Методичка по Технической механике

Пример выполнения задания. Дано: две схемы нагружения колонны высотой 5 метров (рис.20), изготовленной из стали Ст. 3 и имеющей составное сечение из швеллера №16 и двух равнобоких уголков 80 6 (рис. 21). Определить допускаемую нагрузку при заданном коэффициенте запаса устойчивости nу = 4.

Продольным изгибом называется изгиб первоначально прямолинейного стержня вследствие потери устойчивости под действием центрально приложенных сжимающих сил.

Нагрузки, превышение которых приводит к потере устойчивости, называются критическими. Если нагрузки не превышают этого значения, то стержень остается прямолинейным, испытывая только деформации сжатия. Искривленный стержень испытывает сочетание деформаций центрального сжатия и изгиба, которые могут угрожать прочности конструкции. Поэтому критическое состояние считается недопустимым.

Опасность потери устойчивости особенно актуальна в настоящее время в связи с широким использованием тонкостенных элементов конструкций типа стержней, балок, пластин и оболочек, изготовленных из высокопрочных материалов.

Расчет на устойчивость необходим, например, при проектировании ферм различного назначения, всевозможных вышек, башен и мачт, несущих конструкций зданий и сооружений.

P		P

l/2

l

l/2

а)	б)
Рис. 20. Расчетные схемы нагружения колонны		Рис. 21. Форма составного сечения

1. Основные геометрические характеристики составных частей сечения.

Геометрические характеристики составных частей сечения определяются по таблице сортамента прокатной стали ГОСТ 8240 – 86 (швеллеры) и ГОСТ 8509 – 87 (равнобокий уголок):

x0

h

				y					h = 16 см;
									b1 = 6,4 см;
			C						x01 = 1,79 см;
										= 747 см4;
								x	Ix1
									Iy1	= 63,3 см4;
									F1 = 18,0 см2.
			b

11

y

C

x

x0

b

b2 = 8,0 см;

x02 = y02 = 2,19 см;

Ix2 = Iy2 = 57 см4;

F2 = 9,38 см2.

2. Определение положения центра тяжести составного сечения.

Определим положение центра тяжести всего сечения относительно произвольной системы координат xОy (рис. 22).

Так как сечение имеет ось симметрии, то его центр тяжести

расположен на этой оси, т. е. yC = 0. Координату xC определим по формуле
x	Fi xCi	,
C	Fi

где Fi и xCi – площадь и координата центра тяжести каждой составной части сечения.

x	F1 x01 2F2 (b1 b2		x02)		18 1,79 2 9,38(6,4 8 2,19)	7,12	см.
C	F1	2F2			18 2 9,38

Через полученную точку проведем главные центральные оси инерции сечения X и Y.

	y	xC	Y
	y	e1	y
			e2
			C	x
			2
			a
h		C	C
	O
				x , x, X
			2
			a
			C
				x
	x0		x0
		b	b
	Рис. 22. Расчетная схема сечения

12

3. Определение минимального осевого момента инерции сечения.

Для нахождения моментов инерции составного сечения воспользуемся теоремой о моментах инерции относительно параллельных осей, согласно которой

I X (I xi Fi ai2 ); IY (I yi Fi ei2 ),

где I xi , I yi – моменты инерции составных частей сечения относительно

собственных центральных осей, параллельных главным центральным осям инерции всего сечения;

ai, ei – расстояния между соответствующими осями отдельных

составных частей и осями всего сечения в целом. В рассматриваемом примере:

a1 0				см;
a			h	x	b	x	8 2,19 5,81 см;
	2
		2		02	2	02
e1 xC x01 7,12 1,79 5,33 см;
e2 b1 b2 xC x02							6,4 8 7,12 2,19 5,09 см.

Тогда

I X (747 18 0) 2(57 9,38 5,81) 970,0 см4;

IY (63,3 18 5,33) 2(57 9,38 5,09) 368,7 см4.

Из двух осевых моментов инерции выбираем минимальный, так как именно вокруг этой оси будет поворачиваться сечение при продольном изгибе:

Imin = IY = 368,7 см4.

4. Определение минимального радиуса инерции сечения.

imin		Imin				368,7		3,17 см.
					18 2 9,38
		Fi

5. Определение гибкости колонны.

Гибкость колонны (λ) определяется только ее конструкцией и зависит

от высоты (l), формы и размеров поперечного сечения (imin), а также от условий закрепления и отношения продольных размеров колонны (μ):

λ μl , imin

где μ – коэффициент приведения длины. Для схемы колонны, приведенной на рис. 20, а – μ = 0,5, а для схемы на рис. 20, б – μ = 1,35. Тогда:

13

а) λ 0,5 500 78,9 ; 3,17

б) λ 1,35 500 212,9. 3,17

6. Определение критических напряжений.

Так как в случае а) гибкость колонны находится в интервале λ0 λ λпр , то критическое напряжение определяется по эмпирической

формуле Ясинского:

σкр а bλ 310 1,14 78,9 220 МПа.

В	случае	б)		гибкость			колонны		больше	критической
( λ λ пр 100 ),			поэтому критическое напряжение							вычисляем по
формуле	Эйлера,	приняв			модуль		продольной		упругости материала
Е 2 105 МПа :
		σкр		π2Е		3,142	2 105	43,5 МПа.
				λ2		212,92

7. Определение критической силы.

Критическая сила определяется, исходя из деформации сжатия:

Ркр = σкрF,

где F Fi – площадь поперечного сечения колонны.

а) Ркр = 220 106 (18 2 9,38) 10 4 808 720 Н = 808,72 кН;

б) Ркр = 43,5 106 (18 2 9,38) 10 4 159 910 Н = 159,91 кН.

8. Определение допускаемой нагрузки.

Любая конструкция не должна работать при нагрузках, близких к критическим. Поэтому допускаемая ее величина должна быть меньше критической в несколько раз, что определяется коэффициентом запаса устойчивости nу :

а) [P] Ркр/ nу =808,72/4 = 202,18 кН;

б) [P] Ркр/ nу =159,91/4 = 39,98 кН.

Таким образом, изменяя только способ закрепления колонны при прочих равных условиях, можно добиться повышения ее несущей способности практически в пять раз для схемы а) по сравнению со схемой б).

При проектировании следует иметь ввиду, что наиболее экономичными с точки зрения расхода материала являются колонны, стержни и мачты с кольцевым или коробчатым поперечным сечением.

14

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. – 592 с.

2.Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. Учебник под ред. Г.С. Варданяна – М.: Изд-во АСВ,

1995. – 568 с.

3.Эрдеди А. А., Эрдеди Н. А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов: – М.: Высш. шк.; Издательский центр «Академия», 2001.

–318 с.

4.Аркуша А. И. Техническая механика. Теоретическая механика и сопротивление материалов. – М.: Высш. шк., 2003. – 352 с.

5.Ицкович Г. М., Минин Л. С., Винокуров А. И. Руководство к решению задач по сопротивлению материалов: Учеб. пособие для вузов. – М.:

Высш. шк., 1999. –592 с.

6.Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. – СПб.:

Изд-во «Лань», 2004. – 656 с.

7.Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теория упругости и пластичности. Основы теории с примерами расчетов. – М.: Высшая школа, 2001. – 286 с.

8.Ицкович Г. М. Сопротивление материалов. – М.: Высшая школа, 2001.

–368 с.

9.Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для втузов.

–М.: Высшая школа, 2002. – 416 с.

10.Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для техн. вузов /А.А. Яблонский, С.С. Норейко, С.А. Вольфсон и др.; Под ред. А.А. Яблонского. – 14-е изд., стереотипное

– М.: Интеграл-Пресс, 2005. – 384 с.

15

ПРИЛОЖЕНИЕ. СОРТАМЕНТ ПРОКАТНОЙ СТАЛИ

Сталь прокатная уголковая равнобокая по ГОСТ 8509 – 87

									ТаблицаП1
							Вес	Моменты	Координаты
№		Размеры						инерции для	центра
						Площадь	1 пог.
про-								осей	тяжести
						профиля	метра
филя	b	d		R	r			I x , I y	x0 , y0
			мм			см2	кг	см4	см
1	2	3		4	5	6	7	8	9
2	20	3		3,5	1,2	1,13	0,89	0,40	0,60
		4				1,46	1,15	0,50	0,64
2,5	25	3		3,5	1,2	1,43	1,12	0,81	0,73
		4				1,86	1,46	1,03	0,76
2,8	28	3		4	1,3	1,62	1,27	1,16	0,80
3,2	32	3		4,5	1,5	1,86	1,46	1,77	0,89
		4				2,43	1,91	2,26	0,94
3,6	36	3		4,5	1,5	2,10	1,65	2,56	0,99
		4				2,75	2,16	3,29	1,04
4	40	3		5	1,7	2,35	2,85	3,55	1,09
		4				3,08	2,42	4,58	1,13
		3				2,65	2,08	5,13	1,21
4,5	45	4		5	1,7	3,48	2,73	6,63	1,26
		5				4,29	3,37	8,03	1,30
		3				2,96	2,32	7,11	1,33
5	50	4		5,5	1,8	3,89	3,05	9,21	1,38
		5				4,80	3,77	11,2	1,42
		3,5				3,86	3,03	11,6	1,50
5,6	56	4		6	2	4,38	3,44	13,1	1,52
		5				5,41	4,25	16,0	1,57
		4				4,96	3,90	18,9	1,69
6,3	63	5		7	2,3	6,13	4,81	23,1	1,74
		6				7,28	5,72	27,1	1,78

16

Продолжение таблицы П1

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
			4,5			6,20	4,87	29,0	1,88
			5			6,86	5,38	31,9	1,90
	7	70	6	8	2,7	8,15	6,39	37,6	1,94
			7			9,42	7,39	43,0	1,99
			8			10,7	8,37	48,2	2,02
			5			7,39	5,80	39,5	2,02
			6			8,78	6,89	46,6	2,06
	7,5	75	7	9	3	10,1	7,96	53,3	2,10
			8			11,5	9,02	59,8	2,15
			9			12,8	10,1	66,1	2,18
			5,5			8,63	6,78	52,7	2,17
	8	80	6	9	3	9,38	7,36	57,0	2,19
			7			10,8	8,51	65,3	2,23
			8			12,3	9,65	73,4	2,27
			6			10,6	8,33	82,1	2,43
	9	90	7	10	3 3	12,3	9,64	94,3	2,47
			8			13,9	10,9	106	2,51
			9			15,6	12,2	118	2,55
			6,5			12,8	10,1	122	2,68
			7			13,8	10,8	131	2,71
			8			15,6	12,2	147	2,75
	10	100	10	12	4	19,2	15,1	179	2,83
			12			22,8	17,9	209	2,91
			14			26,3	20,6	237	2,99
			16			29,7	23,3	264	3,06
	11	110	7	12	4	15,2	11,9	176	2,96
			8			17,2	13,5	198	3,00
			8			19,7	15,5	294	3,36
			9			22,0	17,3	327	3,40
	12,5	125	10	14	46	24,3	19,1	360	3,45
			12			28,9	22,7	422	3,53
			14			33,4	26,2	482	3,61
			16			37,8	29,6	539	3,68
			9			24,7	19,4	466	3,78
	14	140	10	14	4,6	27,3	21,5	512	3,82
			12			32,5	25,5	602	3,90
			10			31,4	24,7	774	4,30
	16	160	11	16	53	34,4	27,0	844	4,35
			12			37,4	29,4	913	4,39
			14			43,3	34,0	1046	4,47

17

Продолжение таблицы П1

1	2	3	4	5	6	7	8	9
		16			49,1	38,5	1175	4,55
16	160	18	16	5,3	54,8	43,0	1299	4,63
		20			60,4	47,4	1419	4,70
18	180	11	16	5,3	38,8	30,5	1216	4,85
		12			42,2	33,1	1317	4,89
		12			47,1	37,0	1823	5,37
		13			50,9	39,9	1961	5,42
		14			54,6	42,8	2097	5,46
20	200	16	18	6	62,0	48,7	2363	5,54
		20			76,5	60,1	2871	5,70
		25			94,3	74,0	3466	5,89
		30			111,5	87,6	4020	6,07
22	220	14	21	7	60,4	47,4	2814	5,93
		16			68,6	53,8	3175	6,02
		16			78,4	61,5	4717	6,75
		18			87,7	68,9	5247	6,83
		20			97,0	76,1	5765	6,91
25	250	22	24	8	106,1	83,3	6270	7,00
		25			119,7	94,0	7006	7,11
		28			133,1	104,5	7717	7,23
		30			142,0	111,4	8117	7,31

18

Сталь прокатная уголковая неравнобокая по ГОСТ 8510 – 87

											Таблица П2
						Вес	Моменты		Координаты
		Размеры					инерции для			центра
№ про-					Площадь	1 пог.
							осей			тяжести
филя					профиля	метра
	h		b	d			I x	I y	y0		x0
			мм		см2	кг	см4	см4	см		см
1	2		3	4	5	6	7	8	9		10
2,5/1,6	25		16	3	1,16	0,91	0,70	0,22	0,86		0,42
3,2/2	32		20	3	1,49	1,17	1,52	0,46	1,08		0,49
				4	1,94	1,52	1,93	0,57	1,12		0,53
4/2,5	40		25	3	1,89	1,48	3,06	0,93	1,32		0,59
				4	2,47	1,94	3,93	1,18	1,37		0,63
4,5/2,8	45		28	3	2,14	1,68	4,41	1,32	1,47		0,64
				4	2,80	2,20	5,68	1,69	1,51		0,68
5/3,2	50		32	3	2,42	1,90	6,17	1,99	1,60		0,72
				4	3,17	2,49	7,98	2,56	1,65		0,76
				3,5	3,16	2,48	10,1	3,30	1,80		0,82
5,6/3,6	56		36	4	3,58	2,81	11,4	3,70	1,82		0,84
				5	4,41	3,46	13,8	4,48	1,86		0,88
				4	4,04	3,17	16,3	5,16	2,03		0,91
6,3/4	63		40	5	4,98	3,91	19,9	6,26	2,08		0,95
				6	5,90	4,63	23,3	7,28	2,12		0,99
				8	7,68	6,03	29,6	9,15	2,20		1,07
7/4,5	70		45	4,5	5,07	3,98	25,3	8,25	2,25		1,03
				5	5,59	4,39	27,8	9,05	2,28		1,05
				5	6,11	4,79	34,8	12,5	2,39		1,17
7,5/5	75		50	6	7,25	5,69	40,9	14,6	2,44		1,21
				8	9,47	7,43	52,4	18,5	2,52		1,29
8/5	80		50	5	6,36	4,99	41,6	12,7	2,60		1,13
				6	7,55	5,92	49,0	14,8	2,65		1,17

19

Продолжение таблицы П2

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
				5,5	7,86	6,17	65,3	19,7	2,92	1,26
	9/5,6	90	56	6	8,54	6,70	70,6	21,2	2,95	1,28
				8	11,18	8,77	90,9	27,1	3,04	1,36
				6	9,59	7,53	98,3	30,6	3,23	1,42
	10/6,3	100	63	7	11,1	8,70	113	35,0	3,28	1,46
				8	12,6	9,87	127	39,2	3,32	1,50
				10	15,5	12,1	154	47,1	3,40	1,58
				6,5	11,4	8,98	142	45,6	3,55	1,58
	11/7	110	70	7	12,3	9,64	152	48,7	3,57	1,60
				8	13,9	10,9	172	54,6	3,61	1,64
				7	14,1	11,0	227	73,7	4,01	1,80
	12,5/8	125	80	8	16,0	12,5	256	83,0	4,05	1,84
				10	19,7	15,5	312	100	4,14	1,92
				12	23,4	18,3	365	117	4,22	2,00
	14/9	140	90	8	18,0	14,1	364	120	4,49	2,03
				10	22,2	17,5	444	146	4,58	2,12
				9	22,9	18,0	606	186	5,19	2,23
	16/10	160	100	10	25,3	19,8	667	204	5,23	2,28
				12	30,0	23,6	784	239	5,32	2,36
				14	34,7	27,3	897	272	5,40	2,43
				10	28,3	22,2	952	276	5,88	2,44
	18/11	180	110	12	33,7	26,4	1123	324	5,97	2,52
				11	34,9	27,4	1449	446	6,50	2,79
	20/12,5	200	125	12	37,9	29,7	1568	482	6,54	2,83
				14	43,9	34,4	1801	551	6,62	2,91
				16	49,8	39,1	2026	617	6,71	2,90
				12	48,3	37,9	3147	1032	7,97	3,53
	25/16	250	160	16	63,3	49,9	4091	1333	8,14	3,69
				18	71,1	55,8	4545	1475	8,23	3,77
				20	78,5	61,7	4907	1613	8,31	3,85

20