1060963_B9CC3_zinenko_s_n_lineinaya_algebra

№ 7.3.

Для квадратных матриц размера n вводятся определения, аналогичные операторным. Матрица I называется единичной, если

1 ... 0 ... 0

A I =I A=A,

A

= 1,

i = j

I =

0 ...

... 0

= δ

,

где δ

i j

- символ Кронекера.

i j

0, i ≠ j

0 ... 0 ... 1

Матрицы

A и

B называются обратными друг к другу, если

A B = B A = I B = A −1

Очевидно, единичному оператору в любом базисе {e }

отвечает единичная матрица

{e}

I →I

а паре взаимно обратных операторов взаимно обратные матрицы

B = A−1

{e

}

{e}

B = A −1

A →A, B→B

Взаимно обратным операторам D =

d

и D−1 =J= ∫x

в Pnλ

(λ > 0) в “родном” базисе {

xk

}

dx

k!

−∞

отвечают матрицы ( № 6.2. ), как нетрудно проверить (?!), взаимно обратные

−λ

+λ

1

0

0

+λ

−λ

+λ

−1

−1

−2

−3

−4

{e}

+λ−1

1

0

{e}

+λ−1

−λ−2

+λ−3

+λ−1

1

+λ−1

−λ−2

D→D

=

J →J

λ

=

λ

+λ−1

+λ−1

Замечание. В n −мерном пространстве полиномов Pn = Pn0 (λ = 0) дифференциальному

оператору D =	d	в “родном” базисе		{	xk	}	отвечает вырожденная матрица “сдвига вверх”
	dx				k!
				0			1
		{e}					0	1
								0	1
		D→D0 =
									0

Замечание. Матрицы

Dλ и Jλ

можно выразить через сдвиг

D0 .

Учитывая, что

D0

2 , D03, ... , D0n−1

- матрицы “сдвига вверх” на 2 , 3 , … , (n −1)

компонент, так что D0n =D0n+1 =...=0 , получим

∞

n−1

Dλ =(λI +D0 ) Jλ =Dλ−1=(λI +D0 )−1=λ−1 (I +λ−1D0 )−1=λ−1 ∑(−λ−1D0 )k =∑(−1)k λ−k−1D0k

k=0

k=0

Сравнить! с действием операторов D и J

λ

λ x

d

λ

λ x n−1

k

−k −1 d k

Dp

= e

(λp(x)

+

p(x)),

J p

= e

∑(−1)

λ

p(x)

dx

dxk

k =0

41

№ 7.4.

Из формул разложения определителя по элементам

i ой строки	j го столбца
n	n
∑ai k Aj k =det A δ i j	∑ak j Ak i =det A δ j i
k=1	k=1

следует, что если det A≠0 , то существует обратная матрица, равная

A −1 = det1 A A′

где A′ транспонированная матрица алгебраических дополнений:

		a11		... a1 j		... a1n
A =		ai1		... a i j		... ai n
		a		... a		... a
			n 1		n j		n n

			A	... A			... A
			11		1 j			1n
	=		A	... A		i j	... A		n
A			i1					i
			A	... A			... A
			n 1		n j			n n

A11 ... Ai1 ... An 1 A′ = A1 j ... Ai j ... An jA1n ... Ai n ... An n

1 1 −1

1 1 −1 −1

A

= −1 −2 3

A −1 = −1 −2 3

= ?

3 2 −4

3 2 −4

Построим матрицу алгебраических дополнений

–

+

−2 3

−1

3

−1 −2

+

2 −4

3

−4

3 2

1 −1

1

−1

1 ±1

2 5 4

2

2

1

A

=

–

+

–

=

±2

−1 1

A′ =

5

−

1

−

2

±2 −4

±3

−4

±3 2

4

1

−1

1

−2 −1

±1 −1

1

−1

1 1

+

–

+

−2 3

−1

3

−1 −2

Далее найдем определитель данной матрицы (одновременно сделав проверку)

			1 1 −1 2								2 1 3 0 0													1 0 0			det A = 3
A A′			= −1 −2			3			5	−1 −2			=		0			3			0			= 3	0 1 0
				3 2		−4			4		1 −1				0 0 3										0 0 1
Тогда
								2		2	1				2			2			1
			1		′	1									3			3			3
A	−1														5			1			2
		=			A	= 3		5	−1 −2				=	± 3			−	3		−
			det A																		3
								4		1	−1				4			1		−	1
																		3			3
															3

42

№ 7.5.

Обратную матрицу A −1 можно рассматривать как решение X матричного уравнения

A X = I

A x

1

, ... , x

k

, ... , x

= e

1

, ... ,e

k

, ... ,e

Ax

= e

n

n

k

k

Следовательно, k ый

столбец

xk

матрицы X есть решение неоднородной системы с

матрицей коэффициентов A и правой частью ek

Axk = ek

Решая полученные

системы

линейных

неоднородных

уравнений

методом

Гаусса

(полному), преобразуем матрицу

A

в

расширенных

матрицах систем A

e

в

k

единичную A~ I . Тогда правые части преобразуются в решения систем ek ~ xk . Следовательно, если построить объединенную расширенную матрицу

	A		e	, ... ,e		, ... ,e		= A			I
			1		k		n
и преобразовать методом	Гаусса			матрицу			A~ I		в единичную, то правая часть
I ~ X = A −1 преобразуется	в матричное решение:

	A		I ~		I		A −1

	1−2 0 2											1−2 0 2							1 0 0 0
A = −2 5 1−5								A		I =		−2 5 1−5							0		1 0 0	~
	2	−5 ±0 6											2 −5 ±0 6						0		0 1 0
	0 0 1 2												0 0 1 2						0		0 0 1
								0 ±0
1−2 0 2					1 0							1 0			2 0		5				2 0 ±0		1 0			0 −2			5	0 −2	0
	0	1 1−1		2		1	±0 0				~		0	1	1−1		2				1±0 0			0	1 0 −2				2	0 −1	0	~
~	0	−1 0 2		−2		±0		1 0				±0		±0	1 1		0			±1 1 0 ~			±0		±0	1 1			0	1 1	0
	0	0 1 2		±0		0		0 1					0	0	1 2		±0				0 0 1			0	0	0	1		0	−1 −1 1

	1 0			0	0		5	−2	−4 ±2					5 −2 −4 ±2
~		0	1 0		0		2	−2	−3 2	=	I		A −1 A −1	=	2 −2	−3 2
		0	0	1 0			0	±2							0 ±2	2 −1
									2 −1
		0	0	0	1		±0	−1	−1 1						0 −1	−1 1

43

№ 7.6.

Если

y = A x

и det A ≠ 0 , так что A −1 , то

A x = y A −1 A x = A −1 y I x = A −1 y x = A −1 y

y1

y2y3y4

=	x1		−2x2			+ x4
=	x1		− x2	+	x	+ x4
=−2x		1	+4x			− x
			2		3	4

=−2x1 +2x2 +2x3 + x4

y1			1−2			0	1 x1
y		=		1	−1 0		1 x			y = A x
y2			−2		4	1	−1 x2
y3				−2	2	2	1 x3
4							4

1−2 0 1

1−2 0 1

1 0 0 0

A =

1 −1 0 1

A

I

=

1

−1±0 1

0 1 0 0

~

−2 4 1−1

−2 4 1

−1

0 0 1 0

−2 2 2 1

−2 2 2 1

0 0 0 1

1−2 0 1

1 0 0 ±0

1 0 0

1

−1 2 0 ±0

1 0 0 1

−1 2 0 0

0 1 0 0

−1 1±0 0

~

0

1 0

0

−1 1±0 0

~

0 1±0 0

−1 1 0 0

~

0 0 1 1

2 ±0 1 0

±0

±0 1 1

2 ±0 1 0

±0 ±0 1 1

2 0 1 0 ~

0 −2 2 3

±2 0 0 1

0

0 2

3

0 2 0 1

0 0 0

1

−4 2 −2 1

1 0 0

0

3 0 2 −1

3 0 2 −1

~

0

1 0

0

−1 1±0 0

=

I

A −1 A −1 =

−1 1 0 0

0

0 1 0

6 −2 3 −1

6 −2 3 −1

0

0 0

1

−4 2 −2 1

−4 2 −2 1

x1

3 0

2 −1 y1

x1 = 3y1

+2 y3 − y4

−1

x

= −y

1

+ y

2

x = A

y

x

=

−1 1 0

0 y

2

x2

6

−2

3

−1 y2

x3

= 6 y1

−2 y2 + 3y3 − y4

x3

−4

2

−2

1 y3

4

4

=−4 y

+2 y

−2 y + y

x

1

2

4

4

3

Замечание. По существу решена задача нахождения для линейной вектор-функции с n компонентами от n неизвестных

y = f ( x)

обратной вектор-функции

x = f [ −1 ] ( y)

44

№ 7.7.

Решениями матричных уравнений

A X = C ,

Y B = C ,

A Z B = C

при условии невырожденности матриц A и B , являются матрицы

X = A −1 C ,

Y = C B −1 ,

Z = A −1 C B −1

1

2

3 5

0

3 4 X

=

2 1 0

X =

1 2

−1

3 5 0

1 2

−1

1

4 −2

1 4 −2

±3 4

±2 1 ±0

±3 4

=

14 −2 3 −3 1 =−

=

=

2 −3 1

=−1 4 −2

3 ±5 0

= −1 8 ±18 0

2 −3 1

2 1 0

2 −7 −14 0

1 2

1 −2

1 −2

1 2

−1

= −1

1 −2

4 −2

= − 1

10 −4

Y

=

3 5

Y =

3 5

3 5

−3 −1

3 4

0 0

0 0

3 4

2

0 0

−3 1

2

0 0

1 0

1 −2

1 0

3 1 Z

0 1

=

0 1

Z =

1 0

−1

1 0 1 −2

−1

1 0 −1

=

1 0

1 −2 −1

=

1 +2

=

3 1

0 1 0 1

=

+3 1

−3 1 ,

0 1

0 1

1 0

1 0 1 +2

1 0 1 +2 1 +2

=

−3 1

0 1

0 1

=

−3 1 0 1 = −3 −5

Замечание. Обратим внимание, как просто строится обратная матрица к “треугольной” (особенно, если на диагонали стоят единицы, гарантирующие невырожденность матрицы, и, в частности, определитель равный единице). Обратная матрица также “треугольная”. В то же время произведение двух “разно-треугольных” матриц есть некоторая произвольная, но с определителем равным единице.

		1 a b							1 a b −1									1 −a ac −b
A =			0	1 c			A−1 =			0		1 c				=			0	1 −c
			0	0	1					0		0 1							0	0	1
′			1	0	0				′		− 1					′			1	0	0
	=		a 1 0									=		A	−1		=		−a	1 0
A								(	A	)			(			)
			b c 1															ac −b −c 1

45

8. МАТРИЦА ПЕРЕХОДА К НОВОМУ БАЗИСУ.

ОБРАТНЫЙ ОПЕРАТОР

№ 8.1.

Построить

матрицу перехода

Τ

от

старого базиса { e }

к новому {

e }

в

пространстве

Pn

и

матрицу перехода

T от нового базиса

{ e }

к старому

{ e }.

Проверить, что

T =T −1

{e } ={x 0 , ... , xi −1,

... ,

xn −1 },

{e }={(x − x0 )0 , ... ,(x − x0 )j −1 , ... ,(x − x0 )n −1 }

{e } ={x0 , ... ,

xi −1,

... ,

xn −1 },

{e }={

x 0

,

... ,

x j −1

,

... ,

xn −1

}

0!

( j −1)!

(n −1)!

№ 8.2.

Найти

непосредственно

координаты

x , x

вектора

p Pn

в старом и новом

базисах ( № 8.1. ). Проверить справедливость формул

x = T x,

x = T x = T −1 x

№ 8.3.

Найти непосредственно матрицы D , D дифференциального оператора D =

d

dx

в старом и новом базисах ( № 8.1. ). Проверить справедливость формул

D =T D T −1,

D =T D T −1 =T −1 D T

№ 8.4.

Показать, что система векторов {

f } ={

f1, ... , f j ,

... ,

fn } Rn

образует

базис.

Найти матрицу перехода Τ от старого (канонического)

базиса {e }

к новому

{

f }.

Показать, что матрица перехода T от нового базиса {

f } к старому {e }

равна T =T −1 .

1

0

−2

0

f1 =

2

,

f2 =

1

,

f3 =

2

,

f4 =

0

R4

−1

0

−1

−1

1

1

−2

1

−1

1

0

0

f1 =

2

,

f2 =

−3

,

f3 =

2

,

f4 =

1

R4

2

−4

3

4

1

−1

0

−1

46

Теория

Пусть

{e } ={e1, ... , ei ,

... , en } ,

{e } ={ e1,

... , e j , ... , en } старый и

новый

базисы

пространства En .

Разлагая новый базис { e }

по старому { e }, составим из столбцов

координат t

j

векторов e

j

матрицу T = t

1

, ... , t

j

, ... , t

n

τ1 j

...

...

τ11

τ1 j

τ1n

{e}

e j

=τ

+

τ

i j ei

+ +τ

n j en

→

τ

=

t j

T

=

=

τ

i1

...

τ

i j

...

τ

i n

1 j e1 ...+

...

i j

t1, ... , t j , ... , tn

τ

τn 1

...

τn j

...

τn n

n j

называемую матрицей перехода от старого базиса к новому

{e }

T

}.

→{e

T

Аналогично строится матрица перехода T

от нового базиса к старому

{e }→{e }

τ1i

...

...

τ11

τ1i

τ1n

{e}

e

=τ

e

+

τ

e

+ +τ

e

→

τ

j i

=

t

T

=

t

, ... , t

, ... , t

=

τ

j1

...

τ

j i

...

τ

j n

i

...+

j i

j

...

n i

n

i

1

n

1i 1

i

τn i

τn 1

...

τn i

...

τn n

Матрицы Τ ,

T

связаны равенством:

n

n

n

n

n

n

n

e j =∑τk j ek =∑τk j (

∑τi k ei

)=∑(∑τi k τk j )ei =∑δi j ei

∑τi k

τk j =δi j

T T =I

k=1

k=1

i=1

i=1 k=1

i=1

k=1

n

n

τk i (

n

n

(

n

n

n

j k

k i

j i

T T = I

∑

τk i

∑

∑

τ j k e j

∑

∑

∑

δ j i ej

∑

τ

τ

=δ

ei =

ek =

)=

τ j k τk i )ej =

k=1

k=1

j=1

j=1 k=1

j=1

k=1

№ 8.1.

В пространстве Pn

(остановимся для простоты на случае n =5 ) рассматриваются базисы

{e } ={x 0 , x1, x2 , x3 , x4 },

{e}={(x −x0 )0 , (x −x0 )1, (x −x0 )2 , (x −x0 )3 , (x −x0 )4 }

Разложение вектора

e j

= (x − x0)j −1

по базису

{ e } ={ x0 ,

x1,

x2 ,

x3, x4 }

сводится к

применению формулы бинома Ньютона:

e

=(x

−x

)0

=

+1 x0 =+ 1 e

x

1

0

1

e

2

=(x

−x

)1

=

+1 x1 − x

0

x0 =− x

0

e + 1 e

2

x

0

1

e

=(x

−x

)2

=

+1 x2 −

2x

0

x1 + x

2

x0 =+ x

2

e

−2x

0

e

2

+ 1 e

x

3

0

0

0

1

3

e

4

=(x

−x

)3

=

+1 x3 −

3x

0

x2 +

3x

2

x1 − x3

x0 =− x3

e

+ 3x2

e

2

−3x

0

e

+ 1 e

4

x

0

0

0

0

1

0

3

e

=(x

−x

)4

=+1 x4

−

4x

0

x3 +

6x

2

x2 −

4x3

x1 + x

4

x0 =+ x

4

e

−4x3

e

2

+6x2

e

−4x

0

e

4

+1 e

x

5

0

0

0

0

0

1

0

0

3

5

+1

−x0

+x20

−x30

+x40

1 −x0

x20 −x30

x40

{e}

0

{e}

+1

{e} −2x0

{e}

+3x20

{e}

−4x30

0 1 −2x0

3x20 −4x30

e1 →

0

, e2 →

0

, e3 →

+1 , e4

→

−3x

0

, e5 →

+6x

2

T=

0

0

1 −3x

0

6x2

0

0

0

0

0

0

+1

−

4x

0

0 0

1 −

0

0 0

0

4x0

0

0

0

0

+1

1

47

Аналогично строится матрица перехода T от нового { e } базиса к старому {e }

e1 = x0 =((x −x0)+x0)0 e2 = x1 = ((x −x0)+x0)1 e3 =x2 =((x −x0)+x0)2 e4 = x3 =((x −x0)+x0)3 e5 =x4 =((x −x0)+x0)4

=+ 1 e1																x					2	x	3	4
=+ x0 e1 + 1 e2																		±1 ±x0			x0		0	x0
																x			0	1 2x0 3x			2	3
																							0	4x0
=+ x2	e	1	+	2x	0	e	2	+ 1 e								xT	=		0	0	1 3x		0	6x2
0											3													0
=+ x3	e	1	+	3x2		e	2	+	3x	0	e	+	1 e		4	x			0	0	0 1 4x0
0					0						3								0	0	0	0		1
=+ x4	e		+	4x3		e		+	6x2		e +4x			e		+1 e x
		1					2						0		4
0					0					0	3					5

Проверка равенства T T =T T = I проводится непосредственно.

№ 8.2.

Разлагая произвольный вектор a En по старому { e } и новому { e }											базису и учитывая
связь между ними
	n	n	n	n	n		)ei	n			n
a = ∑x j e j		= ∑x j (∑τi j ei )		= ∑(	∑τi j x j			= ∑xi ei		xi = ∑τi j x j
	j=1	j=1	i =1	i=1 j=1				i =1			j 1
											=
	n	n	n	n	n			n			n
							)e j
a	= ∑xi ei	= ∑xi (∑τ j i e j )		= ∑(	∑τ j i xi			= ∑x j e j		x j = ∑τ j i xi
	i =1	i=1	j=1	j=1 i =1				j=1			i=1
получим связь между координатами вектора
				x =T v x ,		x =T x =T −1x
В пространстве Pn			(остановимся для простоты на случае n =5 ) рассматриваются базисы
{e } ={x 0 , x1, x2 , x3 , x4 },				{e}={(x −x0 )0 , (x −x0 )1, (x −x0 )2 , (x −x0 )3 , (x −x0 )4 }
Тогда
Pn	p(x) =a 0 +a1 x + a 2 x2 + a3 x3 + a 4 x4 =

=a 0 +a1 ((x −x0 ) +x0 ) + a 2 ((x −x0 )+x 0 )2 + a3 ((x −x0 ) +x0 )3 + a 4 ((x −x0 ) +x0 )4 =

=a 0 + a1 ((x −x0 ) + x0 )

+a 2 ((x −x0 )2 + 2(x −x0 )x0 + x20 ) +

+a3 ((x −x0 )3 + 3(x −x0 )2 x0 + 3(x −x0 ) x20 + x30 ) +

+a 4 ((x −x0 )4 +4(x −x0 )3 x0 +6(x −x0 )2 x20 +4(x −x0 )x30 +x40 )=

= (a 0 + a1 x0 + a 2 x20 + a3x30 + a 4 x40 )(x −x0 )0 +

+(a1 + 2a 2 x0 + 3a3 x20 + 4a 4 x30 )(x −x0 )1 +

+(a 2 +3a3 x0 + 6a 4 x20 )(x −x0 )2 +

+(a3 + 4a 4 x0 )(x −x0 )3 +

+a 4 (x −x0 )4 =

=a0 + a1 (x −x0 ) + a2 (x −x0 )2 + a3 (x −x0 )3 + a4 (x −x0 )4

48

	a0
	a
{e}	1
p→ a		,
	2
	a
	3
	a
	4

\\

a0			a0 +a1x0 +
	a			a +
{e}	1			1
p→ a			=
	2
	a
	3
	a4

a2 x02 + a3x03 + a4 x04					1
2a2 x0 +3a3 x02 + 4a4 x03					0
a	+ 3a x	+6a x2		= 0
2	3 0	4 0			0
	a3 +4a4 x0
		a			0
		4

\\

\\

x	x2		x3	x04	a0
0	0		0	4x03	a1
1 ±2x		±	2
0	0		3x0	6x2		a
	1 ±3x
0	0		0	0		2
			1 ±4x0			a3
0	0		0	1		a
						4
	\\					\\

x x =

T x

=

T

x

Аналогично,

Pn p(x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + a3 (x − x0 )3 + a4 (x − x0 )4 =

=a0 + a1 (x − x0 ) +

+a2 (x2 − 2x x0 + x02 )+

+ a	(x3	− 3x2 x + 3x x2		− x3 )+
3		0	0	0
		+ a	(x4 − 4x3x		+ 6x2 x2	− 4x x3	+ x4 ) =
		4		0	0	0	0

= (a0 − a1 x0 + a2 x02 − a3 x03 + a4 x04 )x0 +

+ (a1 − 2a2 x0 + 3a3 x02 − 4a4 x03 )x1 +

+(a2 − 3a3 x0 + 6a4 x02 )x2 +

+(a3 − 4a4 x0 )x3 +

+a4 x4 =

= a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4

	a0
	a
{e}	1
p→ a		,
	2
	a
	3
	a
	4

\\

a0			a0 −a1x0 +
	a			a	−
{e}	1			1
p→ a			=
	2
	a
	3
	a
	4

a2 x02 − a3 x03 + a4 x04				+1 −x			x2	−x3	x04
2a2 x0 +3a3 x02 −4a4 x03						0	0	0	−4x03
					0	1	−2x0	3x2
a −	3a x +	6a x2				0		0	6x2
				= 0			1 −3x
2	3 0	4 0			0	0	0	0	0
	a3 −4a4 x0							1 −4x0
		a			0	0	0	0	1
		4

a0 a1

a2 a3

a4

\\

\\

\\

\\

x x =

T x

=

T

x

49

№ 8.3.

		{e}
		→Ax = y
A a = b		Ax = y = T y = T A x = T A T vx A = T A T = T A T −1
		{e }
		→ A x = y

В пространстве Pn (остановимся для простоты на случае n =5 ) рассматриваются базисы

{e } ={x 0 , x1, x2 , x3 , x4 },

{e}={(x −x0 )0 , (x −x0 )1, (x −x0 )2 , (x −x0 )3 , (x −x0 )4 }

Тогда

{→e}

d

(a + a x + a x2

+ a x3

+ a x4)=

d

dx

Dp =

0 1

2

3

4

p(x)

=

{e}

dx

d

(a0 + a1 (x − x0) + a2 (x − x0)

2

+ a3

(x − x0)

3

+ a4 (x − x0)

4

)=

→

dx

	0	1
	0	0
	0	0
	0	0
	0	0

== a1 + 2a2 x + 3a3x2 + 4a4 x3 =

= a1 + 2a2 (x − x0) + 3a3 (x − x0)2 + 4a4 (x − x0)3 =

== a1 + 2a2 x + 3a3x2 + 4a4 x3

=(a1 −2a2 x0 +3a3x02 −4a4 x03) + (2a2 −6a3x0 +12a4 x02)x + (3a3 −12a4 x0)x2 + 4a4 x3

0 0 0	a			1 a					a −2a x							+3a x2			− 4a x3								x	2	−x	3		x4			1 a
		0						1			1		2 0					3 0	4 0		+1−x											0								1
2 0 0							a2						2a2 −6a3x0						2						0		0		0				3					a2
																						0 1−2x
		a1				2			=										+12a4 x0		=								3x2 −4x0								2					=
				=														3a	−12a x			0 0						0	0				2
0 3 0 a				3 a														3	4 0									1−3x			6x				3 a
	a		2					3																						0		0			4					3
0 0 4				4			a												4a			0 0					0			1−4x								a
0 0 0		3						4											4			0 0					0		0				0								4
	a4							0											0													1							0
\\		\\					\\			=							\\				=							\\												\\
D			x =					y									T y											T												y
					1 −x0					x02 −x03						x04			0 1 0 0 0				a0
						0		1	−2x			3x	2	−	4x		3		0 0 2 0 0						a
											0
			=			0		0			1 −	0				0			0 0 0 +3 0						1		=
												3x			6x2										a
													0			0									2
						0		0			0	1 −4x							0 0 0 0 4				a
						0 0					0	0				0			0 0 0 0 0						3
																1							a4
											\\								\\						\\
			=								T								D						x
					1 −x0					x02 −x03						x04			0 1 0 0 0						1		x0		x02		x03				x04 a0
						0		1	−2x			3x	2	−	4x		3		0 0 2 0 0						0 1				2x		3x	2		4x		3				a
											0																		0
			=			0		0			1 −		0		6x		0		0 0 0 3 0						0 0						0				0						1
												3x					2												1 3x					6x		2				a
													0			0																0			0						2
						0		0			0	1 −4x							0 0 0 0 4						0 0 0						1 4x						a
						0 0					0	0					0		0 0 0 0 0																0						3
																1									0 0 0 0 1												a4
											\\								\\										\\											\\
			=								T								D										T = T −1													x

D =T D T −1

50