Krylov_N_N__red_Nachertatelnaya_geometria

Рис. 252

и р. Очевидно, что отрезки MF и МА касаются сферы, а потому их длины равны. Но MA=MN, так как их првекции на ось конуса совпадают и каждый из них составляет с осью конуса угол 9.

Следовательно, сечение конуса плоскостью, параллельной одной из его образующих, представляет собой множество точек, равноудаленных от данной точки F и данной прямой d, т. е. является параболой с фокусом F и директрисой d.

Доказанные выше утверждения будут справедливы и для наклонного конуса, кругового или эллиптического, т. е. для конуса, поверхность которого в декартовых координатах выражается алгебраическим уравнением второй степени.

Некоторые примеры практического при-

110

ний показано на рис. 255, где прежде всего были определены высшая / и низшая 2 точки. Для этой цели через ось конуса проведена плоскость о, перпендикулярная горизонтали h, а значит, и секущей плос-

кости а	(ЛИ/)-
Плоскость а, являясь о б щ е й		п л о с -
к о с т ь ю	с и м м е т р и и . и для	конуса и

для секущей плоскости а, пересечет а по прямой т — оси симметрии искомого сечения. Симметричные сами себе высшая и низшая точки фигуры сечения определяются пересечением прямой т с теми образующими S/4 и SB, по которым плоскость а пересекает конус. Затем с помощью вспомогательной плоскости р || Пг построены точки 3 н 4, расположенные на очерковых образующих. Далее определяют промежуточные точки, в которых прямолинейные образующие конуса пересекаются с плоскостью а. На рис. 255 в качестве примера построена точка 5, принадлежащая образующей SC.

§ 50. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ Л И Н И И С ПОВЕРХНОСТЬЮ

Поставленную четвертую позиционную задачу будем решать аналогично тому, как решается задача на пересечение прямой линии с плоскостью:

1) заключаем линию / в некоторую поверхность Л (рис. 256);

2) строим линию т пересечения данной и вспомогательной поверхности т = Ф("|Л; 3) определяем искомую точку К пересе-

менения поверхностей, образующими которых являются конические сечения, были приведены в § 42. Построение ортогональных проекций одного из конических сече-

111

чения линии / и т (точка может быть и не единственная).

В качестве вспомогательной поверхности Л целесообразно использовать проецирующую цилиндрическую поверхность, направляющей которой должна служить заданная линия, а прямолинейными образующими — проецирующие прямые. В таком случае второй этап решения настоящей задачи будет сведен к задаче 1, рассмотренной в § 48.

Если линией I является прямая или плоская кривая, расположенная в проецирующей плоскости, то вспомогательной поверхностью Л может быть плоскость.

На рис. 257 дано эпюрное решение задачи на пересечение плоской кривой I с конической поверхностью Ф, представленной линейчатым каркасом.

Здесь через I проведена фронтально проецирующая плоскость а, которая пересекает поверхность Ф по линии т. Проекции искомой точки обозначены через Кi и Кг- Итак, в общем случае решение основывается на уже построенном каркасе поверхности. Лишь в некоторых частных случаях вспомогательную поверхность удается подобрать так, что наличие каркаса заданной поверхности для решения задачи становится ненужным.

Приведем некоторые примеры.

Пересечение прямой с конической и цилиндрической поверхностями. На рис. 258 коническая поверхность задана вершиной и направляющей п, расположенной в плоскости Г1. В качестве вспомогательной поверхности возьмем такую плоскость а, которая включала бы данную прямую I и пересекала коническую поверхность по образующим. Очевидно, что такая плоскость определяется прямой I и точкой S — вершиной конической повер-

хности. Построив с	помощью точек М =
= S/4fin и N = l(]U	прямую р = аПП, от-

метим ее пересечения с направляющей n(B=pf\n, C = pf\n). Остается провести те образующие SB и SC, которые, пересекаясь с заданной прямой /, определяют искомые точки K = lf\SB и Z, = if)SC. Те же обозначения даны в решении этого примера на эпюре рис. 259.

Изложенная методика решения данной задачи приложима и к случаю, когда дана цилиндрическая поверхность (ее вершина является несобственной точкой пространства). Вспомогательная плоскость при этом определяется двумя пересекающимися прямыми, одна из которых — данная, а вторая — параллельна образующим цилиндрической поверхности.

На следующем рис. 260 построены точки К и L, в которых прямая I пересекает сферу с центром С. Для того чтобы избежать построения на Пг проекции окружности — сечения сферы вспомогательной плоскостью а ( о 1 П | ) , задача решена с помощью способа замены плоскостей проекций. Положение новой плоскости П4 отвечает следующим условиям: П4-1_П1 и П4||/. В результате этого плоскость а стала параллельной вспомогательной плоско-

S

Рис. 258

112

Рис. 260

сти II4 и	линия т (т 4 )	сечения плоскости
и сферы	проецируется	на П4 без искаже-
ния.
§ 51. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ		ПОВЕРХНОСТЕЙ

Рассмотрим теперь пятую позиционную задачу — задачу построения линии пересечения поверхностей.

В общем случае решение этой задачи может быть сведено к предыдущей,

т. е. искомая линия определяется как множество точек пересечения линий каркаса первой поверхности Ф1 со второй Ф2. Последовательно перебирая образующие /', /2, 1\ ... каркаса одной поверхности, необходимо найти точки А, В, С, ... , в которых эти образующие пересекаются со второй поверхностью (рис. 261).

Реализация этой методики связана с трудоемкими построениями, которые в некоторых случаях удается избежать. Речь идет о тех случаях пересечения поверхностей, когда линии их каркаса попарно расположены на общих плоскостях или сферах.

Так, показанные на рис. 262 линии / и т , принадлежащие соответственно каркасам

113

поверхностей Ф1 и Ф2, расположены на одной плоскости а и определяют точки / и 2 искомой линии.

Построение таких каркасов легко осуществить в некоторых случаях пересечения линейчатых и циклических поверхностей, которым посвящены следующие два параграфа.

§ 52. СПОСОБ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Этот способ рекомендуется применять, если сечениями заданных поверхностей одной и той же плоскостью являются прямые линии или окружности. Такая возможность существует в трех случаях:

1. Если образующие (окружности) двух циклических поверхностей расположены

вобщих плоскостях уровня.

2.Если в общих плоскостях уровня оказываются прямолинейные образующие линейчатой поверхности и окружности циклической.

3.Линейчатые каркасы заданных поверхностей принадлежат общим плоскостям уровня или пучкам плоскостей общего положения.

Рассмотрим примеры.

Пример I. Пересечение циклических поверхностей, образующие которых (окружности) расположены в общих плоскостях уровня.

Пусть заданы две поверхности Ф1 и Ф2, первая из которых коническая *, вторая циклическая (рис. 262 и 263). Обе поверхности ориентированы так, что окружности их каркасов расположены в плоскостях, параллельных П2.

На рис. 262 и 263 показана только одна пара таких окружностей / и т, располо-

женных в	плоскости а.	Их общие точки
1 и 2 (1 =	lf\m, 2 = lf]m)	принадлежат ли-

нии пересечения заданных поверхностей. Переходя к другим парам окружностей, аналогично получают остальные точки искомой линии.

Пример 2. Пересечение сферы и эллиптического цилиндра.

*Коническая поверхность вращения представляет собой частный случай циклической.

**На рис. 265 — 267 вспомогательные секущие плоскости а следует считать прозрачными.

В данном примере вспомогательные плоскости уровня могут быть параллельными плоскостям П2 или IIj. В первом случае (рис. 264) фронтальные плоскости пересекают сферу по окружности, а цилиндр — по прямолинейным образующим. Одна из таких плоскостей представлена своим горизонтальным следом а,, а линии ее пересечения с заданными поверхностями обозначены через 1(1^, /2),

т 2 ) и л(л1( л2). Точки 1 = lf]m и 2=1 f\n принадлежат искомой кривой.

Нетрудно заметить, что плоскости, параллельные П1; пересекали бы каждую поверхность по окружностям.

Пример 3. Пересечение конических и цилиндрических поверхностей.

Пусть заданы две конические поверхности, вершинами которых являются точки S и S1 (рис. 265)**, а направляющими служат соответственно линии л и т , расположенные в одной плоскости П. Их линейчатые каркасы следует создавать с помощью пучка плоскостей, носителем которого должна быть прямая /, соединяющая вершины S и S1. Одна из них, плоскость а (см. рис. 265), пересекает данные поверхности по образующим (линиям каркаса) SM1, S^M2, Б1МЪ, точки 1 и 2 пересечения которых и принадлежат искомой линии.

Аналогично, с помощью пучка плоскостей строят и линии каркаса при пересечении конической Ф2 и цилиндрической Ф1 поверхностей (рис. 266). Ось I пучха в этом случае проходит через вершину S конуса параллельно образующим цилиндра. Через М1, М2. М3 обозначены точки пересечения следа плоскости осп с криволинейными направляющими т и п .

Наконец, если обе поверхности цилиндрические, то их линейчатые каркасы создают с помощью плоскостей, параллельных образующим как первой, так и второй поверхности. Направление следа ап ( а п = а ° П П) таких плоскостей устанавливают построением плоскости параллелизма а0 (рис. 267), которая определяется двумя пересекающимися в произвольной точке К прямыми КМ и КМ0, соответст- 1 венно параллельными образующим поверхностей Ф1 и Ф2. Вспомогательные плос-

. кости должны быть параллельны плоско- ] ста а0. На рис. 267 показана одна из таких

114

^ а2 я 1г а тг

Рис.

Рис. 266

					Рис. 267
					§ 53. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ
					ВРАЩЕНИЯ И ЦИКЛИЧЕСКИХ
					Пересечение соосных поверхностей вра-
					щения (рис. 268). Если оси поверхностей
					вращения совпадают, то линиями их пе-
плоскостей а||а°. Ее	след а п	пересекает			ресечения могут быть только общие па-
криволинейные направляющие		т	и п	за-	раллели (окружности), которые описыва-
данных поверхностей	в точках		М 1 ,	М 2 ,	ют точки пересечения меридианов задан-
Л/3 и М*.					ных поверхностей. На рис. 268 таких точек

115

				Pt	\ i
		\			/
		\	V	d J	/
		^\			J
/ 7 7 ,					/
			Чг
			Рис. 268
две: М =	т П " ,		N =	mfln,	и столько же со-
ответствующих			им	линий	пересечения —
Р (Рг) и q	Ы-
Пересечение			поверхностей вращения,

оси которых имеют общую точку (способ концентрических сфер).

Применению метода концентрических сфер должно предшествовать такое преобразование чертежа, в результате которого оси обеих поверхностей должны быть расположены параллельно одной и той же плоскости проекций или одна из осей ста-

новится проецирующей прямой, а	вто-
рая — линией уровня.
Пример, соответствующий первому	слу-

чаю, представлен на рис. 269, где даны проекции поверхностей Ф1 и Ф2 на плоскость Пг, параллельную их осям, П е р е с е - к а ю щ и м с я в точке С. Эта точка и принимается за центр всех вспомогательных концентрических сфер, на каждой из которых будут расположены по две окружности — линии каркаса поверхностей Ф! и Ф2.

Действительно, каждая из сфер, будучи соосной и с Ф', и с Ф2, пересечет заданные поверхности по окружностям. Их проекции на Пг представлены прямыми линиями. Так, на рис. 269 прямые т2 и п2 являются фронтальными проекциями тех параллелей, по которым сфера радиуса R пересекает Ф1 и Ф2.

Точка 32 пересечения проекций построенных параллелей принадлежит проекции искомой линии. Аналогично найдена точка /2 . Следует только заметить, что прямая q2 представляет собой проекцию на П2 линии касания поверхности Ф1 и сферы радиуса /?min. Пересечение главных меридианов определяет крайние точки 52 и 62. На том же

Рис. 270

чертеже показано, как с помощью горизонтальных проекций параллелей поверхности Ф1 можно построить горизонталь-

116

ные проекции найденных точек (см. горизонтальные проекции точек 3 и 4).

В качестве второго примера на применение способа концентрических сфер рассмотрим пересечение поверхностей вращения Ф1 и Ф2 (рис. 270-), ось первой из которых является горизонтально проеци-

рующей	прямой (t'_LIIi), а ось i2		кониче-
ской	поверхности — линией		уровня
('а II Hi).
Точки	/	и 2 искомой линии построены
с помощью		сферы радиуса R с	центром

вточке C = t' f]i'2.

Эта сфера пересекает поверхность Ф1 по

окружности л радиуса г, а коническую поверхность Фг — по окружности т, которая показана только на горизонтальной проекции (прямая т\).

Пересечение горизонтальных проекций окружностей п.\ и т\ определяют проекции 1\ и 2\ точек искомой линии. Их фронтальные проекции /2 и 2г построены на пере-

сечении л2	с линиями проекционной
связи.
Изменяя	радиус R вспомогательной

сферы, создают новые пары окружностей каркасов заданных поверхностей и аналогично определяют остальные точки линии пересечения.

Пересечение поверхности вращения и циклической, линия центров которой расположена в общей плоскости симметрии заданных поверхностей.

Если две циклические поверхности, одна из которых является поверхностью вращения, имеют общую плоскость симметрии, включающую линию центров циклической

поверхности, то .линия		их пересечения	мо-
жет быть	построена	с п о с о б о м	эк-
с ц е н т р и ч е с к и х с ф е р .
Рассмотрим сущность этого способа на
примере	пересечения	цилиндрической
поверхности Ф1 и		циклической	Ф2

(рис. 27Г).

Обе поверхности имеют общую плоскость симметрии, в которой расположены ось цилиндра i, линия центров циклической поверхности и точки 1 и 2, принадлежащие очерковым линиям.

Покажем, что можно построить сферы, каждая из которых пересечет заданные поверхности по окружности.

Прежде всего выделим из каркаса циклической поверхности одну окружность

Рис. 271

(ее фронтальная проекция на рис. 271 обозначена через т2).

Центры всех сфер, которые можно провести через эту окружность, будут расположены на прямой р (pi), проходящей через центр С (С2) рассматриваемой окружности перпендикулярно ее плоскости а.

Прямая р, находясь в общей плоскости симметрии, пересечет ось / цилиндра в точке О (Ог) — центре той вспомогательной сферы радиуса R, на поверхности которой окажутся две окружности: выделенная из каркаса циклической поверхности и параллель л (п2) цилиндра.

Обе окружности, находясь на одной сфере, в общем случае пересекаются в двух точках 3 и 4. Их фронтальные проекции 32 и 42 окажутся совмещенными с точкой пересечения проекций т2 и п2 окружностей — линий каркаса поверхностей Ф' и Ф2.

Переходя к следующим окружностям каркаса циклической поверхности и повторяя описанное выше построение, можно получить множество точек, принадлежащих искомой линии пересечения рассматриваемых поверхностей. Заметим, что центры всех вспомогательных эксцентрических сфер будут расположены на оси поверхности вращения.

§ 54. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, декартовы координаты которых удовлетво-

117

ряют алгебраическому уравнению второй степени.

Это уравнение можно записать в следующем виде:

а, ,д:2 + а22у2	+ a33z2 + 2аi2xy	+	2а, 3xz	+
-\-2a23yz +	alx-\-a2y-\-a3z	+	a = 0.	(9.1)

Две поверхности второго порядка в общем случае пересекаются по пространственной линии четвертого порядка, которую называют б и к в а д р а т н о й кри -

во й .

Внекоторых частных случаях биквадратная кривая распадается на две плоские кривые второго порядка, причем одна из них может быть мнимой.

Опуская доказательства *, приведем некоторые теоремы и примеры, иллюстрирующие их применение.

Теорема			1. Если две поверхности		второ-
го порядка			пересекаются	по одной	плоской
кривой,		то существует		и другая	плоская
кривая,		по	которой они	пересекаются.
Рассмотрим пример, к которому прило-
жима	эта		теорема.
На	рис.		272 изображены фронтальные

проекции Ф2 сферы Ф и 6г эллиптического цилиндра в , имеющих общую окружность m (m2) с центром О (Ог).

Плоскость а, определяемая центром С сферы и осью i цилиндра, является плоскостью симметрии заданных поверхностей (о || Пг).

Общая окружность радиуса г — это одна из плоских кривых второго порядка распавшейся линии пересечения. Остается построить вторую кривую, плоскость ct которой должна быть в условиях данного примера перпендикулярна плоскости симметрии а, а следовательно, и П2 (a -L Пг).

Вторая линия пересечения (окружность) спроецируется на П2 в виде отрезка прямой л2. Для его построения следует воспользоваться точками Аг и Вг, принадлежащими очеркам заданных поверхностей.

Теорема 2 (о двойном касании) **. Если

*С доказательством можно ознакомиться по книге [20].

**Две поверхности, имеющие в общей точке общую касательную плоскость, называются с о-

пр и к а с а ю ш и м и с я . Поверхности, соприкасающиеся в двух точках, имеют двойное касание.

две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках А и В, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка, плоскости которых проходят через отрезок прямой АВ, соединяющей точки касания.

Например, по двум окружностям т и п пересекается сфера Ф с поверхностью эллиптического цилиндра 9, изображенные на рис. 273. Точки касания и касательные плоскости обозначены соответственно через А, В, а э Л , р э В . Окружности, на которые распалась линия пересечения по-

верхностей, расположены		во фронтально
проецирующих	плоскостях	у э т	и б э я .
Только что	рассмотренному		примеру

можно дать иное содержание, поставив следующую задачу: при заданном направлении световых лучей определить границу освещенной части внутренней поверхности Ф сферической чаши (рис. 274).

Световые лучи, проходящие через экватор m сферической чаши, образуют линейчатую поверхность эллиптического цилиндра в, который касается полусферы Ф в точках Л и В.

Ф,

Рис. 273

Рис. 274

Как и в предыдущих примерах, а Э / 4 , р э В — общие касательные плоскости поверхностей Ф и в , а т е | и n e S — две кривые, на которые распалась линия пересечения. Одна из них, а именно полуокружность л, и служит искомой границей освещенной части сферической поверхности.

Теорема 3		(теорема			Г. М о н ж а ) .				Если
две	поверхности		второго		порядка			описаны
около третьей или вписаны в нее,							то линия
их	пересечения		распадается			на	две		плос-
кие	кривые	второго		порядка.			Плоскости
этих кривых		проходят		через		прямую,			сое-
	Проекция линии				Проекция			линии
	касания Iокрум-				касания			(окруж-
	насты сферы				ность) сферы
	и цилиндра				и	конуса

Рис. 258

Рис. 276

диняющую точки пересечения линий	каса-
ния.
В соответствии с этой теоремой	линии

пересечения конуса и цилиндра, описанных около сферы (рис. 275), будут плоскими кривыми — эллипсами, фронтальные проекции которых изображаются прямыми

А2В2 и C2D2.

Теорема Монжа находит эффективное применение при конструировании трубопроводов. Возможность вписывания сферы в цилиндры одинакового диаметра позволяет очень быстро запроектировать их пересечение (рис. 276).

Теорема 4. Если			две поверхности		второ-
го порядка		имеют	общую	плоскость сим-
метрии,	то линия		их пересечения		проеци-
руется	на эту плоскость			в виде	кривой
второго	порядка.
Примеры,		где	выполняются		условия

этой теоремы, представлены на рис. 277 и 278. На первом из них общая плоскость симметрии о определена осью параболоида вращения и центром сферы. Плоскости а принадлежат и симметричные сами себе высшая 1 и низшая 2 точки искомой линии, проекция которой на плоскость П2(Пг||а) является параболой. Промежуточные точки 3, 4, 5 и 6 найдены с помощью параллелей, расположенных в горизонтальных плоскостях а1 и а2 .

Аналитическое описание проекции линии пересечения поверхностей второго порядка приведем для случая, представлен-

ного на рис.	278, где начало координат
О системы хуг	совмещено с центром сфе-

119