Теория систем и системный анализ

Если параметрическое множество не упорядочено ,то имеет смысл тождественный сдвиг. В этом случаи выполняется требование 2, сводится к вычислению функции поведения Число столбцов в маске называется глубиной , обозначающейся ∆М. ∆М=1 – маска без памяти, неупорядоченное множество. Слишком большая глубина маски ∆М приводит к сужению системы данных за счёт не использованных крайних столбцов и к возрастанию количества рассмотренных содержательных масок.

Количество содержательных масок N=(2∆M - 1)n – (2∆M - 1) n- число базовых переменных

n=10

∆М=2 N=310-1

Содержательная маска должна включать хотя бы 1 элемент с правилом сдвига, то есть должно содержать хотя бы одно крайне правое значение

Содержательная					не содержательная

Степень детерминирования системы измеряется обобщенной нечеткостью, соответствующей порождению данных. В начальные меры нечеткости для вероятности систем используют энтропию Шеннона

n

(-log2Pi , есть вероятность мала то неопределенность большая ; Для системы H= å(log

i=1

2Pi)*Pi ,делят на log2

H(fB(x))= - åc<C ( fB (x) * log 2 fB (x))

Чем больше нечеткость H, тем меньше порядок систем. Если Pi=1 , то H=0. Для порождающих систем множествами выходов или сигналов являются множество всех состояний С, множество порождаемое G, порождающее G которое соответствует функции поведения f(c), f(g/ g )

Для нейтральных систем:

f( g )= åf (c)

C g

Условные вероятности, характеризующие порождение данных имеют функцию поведения:

f (g / g) = f (c) f (g)

Для порождающих систем поведение, при заданной порождающей маске, порождающая

нечетность	H (G /				определяется суммированием нечеткостей взвешенных функций
				G)
поведения	f (		:
		g )

H (G / G) = −åf (g)åf (g / g) log 2 f (g / g) = H (C) −H (G) - вероятностный подход,

g G g G

где H(C) – нечетность по всем состояниям, H (G) - нечетность по порождающим состояниям.

Системы с min значением порождающей нечеткости является наиболее детерминированной Þ появляется задача:

m- количество переменных

Ñ M - заданная глубина маски m*ÑM

4*2=8

Получаем H для 8(1 вариант);

для 7 (8 вариантов) и выбираем min H

Исходные данные для лабораторной работы №2

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	1	11	1	1	1	1	1	1	1	1	2	21
u1										0		2	3	4	5	6	7	8	9	0
	1	1	1	1	0	0	1	1	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0
u2	1	1	1	1	0	0	1	1	1	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0
u3	1	1	1	1	0	0	1	1	1	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	0
u4	1	1	1	1	0	0	0	1	1	1	0	0	1	0	1	1	1	1	0	0	0

Система данных 4 переменных u1 , u2 , u3 , u4 , 21 точка.

CША 1897 год по 1981 год рассматривали 21 четырех летний периоды президентского правления:

u1 - политическая партии президента

0- демократы

1- республиканцы

u2 - партии, имеющие большинство в палате представителей

0- демократы

1- республиканцы

u3 - партии, имеющие большинство в сенате

0- демократы

1- республиканцы

u4 - уровень цен на бирже

0-падает

1- растет

ÑM=2

Н=1,42 – 8 переменных Н=2,43 – для 4 переменных

Возможностный подход для определения нечеткости (порождающие системы)

Нечеткость возможностной системы:

U ( f ) = −1 ò4 log C( f ,l)df 4 0

При замене интеграла суммой;

1 q−1

U ( f ) = 4 å(lk +1 −lk ) log 2 C( f ,lk +1)

k =1

l [0,1] - уровни возможностей из отрезка [0,1]

C( f , l) - уровневые множества при функции поведения f

Уровневые множества:

C( f ,l) = { i Î N υ i ³ l } при условии, где функция поведения f = {υ ii Î N } состоит из N состояний

υi - конкретные значения функции поведения

Пример:

Определить нечеткость для системы с функцией поведения: f ={0,1;0;0,5;0,8;0,8;0,8;0,1;0,7;0,8 } 9 состояний

Уровни Lf {0;0,1;0,5;0,7;0,8 }

Определить функцию С(f;l):

С( f ;l) = {9³ 0 ;8³ 0,1 ;6³ 0,5 ;5³ 0,7 ;4³ 0,8 }

U ( f ) =	1	[0,1log2 8 + 0,4log2 6 + 0,2log2 5 + 0,1log2 4]
	0,8max Lf

Для порождающих систем, определяемой маской М является М = M g U M g f (g) = max c g f (g g)

U (G G) =U (C) −U (G) - возможностный подход

Пример: ÑM=2
U1	0	0	0	1	0	1	1	1	0	0	1	0	1	0
U 2	0	1	1	1	1	0	0	1	0	1	0	0	1	1

Вычислить f B (Cl) − вероятностный, f B (Cl) − возможностный

		S2						S1 −
														g
	S1	S3						S2 , S3 − g
								S 1 S2															S 1					S2						S3							N с						f B											f B
								S3
								0	0								1					0				0					0									1						1												1
								1	0								1					0				0					1														13													3
								1	1								1					0				1					0									2						2												2
								1	0								1					0				1					1														13													3
								1	1								0					1				0					0									1					1													1
								0	1								0					1				0					1
																																													13													3
								0	1								1					1				1					0									2					2													2
								1	0								0					1				1					1
																																													13													3
								0	0								1																							1					1													1
								1	1								0
																																													13													3
								0	0								0																							3					3													3
								0	1								1
																																													13													3
								1	0								1
																																								2						2												2
																																													13													3
																																								1						1												1
																																													13													3
	Вероятностный подход:
	H (C) =					1	4 log 2						1				+	2			3log 2						2		+			3				log 2					3		=			4		log						1		+			6	log	2		2	+		3	log 2		3	=1,9 = H
				13																						13					13									13					13							2						13				13			13			13
									13								13																																				13
	S1					f (		g )																							6									6					7								7
				вероятностный
																									H (G) =									13			log 2					13		+			13			log			2		13			= 0,98
0						6
					13
1						7																			H (C /										) =H (C) −H (																	) =1,9 −0,98 =0,92
																																	G																		G
				13
	Возможностный подход:
	L f	ì				1	,	2			ü
		= í0,				3		3	,1ý
		î									þ
	С( f ) ={13,13,4,1}
	U (C) =			1 log 2 13 + 1 log 2 4 =1,9
				3					3
	S1						f (
										g )																																			ì						2			ü
						возможностны																																			L f
						й																			Для						f (g ) :													= í0,							3	,1ý
																																													î									þ

02

	3
1	1

С( f ) ={2,2,1}

U (G) = 23 log 2 2 + 13 log 2 1 = 0,66

U (C / G) =1,9 −0,66 =1,23

Возможностный подход рекомендуется применять при малом числе наблюдений (более оправдан).

Структурированные системы. Основные определения.

Представляют собой набор систем (исходных, систем данных, с поведением), имеющих общее параметрическое множество.

Системы, образующие структурирующую систему называют элементами Некоторые переменные у элемента могут быть общими. Они называются связывающими

переменными, которые определяют взаимодействие между элементами структурирующей системы.

На заданном уровне система может как внешняя (надсистема) и как внутренняя (подсистема).

Иерархия уровней может быть произвольное количество.

Структурирующая система обусловлена сложностью и обозримостью рассматриваемого объекта, удобством сбора данных, эффективностью реализации и возможности получения дополнительной информации на структурном уровне, то есть не содержащуюся явно в полной системе.

Элемент, входящий в структурируемую систему соотноситься к ней как часть и целое и должны быть совместимы.

Совместимость – принадлежность к одному и тому же типу, системы должны быть определены на одном параметрическом множестве.

Для совместимости структурируемой системы необходимо, чтобы ее элементы были совместимы. Должно выполняться требование неизбыточности, то есть никакой элемент не является подсистемой другого элемента.

q N q .

Рассмотрим нейтральную структурирующуюся систему (нет подразделений на внешние и внутренние переменные), состоящую из q элементов

Система удовлетворяет условиям совместимости и избыточности.

Если обозначить V – множество переменных для структурируемой системы и V x - множество переменных для элемента x, то:

V = ÈV x

Два элемента системы X и Y соединены, если имеют общие переменные:

V x ÇV y ¹ Æ

Такое множество Cx. y =V x ÇV y называется соединяющим, характеризующие соединяющие переменные.

Для нейтральной системы соединение C x. y симметрично.

Если структурирующая система с поведением, то кроме множество V x ,каждый элемент характеризуется выборочными переменными S x

V = V x S = S x

Соединения системе с поведением определяется как пересечение в множестве выборочных переменных.

CxB, y = S x Ç S y

Для систем с поведением требуется выполнения локальной согласованности, то есть проекции функций поведений пары элементов X,Y структурирующей системы равны относительно их соединенных переменных:

fBx ¯ S x Ç S y = fBy ¯ S x Ç S y

После определения порядка порождения множество выборочных переменных разбивается на два подмножества G и G

Задачи идентификации и реконструкции

Эти задачи при исследование систем взаимодополняющих друг друга. Задача идентификации

Задана структурирующая система с поведением. Целью исследования является вывод свойств в неизвестной обобщенной системы.

Задача реконструкции Обобщенная структурирующая система задана, необходимо определить какие

структурирующие системы, состоящие из множества подсистем, заданных обобщенных систем подходят для реконструкции или воспроизведения данной системы с требуемым уровнем точности.

Задача идентификации делится:

1)Определения множества всех обобщенных систем с поведением. При этом функции поведения этих систем должны быть такими, чтобы их проекции на элементы данной структурирующей системы совпадали бы с функциями поведения этих элементов. Такое множество называется реконструктным семейством.

Идентификация обобщенной системы по заданной однозначна тогда и только тогда, когда система уравнений (1) имеет единственное решение .

При неединственном решении идентификация не однозначна, и обобщенная система содержит дополнительную информацию, т.е. проявляется свойство системы, что целое больше суммы её частей.

Неоднозначность идентификации определяется коэффициентом идентифицируемости, который характеризует степень нечетности идентификации.

Для заданной структурной системы нужно выбирать такую обобщенную систему, которая опирается на всю информацию, содержащуюся в данной структурной системе и только на нее. Такая обобщенная система называется несмещенной реконструкцией, т.е. по заданной структурной системе SF из реконструктивного семейства необходимо выбрать систему с функцией поведения fsf, при которой бы обеспечивались min нечетности и выполнялись бы ограничения (2).

Соединение систем (элементов)

Для обеспечения несмещаемости реконструкции объединяемых элементов используется процедура соединения. Рассмотрим 2 элемента:

-f1 определен на множестве сост. А, В. А х В.

-с функцией f2, определен на множестве сост. В, С. В х С. Соединением этих двух функций:

f 1 * f2: А х В х С называется такая функция поведения, которая определяется: а) по вероятности подходу:

[f 1 * f2](а, b, c) = [f1(a, b) * f2 (c \ b)] б) по возможному подходу:

[f 1 * f2](а, b, c) = min [f1(a, b) * f2 (b, c)]

Если процедура соединения выполняется к 2-ум элементам структурной системы S1, S2 и функциями f 1, f2 , то в качестве А рассматривается множество совокупных состояний, входящих только в 1-ий элемент

А = S1 - S1 ᴖ S2

С– множество состояний, входящих только во 2-ой элемент

С= S2 - S1 ᴖ S2

В = S1 ᴖ S2

Вырожденный случай: ∙ В = Ф =>

f 1(a) * f2(c)

min [f 1(a) * f2(c)] ∙ А = Ф => f 1(в) * f2(c\b) min [f 1(b) * f2(c)]

Алгоритм базовой процедуры соединения:

Процедура соединения используется для соединения пар элементов структурной системы рекурсивно

- итоговое соединение

1.k = 2 f = f1

2.выполнение f k * f

3.если k < q → 2, иначе → 4

4.конец

Проверяем условие для проекции функции поведения: f ↓Sx = fx

Пример:
Структурная система состоит из 3 элементов:
1-й элемент: S1, S2		f1(с)
2-й элемент: S2, S3		f2(с)
3-й элемент: S1, S3		f3(с)
Нужно их соединить.
S1	S2	f1(с)	S2	S3	f2(с)	S1	S3	f3(с)
0	0	0,4	0	0	0,4	0	0	0,4
0	1	0,3	0	1	0,2	0	1	0,3
1	0	0,2	1	0	0,1	1	0	0,1
1	1	0,1	1	1	0,3	1	1	0,2

А = S3 C = S1 В = S2

0,4 ×00,,54 =0,27

0,2 ×00,,64 =0,13

0,1×00,,34 =0,075

0,3 ×00,,34

Задача реконструкции

Дана система с поведением, рассматриваемая как обобщенная. Определите, какие наборы ее подсистем (каждый набор рассматриваем как гипотетическая система) подходят для реконструкции с заданной точностью. Используется только информация, содержащаяся в подсистемах. Реконструкция называется несмещенной.

Чем ближе несмещенная реконструкция к заданной системе, тем лучше. Обозначим f, fn – функции поведения заданной системы и гипотетической. Определить меру отличия D(f, fn) заданной системы от гипотетической.

В качестве меры близости 2 систем используется потеря информации при замене данной системы гипотетической, т.е. в качестве меры принимается информационное расстояние между системами.

Информационные расстояния в случае вероятности подхода:

(1)

D(f, fn) =

1

åf (c)log 2

f (c)

log 2

c

f

n

(c)

(2)

DG(f, fn)=

1

åf

(g )åf (g \ g ) ×log 2

f (g \ g )

log 2

G

f

n

(g \ g )

g

G

g G

Формула (2) используется, когда есть маска.

Для возможной варианты:

1

1

c( f n ,l)

D(f, fn) =

ò0 log 2

c( f ,l)

di

log 2

c

Системе соответствует большое количество гипотетических подсистем. <1 2 3 4 5 > 5 элементов системы Множество число сочетаний:

<1> < 2 3 4 5 > <1 2> < 3 4 5 >

…

Для уменьшения вариантов используется требование неизбыточности и полного покрытия:

S = Uk Sk – полное покрытие

<1 2> <4 5> - неполное покрытие <1> <1 2 3 4 5 > - избыточная система

Варианты гипотетических систем разбиваются по уровням уточнения. G – множество структур

Если задано G и структуры Gi, Gj ϵ G, то будем называть, что структура Gi является уточнением Gj (Gi ≤ Gj), а Gj – укрупнением Gi, если для элемента x ϵ Gi и для y ϵ Gj выполняется x y.

Структура Gi называется непосредственным уточнением Gj, если не существует структуры Gk такой, что Gi ≤ Gk, Gk ≤ Gj.

В этом случае условие (3) образует решетку уточнения. Процедуры уточнения:

1.Уточняющая RG процедура

Gi = {Sk , k = 1,N} N - количество структур в Gi

1)k = 0

2)если k < N, k = k + 1, иначе -> 5)

3)если мощность |Sk|≥2, то количество переменных в структуре

(Gi – {Sk})UX → R, где Х С Sk |Х|= |Sk|- 1, если |Sk|≥2 → 2)

После изменения G →4) Структура R проверяется на избыточность и из нее формируется структура Q. Q является непосредственным уточнением Gi, затем переход → 2).

Пример:

Задана структура Gi = {S1 = <1,2,3>;