π1 является общей для двух систем π2/π1 и π3 /π1. Расстояние от т. А2 до π1 одинаковое в обеих системах.

Способ плоско параллельного перемещения (вращение без указания оси)

При вращении без указания оси геометрического образа его проекция на плоскости, перпендикулярной оси вращения, сохраняет свою величину и форму. Вторая проекция точек геометрического образа перемещается по прямым, перпендикулярным проекции оси вращения (т.е. параллельно оси ОХ). Это позволяет плоскопараллельно перемещать данный объект на свободное поле чертежа без нанесения оси вращения (рис. 1.35).

24

Рис. 1.35. Пример применения способа плоскопараллельного перемещения

1.15. Кривые линии

Кривую линию можно рассматривать как траекторию движения точки на плоскости или в пространстве. В первом случае получим плоскую кривую, во втором – пространственную.

В технике кривая линия это – очертание инженерных конструкций и деталей машин, границы и результат пересечения поверхностей. Кривые линии применяются при конструировании различных поверхностей, в теории машин и механизмов, в моделировании и для графического выражения различных функциональных зависимостей.

Плоские кривые линии

Некоторые плоские кривые линии изучаются в курсе высшей математики (эллипс, парабола и т.д.).

В инженерной графике кривые линии изучаются по их проекциям. При построении проекций плоской кривой линии необходимо указывать ее характерные точки (рис. 1.36).

25

Рис. 1.36. Плоские кривые линии

М – обыкновенная точка кривой; А – узловая точка, в которой кривая имеет две касательные; В – точка возврата первого рода, в которой кривая расположена по обе стороны одной касательной; С – точка возврата второго рода, в которой касательная расположена про одну сторону от двух ветвей кривой.

В практике конструирования линий и поверхностей, например, поверхность кулачка, широко используются составные кривые линии – обводы. Это кривые, составленные из дуг различных кривых, определяемых парами смежных точек. Точки стыка дуг обвода называют узлами. Обвод называют гладким, если дуги обвода в его узлах имеют общие касательные.

Важное практическое значение имеет построение плоских лекальных и циркульных кривых, выполнение спряжений.

Один из вариантов построения эллипса по большой и малой осям (проекции окружности на непараллельную ей плоскость), приведен на рис. 1.37.

Рис. 1.37. Построение эллипса

26

Алгоритм построения

При построении проводим окружности радиусами и R из одного центра О и произвольный радиус ОА.

Из точек 1 и 2 пересечения радиуса с окружностями проведем прямые, параллельные осям эллипса, и в точке их пересечения отметим точку М искомого эллипса.

Аналогично определяются другие необходимые точки.

Как правило, для построения эллипса этим способом достаточно определить 8-12 точек.

Часто на практике допускается эллипс заменять овалом. Особенно удобно сделать это, т.к. овал – циркульная кривая, при построении в аксонометрии детали с цилиндрическими поверхностями, когда требуется построить множество аксонометрических проекций окружности. Построение овала по двум известным осям приведено на рис. 1.38.

Рис. 1.38. Пример построения овала

Алгоритм построения

При построении овала на продолжении малой оси отметим точку 1: [ОА]=[O-1].

На отрезке АС дугой радиуса С-1 отметим точку 2.

Через середину 3 отрезка А-2 проведем перпендикуляр и найдем центры О1 опорной окружности и О2 сопрягающей дуги. Точка сопряжения – 4. 4=О1О2 (cic ). Центры О3 и О4 находятся как симметричные.

27

Пространственные кривые линии

В качестве примера пространственной кривой линии рассмотрим коническую винтовую линию. Коническая винтовая линия – траектория точки, движущейся по прямолинейной образующей, вращающейся вокруг оси конуса. Размер перемещения точки вдоль оси конуса за полный оборот вокруг оси называют шагом конической винтовой линии. Если вращательное и поступательное перемещения точки равны, то говорят о винтовой линии с постоянным шагом (рис. 1.39).

Рис. 1.39. Образование винтовой линии

Такая линия проецируется на плоскость, перпендикулярную оси конуса, в виде спирали Архимеда.

При построении точки 1 горизонтальная проекция образующей конуса SA повернута на 360о/12, а точка перемещена по ней на 1/12 длины образующей SA.

Аналогично построены остальные точки.

28

1.16. Поверхности

Многое, что окружает нас в природе и технике, если смотреть с позиции геометрии, - это поверхности весьма сложных форм и законов образования (рис. 1.40).

Рис. 1.40.

В инженерной графике поверхность как объект инженерного исследования может быть задана: множеством точек, уравнением, чертежом и т.д. Ознакомившись с понятиями определителя и каркаса, можно считать, что поверхность – совокупность последовательных положений образующих и направляющих. Не-

трудно видеть, что образующие i и направляющие mi можно

поменять местами, при этом поверхность получается одна и та же.

На практике из всех способов задания поверхностей выбирают наиболее простой. В зависимости от формы образующей все поверхности можно разделить на линейчатые (образующая кривая линия).

Линейчатые поверхности разделяют на развертывающиеся, которые можно без разрывов и складок развернуть на плоскости, и не развертывающиеся.

Значительный класс поверхностей формируется движением окружности постоянного или переменного радиуса. Это циклические поверхности. Если же группировать поверхности по закону движения образующей, то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на: поверхности вращения,

29