КР_мат_ан_2_курс( у меня 27 вар)

1

1

e

1

1.

Изменить порядок интегрирования: dx

f x; y dy dx f x; y dy .

0 1 x2

1

ln x

2.

Вычислить

площадь

области

D ,

ограниченной

указанными

линиями:

y2 8x 16; y2 24x 48 .

3.

Вычислить тройной интеграл:

27 54 y3 dx dy dz , где V : y x; y 0; x 1; z 0; z

xy

V

.

4.

Вычислить координаты центра масс однородного тела V , заданного указанными

поверхностями: y2 z2

x; y2 z2 9; x 0 .

5.

Вычислить

массу

тела

V ,

ограниченного

следующими

поверхностями:

x2 y2 z2

9; x2 y2

4; y 0 , если поверхностная плотность тела

2z .

6.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода: x2 y xy dl , где

- ломаная ABC ,

A 0;0 ; B 3;0 ; C 0;3 .

7.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по формуле Грина:

xy2 dx

3

x2 ydy , где

2

- контур треугольника ABC ,

A 0;0 ; B 1; 2 ; C 1;1 .

y3

8.

Найти

угол

между градиентами

скалярных

полей u

и

v

2

3

6

в точке

x2 z

x

2 y

4z

2

3

1

M

;

;

.

3

2

2

9.

Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности

S

5x y z dS , где

S

S - часть плоскости P : x 2y 2z 2 , отсеченная координатными плоскостями.

10. Найти циркуляцию векторного поля

a :

a 3x y i 2y z j 2z x k

по контуру

треугольника, полученного в результате

пересечения

плоскости

P : 2x 3y z 6

с

координатными плоскостями.

Контрольные вопросы

1.Что называется тройным интегралом?

2.Формула Стокса.

3.Физические приложения поверхностного интеграла второго рода.

Вариант 79

1.

Вычислить

площадь

области

D ,

заданной

указанными

линиями:

y x2 2x; x 1; x 1; y 0 .

2.

Вычислить массу пластики

D , ограниченной кривыми:

x 2;

y 0; 2y2 x; y 0 , если

поверхностная плотность

7x2

y .

4

3.

Вычислить тройной

интеграл в

сферических

координатах:

x2 y2

z2 dx dy dz ,

где

V

V : x2 y2 z2

16; y 0; z 0; y x .

4.

Вычислить координаты центра масс однородного тела V , ограниченного поверхностями:

3 x2 z2 y; x2 z2

16; y 0 .

5.

Вычислить

момент

инерции

однородного

тела

V ,

заданного

поверхностями:

x2 y2

2z; z 2 относительно оси OZ .

t

cos t sin t ;

6. Вычислить массу дуги : x e

0 t

1

при заданной плотности

3

e2t .

cos t sin t ;

y et

3

2

7.

Найти

работу силы

F : F x2 y2 i 2 j

при

перемещении

вдоль

линии

: x2

y2 9, y 0 от точки

A 3; 0 до точки B 3;0 .

8.

Найти производную

скалярного

поля

u 5xy3 z2

в

точке

M1 2;1; 1

по

направлению

l M1M2 , где

M2 4; 3;0 .

9.

Вычислить циркуляцию векторного поля a :

a 2y z i x 2y j y k

по контуру

треугольника, полученного в результате пересечения плоскости

P : x 3y 2z 6

с

координатными плоскостями.

10.

Проверить,

что

векторное

поле

a :

a x y z i 2y j x z k

является

соленоидальным, потенциальным или гармоническим.

Контрольные вопросы

1.Физический и геометрический смысл двойного интеграла.

2.Понятие скалярного поля, примеры скалярных полей.

3.Приведите условия равенства нулю криволинейного интеграла второго рода.

Вариант 80

1. Представить	двойной интеграл f x; y dx dy в	виде повторных с внешним
	D
интегрированием по	x и по y , если область интегрирования	D задана следующими линиями:

y 0; x 2y 12 0; y lg x .

2.

Вычислить массу пластинки

D ,

ограниченной

кривыми:

x 2;

y 0; y2

x

если

2

поверхностная плотность пластинки 4x 6y2 .

3.

Вычислить тройной интеграл:

dx dy dz

, где V :

x

y

z

1; x 0;

y 0; z 0 .

5

6

16

V

x

y

z

4

1

6

4

16

4.

Вычислить

объем

тела

V ,

ограниченного

следующими

поверхностями:

x2 y2 4y; z 4 x2 ; z 0 .

5.

Вычислить

момент

инерции

однородного

тела

V ,

заданного

поверхностями:

x2 y2

z2 ; y2 z2

9; x 0 относительно оси OX .

6.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода: x2

xy dl ,

где

- ломаная

ABC ,

A 2;1 ; B 6;1 ; C 4; 1 .

7.

Вычислить

криволинейный

интеграл

второго

рода

по

формуле

Грина:

x y 2 dx x2 y2 dy ,

где - верхняя половина окружности x2

y2

9 .

8.

Найти угол между

градиентами

скалярных

полей u xyz

и v x2

9y2 6z2 в

точке

1

1

M 1;

;

.

3

6

9.

Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности S : 6x y 4z dS , где

S

S - часть плоскости P : 3x 3y z 3 , отсеченная координатными плоскостями.

10.

Вычислить

поток

векторного

поля

a x 2z i y 3z j z k

через внешнюю

поверхность пирамиды, образованную плоскостью

P : 3x 2y 2z 6

и

координатными

плоскостями.

Контрольные вопросы

1.Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

2.Приведите определение и примеры линий уровня скалярного поля.

3.Вычисление криволинейного интеграла второго рода, если кривая интегрирования задана

явно.

Вариант 81

1.

Вычислить двойной интеграл: xy 9x5 y5 dx dy , где D : x 1; y 3

;

y x2 ; x 0 .

x

D

2.

Вычислить

площадь

области

D ,

ограниченной

линиями:

x2 y2 4y 0; x2 y2 8y 0; y 3x; x 0 .

3.

Вычислить массу пластинки D , ограниченной кривыми:

x2 y2 4; x2 y2

9; x 0; y 0 ,

если поверхностная плотность пластинки

y 2x

.

x2 y2

4.

Вычислить

объем

тела

V ,

ограниченного

следующими

поверхностями:

z x2 y2 1; x2 y2 4x; z 0 .

5.

Вычислить

момент

инерции

однородного

тела

V , ограниченного

поверхностями:

y2 z2 x2 ; y2 z2

9; x 0 относительно оси OX .

x 4

cos t t sin t ;

2

6.

Вычислить массу дуги

0 t 2 , при заданной плотности t

1 .

:

y 4

sin t t cos t ;

7. Найти работу силы F : F y i x j при перемещении вдоль линии : 2x2

y2 1; y 0 от

1

1

точки

M

; 0 до точки

N

; 0

.

2

2

в точке M 1;1;0

9 z2

8.

Найти производную скалярного поля

u

xy

по направлению

l 2i 2 j k .

9.

Найти

поток

векторного

поля a :

a 4x i x y z j 3y 2z k

через

внешнюю

поверхность

пирамиды,

образованную

плоскостью

P : 2x y z 4

и

координатными

плоскостями.

10. Найти циркуляцию векторного поля a x i x z j y z k по контуру треугольника,

образованного пересечением плоскости P : 3x 3y z 3 с координатными плоскостями.

Контрольные вопросы

1.Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах.

2.Как найти угол между градиентами скалярных полей?

3.Вычисление криволинейного интеграла второго рода, если кривая интегрирования задана параметрически.

Вариант 82

		1	0		0	ln y
1. Изменить порядок интегрирования: dy					f x; y dx dy		f x; y dx .
		0	y		1	1
2.	Вычислить	тройной	интеграл:			63 1 2			dx dy dz ,	где
								y
						V

V : y x; y 0; x 1; z 0; z xy .

3.Вычислить площадь области D , ограниченного кривыми: y2 2x 1; x y 1 .

4.Вычислить координаты центра масс однородного тела V , заданного следующими

поверхностями: x2 y2				3z; x2 y2	4; z 0 .
5.	Вычислить			массу	тела	V ,	ограниченного		поверхностями:
x2 y2 z2 16; x2 y2			9z2 ; x 0; y 0 , если поверхностная плотность тела 5z .
6. Вычислить криволинейный интеграл первого рода:
							2 ydl , где - первая арка циклоиды
x 2	t sin t ;
y 2	1 cos t .

7. Показать, что данное дифференциальное выражение является полным дифференциалом функции u x; y . Найти эту функцию: 20x3 21x2 y 2y dx 3 2x 7x3 dy .

x2

Найти угол между градиентами скалярных полей u

6

2

3 3

8.

и

v

в точке

y2 z3

x

y

z

2

2

3

M

2; 2;

.

2

9. Найти поверхностный интеграл первого рода по поверхности S :

3x 2 y 6z dS , где S -

S

часть плоскости P : 2x y 2z 2 , отсеченная координатными плоскостями.

10. Проверить, что данное векторное поле a является потенциальным,

соленоидальным или

гармоническим: a x y i y z j 2 x z k .

Контрольные вопросы

1.Вычисление тройного интеграла в сферических координатах.

2.Векторные линии, дифференциальные уравнения векторных линий.

3.Вычисление криволинейных интегралов второго рода, если кривая интегрирования задана в полярных координатах.

Вариант 83

1.

Вычислить площадь области D , заданной указанными линиями:

y

x; y 2 x;

x 4 .

2.

Вычислить

массу

пластинки

D ,

заданной ограничивающими

ее

кривыми:

x2 y2 1; x2

y2 9; x 0; y 0 , если поверхностная плотность пластинки

5x 2 y

.

x2 y2

3.

Вычислить

объем

тела

V ,

заданного

указанными

поверхностями:

y 6 3x; y 3x; z 0; z x 3 .

4.

Вычислить

тройной

интеграл

в сферических

координатах:

z dx dy dz

,

где

x

2

y

2

z

2

V

V : 4 x2 y2 z2 9; y 0; y 3 x; z 0 .

5.

Вычислить

момент

инерции

тела

V ,

заданного

следующими

поверхностями:

x2 y2 z2 ; y2 z2

4; x 0

относительно оси OX .

6.

Вычислить массу дуги : y ln x;

3 x

15 , если заданная плотность 2x2 .

Найти работу силы F xy x i xy j

7.

при перемещении вдоль линии

: y 2 x

от

точки

до точки B

.

A 1; 2

4; 4

8.

Найти

производную

скалярного

поля

u x2 y y2 z 3z

в

точке

M1 1; 2; 1

по

направлению l M1M2 , где

M2 13; 5;0 .

9.

Найти

циркуляцию

векторного

поля

a :

a x z i z j 2x y k

по

контуру

треугольника, образованного пересечением плоскости

P : 3x 2y z 6

с

координатными

плоскостями.

10. Найти поток векторного поля

a : a 2z x i x 2y j 3z k

через

внешнюю

поверхность пирамиды, образованную плоскостью

P : x 4y 2z 8

и

координатными

плоскостями.

Контрольные вопросы

1.Какие координаты называются полярными и как они связаны с декартовыми координатами на плоскости?

2.Способы вычисления потока векторного поля.

3.Как найти функцию по ее полному дифференциалу с помощью криволинейного интеграла второго рода?

Вариант 84

1.	Вычислить двойной интеграл: 4xy 16x3 y3 dxdy , где D : x 1; y x3 ; y 3				.
				x
		D
2.	Вычислить тройной интеграл: 1 2x3 dx dy dz , где V : y 9x; y 0; x 1; z 0; z							.
							xy
		V
3.	Вычислить	массу пластинки D , заданной ограничивающими	ее кривыми:
x2 y2 9; x2 y2		16; x 0; y 0 если поверхностная плотность пластинки	2x 5y			.
			x2 y2

4.Найти объем тела V , заданного указанными поверхностями: z 4 y2 ; x2 y2 4x; z 0 .

5.Вычислить момент инерции однородного тела V , заданного следующими поверхностями:

x2 z2 y; y 2 относительно оси OY .

6. Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

dl

, где

- отрезок прямой,

x2

y2 4

соединяющий точки O 0; 0 и A 1; 2 .

7.

Вычислить

криволинейный

интеграл второго

рода

по

формуле

Грина:

x2

y2

dx

x2 y2

dy , где - контур треугольника ABC ,

A

0;0

; B 1;0

; C

0;1 .

1

8. Найти угол между градиентами скалярных полей u

и v

4 2

2

1

в точке

x2 yz

x

9 y

3 z

1

1

M

2;

;

.

3

6

9. Вычислить поверхность интеграл первого рода по поверхности S : 2x 3y z dS , где S -

S

часть плоскости P : x 2y z 2 , отсеченная координатными плоскостями.

10.

Найти

поток

векторного поля

a : a x z i z j 2x y k

через

внешнюю

поверхность пирамиды, образованную

плоскостью

P : 2x 2y z 4

и

координатными

плоскостями.

Контрольные вопросы

1.Какие координаты называются цилиндрическими и как они связаны с декартовыми координатами в пространстве?

2.Способы вычисления циркуляции векторного поля.

3.Физический смысл криволинейного интеграла первого рода.

Вариант 85

			4	sin x		2	cos x
1. Изменить порядок интегрирования: dx					f x; y dy dx		f	x; y dy .
			0	0			0
						4
2.	Вычислить	площадь	области		D ,	заданной		указанными		кривыми:
x2 y2 6y 0; x2 y2 8y 0; y x; x 0 .
3.	Вычислить	объем	тела	V ,	заданного		следующими		поверхностями:

x 162y; x 2y; z 0; z y 2 .

4.	Вычислить		массу		тела	V ,		ограниченного	поверхностями:
x2 y2 z2 4; x2 y2		z2 ; x 0; y 0; z 0 , если поверхностная плотность тела							6z .
5.	Вычислить момент инерции однородного тела V , заданного следующими поверхностями:
V : x y2 z2 ; y2 z2		1; x 0 относительно оси OX .
6. Вычислить массу дуги				x 3 cos t t sin t		0 t	1	при плотности t .
			:
							3
				y 3 sin t t cos t

7.

Показать, что данное дифференциальное выражение:

x y

dx

y x

dy

является полным

xy

y2

дифференциалом некоторой функции u u x; y . Найти эту функцию.

M 1; 3; 4

8.

Найти производную скалярного поля u x3

y2 z2 в точке

по направлению

l j k .

9.

Вычислить поток

векторного поля

a :

a 3x y i x z j y k

через внешнюю

поверхность пирамиды,

образованную

плоскостью P : x 2y z 2 и

координатными

плоскостями.

10. Выяснить является ли векторное поле a : a 2x yz i xz 2y j 2xyz k

потенциальным, соленоидальным или гармоническим.

Контрольные вопросы

1. Какие координаты называются сферическими и как они связаны с декартовыми координатами в пространстве?

2.Формула Грина.

3. Как найти массу дуги кривой с помощью криволинейного интеграла первого рода?

Вариант 86

1	x2		2		2 x2
1. Изменить порядок интегрирования: dx		f x; y dy dx				f x; y dy .
0	0	1			0

2.Вычислить площадь области D , заданной указанными линиями: y x 4 2 ; y 16 x2 .

3.Вычислить массу пластинки D , заданной следующими кривыми: x 2; y 0; 2y2 x , если

поверхностная плотность пластинки	7	x2	6 y .
	2
4. Вычислить тройной интеграл	в		сферических координатах:		x dx dy dz		, где
			V		x2 y2 z2

V : x2 y2 z2 1; y x; x 0; z 0 .

5. Вычислить координаты центра масс однородного тела V , заданного ограничивающими

поверхностями: z 2 x2 y2 ;

x2 y2

9; z 0 .

3

6. Вычислить массу дуги

x 10 cos

t;

0

t

при заданной плотности

2 cos

2

t .

:

y 10sin3 t;

2

7. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по формуле Грина:

x y dx y x dy

y x2 ;

, где

:

y

x.

x

8.

Найти угол между градиентами скалярных полей: u

и v

6

6

2

в точке

yz2

2x

2 y

3z

1

1

1

M

;

;

.

2

2

3

9. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности S : 2x 3y z dS , где

	S
S - часть плоскости P : 2x y z 2 ,	отсеченная координатными плоскостями.
10. Найти поток векторного поля	a x y i 3y j y z k через внешнюю поверхность

пирамиды, образованную плоскостью P : 2x y 2z 2 и координатными плоскостями.

Контрольные вопросы

1.Перечислите основные свойства тройного интеграла.

2.Как в некоторых случаях упростить вычисление циркуляции с помощью формулы Грина?

3.Как найти координаты центра тяжести дуги с помощью криволинейного интеграла первого

рода?

Вариант 87

1.

Вычислить

площадь

области

D ,

заданной

указанными

линиями:

y x2 2x; x 1; x 1; y 0 .

2.	Вычислить массу	пластинки	D , заданной ограничивающими		ее кривыми:
x2 y2	1; x2 y2 25; x 0; y 0 , если поверхностная плотность пластинки				x 5y	.
					x2 y2
3.	Вычислить	тройной	интеграл:	3x2 y2 dx dy dz ,	где		V :
				V

z 10y; x y 1; x 0; y 0; z 0 .

4.

Вычислить координаты центра масс однородного тела V , заданного указанными

поверхностями: y 3 x2 z2 ; x2 z2 36; y 0 .

5.

Вычислить момент инерции однородного тела

V :

y2 z2 x2 ;

y2 z2 1; x 0

относительно оси OX .

6.

Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

dl

, где

- отрезок прямой от

x 2 y 5

точки A 0; 2 до точки B 1; 0 .

6xy

7.

Показать, что данное дифференциальное выражение

2x 3y2 1 dx

2

dy является

полным дифференциалом некоторой функции u u x; y . Найти эту функцию.

8.

Найти производную скалярного поля u xy

x

в

точке

M 4;3; 1

по

направлению

z

l 5i j k .

9.

Вычислить циркуляцию векторного поля a :

a 3x y i x z j y k

по контуру

треугольника, образованного пересечением плоскости

P : x 2y z 2

с координатными

плоскостями.

10. Выяснить является ли векторное поле

a :

a xy 3x 4y i x2

x 4y j 3z2 k

потенциальным, соленоидальным или гармоническим.

Контрольные вопросы