Роботы
.pdfзанное можно пояснить так: важно сначала повернуть объект, а затем доставить его в заданную точку или наоборот.
Подробнее эти ситуации будут рассмотрены на примерах расчетов конкретных кинематических структур.
2.3.2.Преобразования систем координат для кинематической структуры манипулятора ПР модели М20П.40.01
Координаты точки А в собственной системе координат звена 4 из-за отсутствия эксцентриситета в общем виде принимают значения: А4(0·соsφ4,0·sinφ4,L4) (рис. 2.4, б). Здесь величина L4, характеризует длину звена 4.
Для вычисления координат этой же точки, но в системе 0 необходимо найти законы перехода от системы 4 к системе 3, затем от 3й ко 2й и от 2й к 1й. Переход от системы 1 к системе 0 не требуется, поскольку в пункте 2.1.2. настоящего пособия было отмечено, что одноименные оси и точки начал этих систем совпада-
ют.
Начиная с перехода от 4й к 3й системе, заметим, что одноименные координатные вектора сонаправлены (рис. 2.11) и учет угловых смещений не требуется. Однако точки начал систем смещены друг относительно друга. Причем модуль этого смещения не постоянен, а зависит от обобщенной координаты s3, поскольку жестко связанная со звеном 3 система координат 4 поступательно перемещается при наличии движения в кинематической паре 3. Следует учесть, что при назначении собственных систем координат ось z3 была направлена вдоль поступательного движения, поэтому смещение точки начала системы 4 (точки В) на величину s3 происходит вдоль оси z. Это находит свое отражение в координатах точки B(0;0;s3) и описывается матрицей:
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 4 3 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
s |
. |
||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
При переходе от 3й ко 2й системе координат (рис. 2.12, а), заметим, что поступательное движение в паре 2 никоим образом не влияет на взаимную ориентацию осей указанных систем. Кроме этого, учтем, что из трех пар одноименные координатных векторов сонаправлены только х2 и х3, остальные же имеют угловое смещение, а также не совпадают точки начал систем координат, что говорит о наличии линейных смещений. Поскольку матрицы перехода учитывают лишь одно из смещений, то введем в рассмотрение вспомогательную систему координат x'y'z', начинающуюся в точке С. Данная система получается из системы х2у2z2 путем пере-
31
носа точки начала вдоль оси Оz на расстояние L2 (длина звена 2). Таким образом, переход от 3й ко 2й системе координат будет происходить не напрямую, а через вспомогательную систему x'y'z'.
Рис. 2.11. переход |
Рис. 2.12 Переход от системы 3 к системе 2 |
от системы 4 |
|
к системе 3
Итак, переход от 3й системы к x'y'z' происходит путем учета углового смещения первой относительно оси Ох второй системы на -90° (рис. 2.12, б). Математически это учитывается использованием матрицы поворота с аргументом α= -90°:
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
|
cos( 90 ) |
sin( 90 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
||
M3' |
0 |
sin( 90 ) |
cos( 90 ) |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
Переход от x'y'z' к системе 2 происходит путем учета линейного смещения первой относительно оси Oz второй системы на L2. Для учета линейных смещений достаточно найти координаты точки начала системы 3 (точки С) относительно системы координат 2 С(0;0;L2) и использовать следующую матрицу преобразования координат:
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
M |
2 |
' |
0 0 1 |
L |
. |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
Таким образом, для преобразования координат 3й системы в координаты 2й системы координат необходимо провести два действия, и матрица перехода в этом случае имеет вид:
32
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M3 2 |
M |
|
' M |
' |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
L |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
L |
. |
|||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Необходимо отметить, что в данном случае возможен и другой переход: сперва линейно перенести точку начала системы 3 в точку D, а затем повернуть на угол -90° (рис. 2.12, в). При таком порядке перехода изменится и последовательность матриц преобразования, однако результирующая матрица не изменится, поскольку, как упоминалось в п. 2.3.1, участвующие в этом переходе матрицы коммутируют между собой:
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M3 2 |
M |
|
' M |
' |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
L |
|
|
0 |
1 |
0 |
L |
. |
|||||
|
|
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этот пример показывает, что в некоторых случаях порядок преобразования систем координат может быть различным, однако и с точки зрения выполняемых действий, и с точки зрения математических операций результат будет одним и тем же.
Теперь перейдем к дальнейшим преобразованиям. Ротация в первой кинематической паре на угол φ1 приводит к угловому смещению первого и всех последующих звеньев манипулятора относительно стойки. Система координат 2 жестко связана со звеном 1, следовательно, и она будет иметь некоторое угловое смещение относительно оси z1 системы координат 1 (рис. 2.13, а). Кроме этого, в общем случае системы 1 и 2 имеют линейное смещение, обусловленное наличием обобщенной координаты s2, характеризующей перемещение во второй поступательной кинематической паре. Таким образом, при переходе от 2й к 1й системе координат необходимо учесть указанные смещения.
Рис. 2.13. Переход от системы 2 к системе 1
33
В этом случае, как и при переходе от 3й ко 2й системе через вспомогательную x'y'z', возможны 2 варианта. Далее будет более подробно рассмотрен один из них (рис. 2.13, б), второй же получается изменением порядка преобразований (рис. 2.13, в).
Итак, переход от 2й системы к x'y'z' происходит путем учета углового смещения первой относительно оси Oz второй системы на φ1. Математически это учитывается использованием матрицы поворота с аргументом α=φ1:
|
|
|
cos 1 |
sin 1 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
' |
sin 1 |
cos 1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
. |
||
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Переход от x'y'z' к системе 1 происходит путем учета линейного смещения первой относительно оси Oz второй системы на s2. Для учета линейных смещений достаточной найти координаты точки начала системы 3 (точки D) относительно системы координат 2 D(0;0;s2) и использовать следующую матрицу преобразования координат:
1 |
0 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
M1' |
0 0 1 |
s |
|
. |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
Таким образом, для преобразования координат 2й |
системы в координаты 1й |
|
|||||||||||||||||||||
системы необходимо провести два действия, и матрица перехода в этом случае име- |
|
||||||||||||||||||||||
ет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
cos 1 |
sin 1 |
0 |
0 |
|
cos 1 |
sin 1 |
0 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 2 1 M ' M |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
sin 1 |
cos 1 |
0 |
0 |
|
|
sin 1 |
cos 1 |
0 |
0 |
|
||||
|
' |
|
0 |
0 |
1 |
s |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
s |
|
|
|||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Еще раз отметим, что на основании совпадения точек начал систем коорди-
нат и сонаправленности одноименных осей переход от системы 1 к системе 0 излишен2.
2 Строго говоря, в этом случае матрица перехода будет единичной, что никак не скажется на преобразованиях.
34
Таким образом, для нахождения координат точки А (точки схвата) найдены все промежуточные матрицы перехода и для получения окончательного решения необходимо только правильно их расположить. Эта задача аналогична учету вспомогательной системы, поэтому матрица перехода от системы 4 к системе 0 получается в результате перемножения всех промежуточных матриц преобразования:
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 1 |
0 |
0 |
0 1 |
0 |
0 |
0 |
|
||||||
|
|
|
|
0 |
cos 1 |
sin 1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
M 4 0 |
M 2 1 M 3 2 M 4 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
sin |
cos |
s |
|
|
0 |
1 |
0 |
L |
|
0 |
0 |
1 |
s |
. |
|||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Выражение A0 M4 0 |
A4 для нахождения координат точки А относительно |
|
системы 0 в развернутом виде выглядит следующим образом:
x |
|
|
cos |
||
|
A |
|
|
1 |
|
yA |
|
sin 1 |
|||
z |
|
|
0 |
||
|
|||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
sin |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 cos |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
cos 1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 sin 4 |
|
||
0 |
1 |
s |
|
|
0 |
1 |
0 |
L |
|
0 |
0 |
1 |
s |
|
L |
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, прямая задача о положениях решена, поскольку найдено уравнение, связывающее постоянные (длины звеньев) и переменные (обобщенные координаты) параметры кинематической структуры манипулятора ПР с координатами точки схвата.
Последнее, о чем хотелось бы упомянуть в этом пункте связано с многовариантностью преобразования соседних систем координат. В целях повышения единообразия решения прямой задачи о положениях рекомендуется сначала выполнять операции учета линейных смещений, а затем - угловых.
2.3.3. Преобразования систем координат для кинематической структуры манипулятора ПР модели М10П.62.01
Координаты точки А в собственной системе координат звена 4 из-за отсутствия эксцентриситета в общем виде принимают значения: A4(0·cosφ4,0·sinφ4,L4) (рис.2.4). Здесь величина L4 характеризует длину звена 4. Для вычисления координат этой же точки, но в системе 0 необходимо найти законы перехода от системы 4 к системе 3, затем от 3й ко 2й, от 2й к 1й и от 1й к 0й, которые математически описываются с помощью матриц.
Начиная с перехода от 4й к 3й системе, заметим, что точки начал указанных систем не совпадают, что свидетельствует о наличии линейных смещений. Кроме этого, оси y4 и у3 сонаправлены, в то время как остальные имеют угловое смещение (рис. 2.5). Для описания перехода учтем указанные факторы.
35
Величины линейных смещений совпадают с координатами точки В относительно системы 3: B(L3,0,0) (рис. 2.14, а). Угловое же смещение происходит вокруг оси у на угол 90°.
В этом случае также возможны варианты последовательности преобразования (рис. 2.14, б-в). Рассмотрим последовательность3, изображенную на рис. 2.14, б. В этом случае матрица перехода получается перемножением матриц перемещения вдоль оси х и поворота вокруг оси у:
Рис. 2.14. Переход от системы 4 к системе 3.
|
|
1 |
0 |
0 |
L |
|
|
|
cos(90 ) |
0 |
sin(90 ) |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
M 4 3 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
sin(90 ) |
0 |
cos(90 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
1 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
1 0 |
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
При переходе от 3й ко 2й системе координат (рис. 2.15, а), заметим, что поступательное движение в паре 3 происходит вдоль сонаправленных осей z2 и z3 и влияет лишь на линейное смещение точек начал указанных систем вдоль оси z. В то же время обобщенная координата φ2 влияет не только на угловое смещение осей х и у этих двух систем, но и на координаты точки начала системы 3 относительно систе-
мы 2.
В данном случае при преобразовании систем координат рассмотрим следующие варианты: во-первых можно ввести в рассмотрение воображаемое звено дли-
|
|
|
|
arctan(L / R ) |
|
ной L' R2 |
L2 |
, отклоненное от элемента R2 на угол |
|||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
(рис.2.15, б); во-вторых можно ввести вспомогательную систему координат в точке
излома R2-L2 звена 2 (рис. 2.15, в).
Начнем с первого варианта. Величины линейных смещений системы 3 относительно системы 2 найдем с помощью координат точки С(L' cos( 2 ), L' sin( 2 ), s3 ).
3 В дальнейшем при наличии несколько вариантов будет рассматриваться только один. Учитывающий сначала линейные смещения, а затем – угловые.
36
Рис. 2.15 Переход от системы 3 к системе 2.
|
1 |
0 |
0 |
L' cos( 2 |
) |
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
L' sin( 2 |
) |
|
M |
0 |
0 |
1 |
s3 |
. |
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
Для завершения перехода между системами необходимо учесть угловое смещение на величину (φ2+π/2) вокруг оси z, что описывается матрицей:
|
|
|
cos( 2 |
/ 2) |
sin( 2 |
/ 2) |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
' |
|
sin( 2 |
/ 2) |
cos( 2 |
/ 2) |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Полный переход от системы 3 к системе 2 происходит с помощью матрицы:
|
|
|
cos( 2 |
/ 2) |
sin( 2 |
/ 2) |
0 |
L' cos( 2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
3 2 |
M M ' |
sin( 2 |
/ 2) |
cos( 2 |
/ 2) |
0 |
L' sin( 2 |
) . |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
s3 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Теперь рассмотрим второй вариант. Введем вспомогательную систему координат x2' y2' z2' на изломе R2- L2 звена 2. Оси этой системы сонаправим с одноименными координатными векторами системы 3. Тогда переход от системы 3 к x2' y2' z2' происходит с помощью матрицы учета линейных смещений:
37
1 |
0 |
0 |
L |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
M |
0 |
0 |
1 |
s |
. |
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
В свою очередь, переход от координат системы x2' y2' z2' к координатам системы
2 происходит путем учета линейных смещений вдоль осей х и у на величины R2 cosφ2 и R2 sinφ2 соответственно. Кроме этого, необходимо учесть угловое смещение вокруг оси z на величину (φ2+π/2). В результате проведения указанных операций получим матрицу:
|
|
|
cos( |
|
/ 2) |
sin( |
|
/ 2) |
0 |
R cos |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
M |
' |
|
sin( 2 |
/ 2) |
cos( 2 |
/ 2) |
0 |
R2 sin 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полная конвертация координат системы 3 в координаты системы 2 при таком варианте происходит с помощью матрицы:
|
|
|
cos( |
|
/ 2) |
sin( |
|
/ 2) |
0 |
R cos |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
L |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
M M |
' |
M |
sin( 2 |
/ 2) |
cos( 2 |
/ 2) |
0 |
R2 sin 2 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
0 0 1 |
s |
|
||||||
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
0 0 0 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует отметить, что в приложении 2 приведен именно последний вариант преобразования координат.
Переход от 2й к 1й системе координат (рис. 2.16, а) происходит с помощью учета постоянного линейного смещения на величину L1 (длина звена 1) вдоль оси z, а также учета угловых смещений, одно из которых получается из-за перпендикулярности осей вращательных кинематических пар 1 и 2 (оно постоянно), а другое обеспечивается обобщенной координатой φ1. Для удобства пояснения хода преобразований введем в рассмотрение две вспомогательные системы x'y'z' и x"y"z", начинающиеся в точке D. Причем координатные вектора первой из них сонаправлены с одноименными в системе 1 (другими словами система x'y'z' получается путем линейного смещения системы 1). Система x"y"z" получается путем поворота системы x'y'z' вокруг оси z на угол φ1. И наконец, система координат 2 получается из системы x"y"z" поворотом последней вокруг оси у на 90°.
Начнем по порядку с перехода от системы 2 к системе x"y"z". Матрица, учитывающая угловое смещение вокруг оси у на угол 90°,обусловленное перпендикулярностью осей вращения кинематических пар 1 и 2, имеет вид:
38
Рис. 2.16 Переход от системы 2 к системе 1.
|
|
|
cos(90 ) |
0 |
sin(90 ) |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'' |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
M |
|
|
sin(90 ) |
0 |
cos(90 ) |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Далее для перехода от системы x"y"z" к системе x'y'z' необходимо учесть переменное угловое смещение, обусловленное наличием обобщенной координаты φi, регламентирующей угол ротации в кинематической паре 1. Как было указано выше ротация происходит вокруг оси z, следовательно, матрица примет вид:
|
|
cos 1 |
sin 1 |
0 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
' |
sin 1 |
cos 1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
И наконец, последний переход от x'y'z' к линейно смещенной системе 1. Координаты точки D(0;0;L1), значит без лишних раздумий ясна необходимость использования следующей матрицы:
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
||||
M |
0 |
0 |
1 |
L |
. |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
Окончательно переход от координат в системе 2 к их аналогам в системе 1 получается при использовании расширенной матрицы преобразования, полученной при перемножении матриц промежуточных переходов.
39
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
cos 1 |
sin 1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
2 1 M M |
' |
M |
'' |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
sin 1 |
cos 1 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
L |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последний переход от 1й к 0й системе координат (рис. 2.17) не столь сложен как предыдущий: достаточно учесть лишь угловое смещение вокруг оси х на угол -90°. Линейное смещение отсутствует, поскольку точка О общая для указанных систем и ее координаты в системе 0 примут вид: О(0;0;0). Последнее означает, что матрица линейных смещений выродится в единичную и никоим образом не повлияет на ход преобразования систем координат.
Рис.2.17. Переход от системы 1 к системе 0. Следовательно, матрица перехода имеет вид:
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
||||
|
|
0 |
cos( 90 ) |
sin( 90 ) |
0 |
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
M1 0 |
|
0 |
sin( 90 ) |
cos( 90 ) |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Окончательно имеем матрицу преобразования координат от собственной системы схвата манипулятора к неподвижной системе, связанной со стойкой робота:
M4 0 M1 0 M2 1 M3 2 M4 3.
Развернутый вид последнего матричного уравнения довольно громоздок и в целях сокращения объема выкладок приводиться не будет. А конечное выражение преобразования координат точки схвата манипулятора к системе стойки робота имеет вид:
A0 M4 0 A4
В общем случае координаты, содержащиеся в векторе А0 являются функциями от всех обобщенных координат кинематической структуры, а от размеров звеньев.
40