Лекции Соболева часть 3

118 Лекции 15 - 16

an π∫ cos2 nx dx = an π, откуда			an =	1	π∫ f (x)cos nx dx.
				π
−π					−π	(4)
Умножение (1) на sin kx и интегрирование в пределах от –						π до π
дает
bn =	1	π∫	f (x)sin nx dx.			5)
	π
		−π

заметим, что ряды, полученные умножением равномерно сходящегося исходного ряда (1) на ограниченные функции sin kx и cos kx , сходятся равномерно и их также можно почленно интегрировать.

ОЕсли функция f(x) определена на отрезке [−π, π], то числа an , bn , определенные формулами (4), (5) и (6), называются коэффициентами Фурье функции f(x), а тригонометрический ряд (1), коэффициентами которого служат эти числа, – рядом Фурье функции f(x).

ТЕсли функция f(x) разлагается в равномерно сходящийся тригонометрический ряд, то этот ряд является ее рядом Фурье.

15.5. Разложение функций в тригонометрические ряды

Вопрос о возможности разложения функции f(x) в тригонометрический ряд сводится к ответу на вопрос о том, какими свойствами должна обладать функция f(x), чтобы построенный для нее ряд Фурье сходился и его сумма совпала с f(x).

В отличие от степенных рядов, в которые разлагаются только функции, имеющие производные всех порядков, в тригонометрические ряды разлагаются почти любые функции.

ОФункция f(x) называется кусочно-

монотонной на отрезке [a,b], если этот от-

резок с помощью конечного числа точек x1, x2,…, xn-1 можно разбить на отрезки, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и монотонна.

Кусочно-монотонная функция f(x) может иметь на [a,b] только конечное число точек разрыва I рода.

Ряды Фурье

119

Если в точке x=c имеет место разрыв, то в силу монотонности

функции f(x) слева от точки с существует предел lim f (x)= f (c −0), а в

x→c−0

силу монотонности справа существует lim f (x) = f (c + 0).

x→c+0

Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье дает следующая теорема, которую мы примем без доказательства.

ТТеорема Дирихле. Если функция f(x) с периодом 2π ограничена и кусочно-монотонна на отрезке [−π,π], то ряд Фурье, построенный для f(x), сходится во всех точках этого интервала.

При этом:

1)сумма S(x) этого ряда равна f(x) в точках непрерывности функции f(x);

2)если точка х=с является точкой разрыва f(x), то сумма ряда Фу-

	рье S (x)=	f (c + 0)+ f (c − 0)	.
		2

Пример:

Разложите в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2π на [0, 2π),

если f (x) = 1,		x [0, π]	.
	−1, x (π,2π]
Решение:
Вычислим коэффициенты Фурье.
Учитывая	доказанное в п.15.1 утверждение 2			о том, что
a+2π	2π
∫ f (x)dx = ∫ f		(x)dx для периодической функции f(x)		с периодом 2π,
a	0

интегралы по [0, 2π] можно заменить соответствующими интеграла-

ми по [−π,π]:

1

π

f (x) dx = 0,

an =

∫

так как подынтегральная функция

π

−π

является нечетной;

an

=

1

π∫

f

(x)cos nx dx = 0

из нечетности подынте-

π

−π

гральной функции f(x)·cos nx;

1

π

1

0

π

bn =

∫

f (x)sin nx dx =

∫ (−1)sin nx dx + ∫sin nx dx =

π

π

−π

−π

0

1

cos nx

0

−cos

nx

π

=

π

x

n

−π

0

120

Лекции 15 - 16

2

0, если п = 2k − четное;

=

(cos 0 −cos nπ )=

4

πn

, если п = 2k +1

− нечетное.

πn

Итак, разложение f(x) в ряд Фурье имеет вид:

f (x)= 4

sin x + sin 3x + sin 5x +... = 4 ∑sin (2n +1)x.

∞

π 1

3

5

π n=0

2n +1

Построим графики трех первых частичных сумм ряда.

Видим, что с увеличением числа слагаемых частичная сумма все точнее представляет f(x). Найдем значение суммы полученного ряда; в

частности, при x = π2 получаем π4 =1 − 13 + 15 − 17 +...

При

мер

:

Разложите в ряд Фурье периодическую функ-

цию с периодом 2π, ес-
ли на отрезке	[−π,π]

она задана формулой f(x)=х2.

y

		-π
0	π	х

Вычислим коэффициенты Фурье:

bn = π1 π∫ x2 sin nx dx = 0

−π

в силу нечетности подынтегральной функции;

Ряды Фурье

121

1 π

2

1

x3

π

a0 =

−∫π

x

dx =

=

π

π

3

−π

an

=

1

π∫

x2 cos nxdx =

π

−π

(интегрируем по час-

тям)

u = x2 , dv = cos nxdx

=

1

sin nx

du = 2xdx, v = −

π

n

(еще раз интегрируем

по частям)

=

u = x,

dv = sin nxdx

=

du = dx, v = −

cos nx

n

2

x cos nx

π

1

π

−

−

+

∫ cos

nπ

n

n

−π

−π

= n42 cos nπ =

4

=n2 , еслиn = 2k − четно

− 4 , если n = 2k +1 − неn2

Разложение в ряд Фурье имеет вид:

f (x)=		π 2		cos x				cos 2
			− 4				−
		3			1			2		2
	π 2		∞	(−1)k cos kx
=		+ 4∑							.
	3				k	2
			k =1

122	Лекции 15 - 16

На рисунке приведены графики исходной функции и первых четырех частичных сумм ряда Фурье на отрезке

[0, π].

В примере1 получился ряд, содержащий только синусы, а в примере2 – только косинусы кратных дуг.

Это обусловлено тем, что в ряд Фурье разлагаются, соответственно, нечетная и четная функции.

16.1.Разложение в ряд четных и нечетных функций с периодом 2π

Пусть f(x) – периодическая функция с периодом 2π.

1). Если функция f(x) нечетная, f(-x)=- f(x), все коэффициенты ее ряда Фурье при косинусах кратных дуг равны нулю a0 = an = 0 , так как при

этом функция f (x) cos nx - также нечетная.

Функция f (x) sin nx при этом четная, поэтому bn = 2 π∫ f (x)sin nxdx , и

π	0

ряд Фурье нечетной периодической функции содержит только синусы

∞

кратных дуг: f (x)= ∑bn sin nx.

n=1

2). Если функция f(x) четная, f(-x)=-f(x), все коэффициенты bn равны нулю, bn=0, так как при этом функция f (x) sin nx – нечетная.

Ряды Фурье

123

Функция f (x) cos nx при этом четная, a0 = 2 π∫ f (x) dx,

π 0

an = 2 π∫ f (x)cos nxdx, и ряд Фурье четной периодической функции со-

π 0

держит только косинусы кратных дуг: f (x)= a0 ∑∞ an cos nx. 2 n=1

16.2.Ряд Фурье для функции с произвольным периодом Т=2L

По условию f (x + 2l )= f (x).

Сделаем замену переменной,

x =

l

t,

t =

π x .

π

l

l

l

l

π

f (x) = f

Тогда

t

=

f

t

+

2l

=

f

t + 2

t

x

=

π

π

π

l

2π

l

l

= f

t +

t

=

f

(t +

2π ) .

t

π

π

π

l

Функция

f (x) = f

t

по аргументу t имеет период 2π.

π

l

Разложим периодическую функцию с периодом 2π

f

t

в ряд

π

a0

[−π, π].

l

∞

Фурье на отрезке

f

t

=

+

∑(an cos nt + bn sin nt),

где ко-

π

2

n=1

эффициенты находятся по формулам:

1

π

l

a0

=

f

t

dt;

π

π

−∫π

1

π

l

an =

f

t

cos ntdt;

π

π

−∫π

1

π

l

bn

=

f

t

sin ntdt.

π −∫π

π

124	Лекции 15 - 16

Возвращаясь к старой переменной t = x πl ; dt = πl dx, получаем ряд Фурье для функции с периодом 2L:

f (x)=

a

∞

nπ

x +bn sin

nπ

x

0 + ∑ an cos

l

l

,

2

n=1

где

a0

= 1

∫l

f (x)dx;

an =

1

∫l

f (x)cos n

π x dx; bn =

1

∫l

f (x)sin nπ x dx;

l

−l

l

−l

l

l

−l

l

Пример:

Разложите в ряд Фурье функцию

f (x)=

x

на отрезке [−l,l].

Так как функция четная, bn=0,

a

l

∫0

x dx = l,

= 2 l

0

2 l

nπ

2

l

nπ

l

l l

nπ

2 l2

nπ

l

an =

l

∫0

x cos l

x dx =

l

x sin

l

x

−

∫0 sin

l

x dx = l

cos

l

x

=

nπ

0

nπ

(nπ )2

0

2l

0, если п − четное,

n = 2k;

=

π −

=

4l

n2π2 (cos n

cos 0)

−

, если п

нечетное,

n = 2k +1.

(2k

1)

2

+

π2

Итак,

x

=

2

−

4l

π

x +

1

π

x

+

1

5π

x +

,

x [−l; l].

cos

cos 3

cos

...

l

π

2

l

2

l

2

l

3

5

16.3. Разложение в ряд Фурье непериодических функций

Сумма ряда Фурье есть периодическая функция, поэтому неперио-

дическую кусочно-монотонную, заданную на интервале (−∞,∞) функ-

цию нельзя представить рядом Фурье. Но можно разложить ее в ряд Фурье на любом конечном промежутке.

Для функции f(x)

y

f(x)

x

Построим функцию ϕ(x)

y

f1 (x)

Ряды Фурье

125

ϕ(x)

x

-2l

-l

0

l

2l

такую, что ϕ(x)= f (x) для x (−l; l ), а на всю действительную ось она продолжается периодически с периодом 2l :

ϕ(x)=ϕ(x + 2l ).

Функция ϕ(x) разлагается в ряд Фурье (п. 5.6), причем в точках x = ± l выполняется:

		S (l )	ϕ(l −0)+ϕ(l + 0)		,
	2
где	ϕ(l −0)= f (l −0), ϕ(l + 0)=ϕ(−l + 0)= f (−l + 0),
то есть	S (l )	f (l −0)+ f (−l + 0)		, S (−l )= S (l ).
	2

Итак, если произвольная функция f(x) задана на интервале (0,l ), ее можно представить в виде периодической функции ϕ(x) с периодом

2l , дополнив (продолжив) f(x) произвольным образом некоторой ку- сочно-монотонной функцией f1 (x) на интервал (−l,0) так, что:

f (x), x (0, l );

ϕ(x)= f1 (x), x (−l, 0).

Так как продолжение первоначально заданной функции f(x) может быть выбрано бесчисленным множеством способов, то существует бесчисленное множество рядов Фурье, которые сходятся к f(x) в интервале (0,l ).

Среди различных продолжений f(x) выберем четное и нечетное продолжения, в результате которых получатся разложения f(x) либо по косинусам, либо по синусам кратных дуг соответственно.

1. Если f1 (x) = f (−x),		x (−l, 0),		f1(x)	f(x)
то f (x)= a0	∞				у
	+ ∑an cos nπ x		,
2	n=1	l

		x
-l	0	l

126					Лекции 15 - 16
где an	=	2 l	f (x)cos	nπ x	dx, x (0, l ), n =1, 2,...
		l ∫0
				l

		f1 (x) = − f (−x),				x (−l, 0),	У	f1(x)
2. Если
			∞	sin nπ x
то	f (x) = ∑bn				,
			n=1	l
b	= 2 l		f (x)sin nπ x dx,			x (0, l )
n	l	∫0		l
						- l	0	l

Пример:

Разложите f(x)=1, заданную на интервале (0,π), по синусам и хкосинусам кратных дуг.

Решение:

1). x (0, π ), l = π.

Продолжим f(x) на интервал (-π, 0) нечетным образом:

	y
	1
-π	x

0π

-1

тогда an = 0 ,

2

π

2

cos nx

π

2

(cosπn −1)=

bn =

∫0

1 sin nx

dx =−

n

= −

π

π

0

πn

0, если

п = 2k

четное,

= −

2

((−1)n −1)=

4

πn

π (2k −1) нечетное.

4

sin 3x

sin 5x

и

1 =

sin x +

+

+... =

π

3

5

Ряды Фурье

127

=4 ∑∞ 1 sin(2k −1)x :

πk =1 2k −1

2). Продолжим f(x) на интервал (-π,0) четным образом,

y

x

-π

0

π

тогда bn = 0

a0 =

2

π∫1 dx = 2,

π

0

2

π

2

sin nx

π

an =

∫0

1 cos nx dx =

0

= 0 и

π

π

n

∞

1 =1 + ∑0 cos nx =1.

n=1

16.4. Комплексная форма ряда Фурье

Ряд Фурье для функции f (x) с периодом 2l имеет вид:

		a	∞			nπ		nπ
	f (x)=	0	+ ∑ an		cos		x +bn sin		x	,
		2				l		l
			n=1

где

a

=

1

l

f (x)dx;

a

=

1

l

f (x)cos n

π x dx; b

=

1

l

f (x)sin

nπ

x dx .

0

n

l −∫l

l −∫l

l

n

l −∫l

l

Преобразуем его к комплексной форме с помощью формул Эйлера: