Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ижевский государственный технический университет им. М. Т. Калашникова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

mu_po_oformleniyu_mat_razdela_k_i_dp

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.03.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

xe1н

ye1н

xeн2

yeн2

xeк2

yeк2

где

xeн2

yeн2

xeк2

yeк2

xe1н

ye1н

;

xe1н

ye1н

xeн2

yeн2

xe1к

ye1к

xeк2

yeк2

xeн2

yeн2

xe1к

ye1к

xeк2

yeк2

xe1н

ye1н

	x 1	1	x 1	x 1	x 2
	eн		eк	eн	eн	, если x		2	x 2 ;
						, если x		2	x 2 ;
		xeк2		xeн2			eн		eк
2		xeк2		xeн2
2
	y 1	1	y 1	y 1	y 2
	eн		eк	eн	eн		, иначе.
		yeк2		yeн2			, иначе.
		yeк2		yeн2

Пусть = 1, и пересекаются стороны четырехугольника AB и CD, L = CrossingPoint(AB, CD) (см. рис. 6.5).

Определение внутренней окружности максимального радиуса сводится к определению максимальной из окружностей, вписанной в треугольники ALD

и BLC.

n = max(InnerRadius( ALD),InnerRadius( BLC)),

(6.6)

где функция InnerRadius(Tr) возвращает значение радиуса вписанной окружности для треугольника Tr.

Пусть вершины треугольника Tr имеют координаты (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3). Тогда центру вписанной окружности для Tr соответствует точка V с коор-

динатами (xV, yV) =	b x1 c x2	a x3 ,	b y1 c y2 a y3	, где a = length((x1,
			p
	p

y1), (x2, y2)), b = length((x2, y2), (x3, y3)), c = length((x3, y3), (x1, y1)), p = a + b + c.

Радиус вписанной окружности InnerRadius(Tr) определяется как расстояние от V до любой из сторон треугольника:

InnerRadius(Tr) =		y1 y2 xV		x2	x1	yV		x1y2 x2y1	.	(6.7)


			x	x	2	y	y	2

	2			1		2	1

Звездчатый четырехугольник (| | = 2). Случаю звездчатого четырех-

угольника соответствует значение | | = 2 (знак одного из определителей формулы (6.2) отличается от знака остальных).

Найдем такое число {1…4}, что

sign	xq	xq	2 mod4 1	yq	yq	2 mod4 1	= – sign .


	xq	mod4 1 xq		yq mod4 1 yq

Полученное значение соответствует значению угла uб>180 . Пусть = 2, и поставленному условию удовлетворяет угол BCD (рис. 6.6).

	Рис. 6.6
Рассмотрим углы ACD= и	ACB= .
Пусть истинно утверждение (	< 90 ) ( < 90 ) (один из углов и

меньше 90 ). Представим четырехугольник Q как объединение треугольников

ABE и ADF (E = CrossingPoint (AD, BC); F = CrossingPoint (AB, CD).

Окружностью максимального радиуса, которую можно построить внутри

Q, в данном случае является максимальная из окружностей, вписанных в	ABE
и ADF (рис. 6.7):
n = max(InnerRadius( ABE),InnerRadius( ADF)).	(6.8)

Рис. 6.7

В случае истинности утверждения ( 90 ) ( 90 ) (оба угла и не меньше 90 ) внутренняя окружность максимального радиуса для четырехугольника Q проходит через точку C и касается сторон AB и DA (рис. 6.8).

Рис. 6.8

Радиус n = length( n, C), где n – такая точка внутри четырехугольника, Inside( n, Q) = 1, что pAB = pAD = length( n, C); pv – перпендикуляр, проведенный

к стороне v, v	{AB, AD}, из точки n.
Поскольку pAB = pAD , точка n лежит на биссектрисе							DAB.
Используя формулу (6.4), найдем уравнение биссектрисы угла DAB из
уравнений прямых AB и AD. Пусть оно имеет вид K1биссx +K2биссy +K3бисс= 0.
Пусть	(x ,y ) – центр окружности радиуса 1, вписанной в угол							DAB
(рис. 6.9). Координаты (x ,y ) являются решением системы
		K1биссx +K2биссy +K3бисс= 0;
		KABx		KABy KAB
		1		2	3	1,

			KAB	2	KAB 2
			KAB	2	KAB 2
	1				2
где K1ABx + K2ABy + K3AB = 0 – уравнение прямой AB.
Полученное решение удовлетворяет условию (x							xA)(xB xA) + (y	yA)
(yB yA) > 0 (	AB<90 ).

Рис. 6.9

Пусть P1, P2 – точки пересечения окружности с центром в точке

и ра-

диусом 1 с прямой AC.

Пусть C' = P ,

{1, 2}: length(P , A) = max (length(P1, A), length(P2, A)).

Тогда искомое значение радиуса

n =

length C, A

(6.9)

length C , A

После определения значения

n максимально возможного радиуса окруж-

ности, нарисованной внутри четырехугольника Q, значение площади окружно-

сти On можно определить по формуле (6.1):

Square(On) =

Таким образом, площадь максимальной окружности, построенной внутри

произвольного четырехугольника Q, можно вычислить по формуле:

S =

(6.10)

где

max

min

k mod 4 1

i, j

1...4 ;

k 1 4 ;

1, 1 i

Inside(M ,Q) 1

xqk mod 4 1

xqk

yqk mod 4 1

yqk

1, i 4.

(см.формулу (6.3)), если

=4;

max(InnerRadius((q( +1)mod4+1,q( +2)mod4+1,E),InnerRadius((q( +1)mod4+1,q mod4+1,F)

(см.формулу (6.8)), если

=2 и (

<90 ) ( <90 )=1,

где – такое число из множества {1…4}, что u

>180 ;

(q( +1)mod4+1, q ,q( +1)mod4+1), =

(q( +1)mod4+1, q ,q( +2)mod4+1);

E=CrossingPoint((q( +1)mod4+1,q mod4+1),(q( +2)mod4+1,q ));

n = F=CrossingPoint((q( +1)mod4+1,q( +2)mod4+1),(q ,q mod4+1));

(6.11)

length(q

, q

1 mod 4 1)

(см.формулу (6.9)), если

=2 и (

90 ) ( 90 )=1,

length q

, q

1 mod 4 1

где – такое число из множества {1…4}, что u

>180 ;

(q( +1)mod4+1,q ,q( +1)mod4+1), =

(q( +1)mod4+1,q ,q( +2)mod4+1);

q ' – точка пересечения прямой (q ,q( +1)mod4+1) и окружности единичного ра-

диуса, вписанной в угол

( q mod4+1,q( +1)mod4+1,q( +2)mod4+1), q '

max(InnerRadius((q

,L,q(

+2)mod4+1), InnerRadius((q mod4+1,L, q(

+1)mod4+1),

(см.формулу (6.6)), если

=0,

где

- такое число из множества {1,2}, что (

T)(L= CrossingPoint

(q ,q mod4+1)(q( +1)mod4+1,q(

+2)mod4+1)).

Контрольные примеры

Рассмотрим расчет максимальной площади окружности, построенной внутри произвольного четырехугольника, на контрольных примерах.

Выпуклый четырехугольник. Пусть задан четырехугольник со сле-

дующими координатами: A(20; 30), B(60; 100), C(100; 100), D(130; 80) (рис. 6.10).

y
	B	C
	n	D
	n
	A
10
O	10	x
	Рис. 6.10

Проверим выпуклость четырехугольника ABCD, получив знаки определителей всех пар его смежных сторон:

sign	xA	xD	yA	yD	sign				130	30	80	sign	110				50	1;
	xA	xD	yA	yD		20			130	30	80		110				50
	xB	xA	yB	yA		60			20	100	30		40			70
sign	xB	xA	yB	yA	sign				20	100	30	sign	40		70		1;
	xB	xA	yB	yA		60			20	100	30		40		70
	xC	xB	yC	yB		100			60 100		100		40		0
sign	xC	xB	yC	yB	sign				60	100	100	sign		40			0	1;
	xC	xB	yC	yB			100		60	100	100			40			0
	xD	xC	yD	yC			130		100	80	100			30			20
sign	xD	xC	yD	yC	sign				100	80	100	sign		30			20	1.
	xD	xC	yD	yC				130	100	80	100			30			20
	xA	xD	yA	yD				20	130	30	80			110			50
	Согласно формуле (6.2), = – 1 – 1 – 1 – 1 = – 4, следовательно, ABCD –
выпуклый четырехугольник.
	Используя формулу (6.4), получим уравнения для биссектрис углов
ABCD.
	1. Биссектриса			DAB.

min

k 1 4

														36
	Уравнение прямой AB в нормированном виде																		7x				4y		20				0, пря-

																		65				65			65
																		65				65			65
мой DA:				5x			11y	230					0, следовательно, биссектриса													DAB определя-


		146					146	146
		146					146	146
ется уравнением							7			5			x	4	11	y		20				230			0,				что при-


							65			146				65	146			65				146
близительно равно 6x – 6,58y + 77,47 = 0.
	2. Биссектриса							ABC.
	Уравнение прямой AB в нормированном виде																		7x				4y		20				0, пря-

																		65				65			65
																		65				65			65
мой BC: 0x + y – 100 = 0, следовательно, биссектриса																				ABC определяется урав-
нением		7x			1		4		y	100				20	0, что приблизительно равно 7x + 4y –

		65					65							65
		65					65							65
826,22 = 0.
	3. Биссектриса							BCD.
	Уравнение прямой BC в нормированном виде: 0x + y – 100 = 0, прямой
CD:	2x			3y			500	0,			следовательно, биссектриса											BCD					определяется
CD:								0,			следовательно, биссектриса											BCD					определяется
13					13		13
уравнением						2x	1	3				y		100	500	0 , что приблизительно равно

					13			13							13
					13			13							13
2x – 0,6y – 139,44 = 0.
	4. Биссектриса							CDA.
	Уравнение прямой CD в нормированном виде:																2x				3y			500				0, пря-
	Уравнение прямой CD в нормированном виде:																											0, пря-
																		13				13			13
мой DA:			5x				11y	230					0, следовательно, биссектриса CDA определя-

		146					146	146
		146					146	146
ется уравнением							2	5					x	3	11	y		500				230						0, что при-


							13	146						13	146			13				146

близительно равно 4x – 49,53y – 4483,4 = 0.

Найдем точки Mij пересечения пар биссектрис смежных углов ui и uj четырехугольника ABCD и расстояния от этих точек до сторон четырехугольника.

Вариант i = 1, j = 2.

Точка пересечения биссектрис углов DAB и ABC – M12 (73,18; 78,5). Inside(M12, Q) = 1. Расстояние от точки M12 до стороны AB равно 22,11, до стороны BC – 21,5, до стороны CD – 32,76, до стороны DA – 22,147.

Минимальная длина перпендикуляра

length(pk) = min(22,11; 21,5; 32,76; 22,147) = 21,5,

где pk – перпендикуляр из точки M12 к стороне (qk, qk mod 4 + 1) четырехугольни-

ка ABCD.

min

k 1 4

min

k 1 4

Вариант i = 2, j = 3.

Точка пересечения биссектрис углов ABC и BCD – M23 (86,352; 55,44). Inside(M23, Q) = 0, следовательно, рассматривать расстояния от M23 до сторон четырехугольника, не будем.

Вариант i = 3, j = 4.
Точка пересечения биссектрис углов	BCD и CDA – M34 (83,66; 86,65).
Inside(M34, Q) = 1. Расстояние от точки M34	до стороны AB равно 27,17, до сто-

роны BC – 13,35, до стороны CD – 20,17, до стороны DA – 25,23. Минимальная длина перпендикуляра

length(pk) = min(27,17; 13,35; 20,17; 25,23) = 13,35,

где pk – перпендикуляр из точки M34 к стороне (qk, qk mod 4 + 1) четырехугольни-

ка ABCD.

Вариант i = 4, j = 1.

Точка пересечения биссектрис углов CDA и DAB – M41 (79,36; 84,11). Inside(M41, Q) – 1. Расстояние от точки M41 до стороны AB равно 24,7, до стороны BC – 15,9, до стороны CD – 24,67, до стороны DA – 24,7. Минимальная длина перпендикуляра к стороне четырехугольника

length(pk) = min(24,7; 15,9; 24,67; 24,7) = 15,9.

Радиус максимальной окружности, построенной внутри четырехугольника ABCD, равен

max		max	min	length pk = max(21,5; 13,35; 15,9) = 21,5,
	i, j	1...4 ;	k 1 4
	j	i 1, 1 i 3;	Inside(Mij ,Q) 1
	j	1, i 4.

где pk – перпендикуляр к стороне (qk, qk mod 4 + 1) четырехугольника ABCD из точки Mij пересечения биссектрис углов ui и uj, если Inside(Mij, Q) = 1, отсюда по формуле (6.8) находим

S =

2 = 21,52 1452,2.

Четырехугольник с самопересечением. Пусть задан четырехугольник со следующими координатами: A (30; 30), B (80; 80), C (40; 100), D (90; 20) (рис.

6.11).

		38
y
		C
		B
		n
	A
10		D
O	10	x
		Рис. 6.11

Проверим выпуклость четырехугольника ABCD, получив знаки определителей всех пар его смежных сторон:


sign	xA	xD	yA	yD	sign				90	30	20	sign	60				10	1;
							30
	xB	xA	yB	yA			80		30	80	30		50				50
sign	xB	xA	yB	yA	sign	80			30	80	30	sign		50			50	1;

	xC	xB	yC	yB		40			80	100	80			40			20
sign	xC	xB	yC	yB	sign				80	100	80	sign			40		20	1;
							40
	xD	xC	yD	yC			90		40	20	100				50		80
sign	xD	xC	yD	yC	sign				40	20	100	sign				50	80	1.
								90
	xA	xD	yA	yD				30	90	30	20					60 10

Согласно формуле (6.2), = – 1 + 1 + 1 – 1 = 0, следовательно, ABCD – четырехугольник с самопересечением. Узнаем, какие именно ребра четырех-

угольника пересекаются. Для этого найдем такое число																											{1, 2}, что выпол-
няется условие (6.5).
		Проверим на пересечение стороны AB и CD (случай																									= 1).
Det			xC		xD		yC		yD							90	100	20		0;
			xC		xD		yC		yD						40	90	100	20
			xB		xA		yB		yA						80	30	80	30
			xB		xA		yB		yA						80	30	80	30
				xA		yA		xC		yC				xD		yD					30			40	100			90	20
				xA		yA		xC		yC				xD		yD				30	30			40	100			90	20
				xC		yC		xD		yD				xA		yA				40	100			90	20			30	30			0,661;
1	xA			yA		xC		yC		xB			yB			xD	yD	30		30		40	100			80	80			90	20



	xC			yC		xB		yB		xD		yD				xA	yA	40	100			80		80		90	20			30	30
2		xA			1 xB			xA			xC 30 0,661							80		30	40			0,461;
					xD		xC										90 40							0,461;

таким образом,

CrossingPoint(AB, CD) = (xA +

1(xB – xA), yA + 1(yB – yA)) =

=(30 + 0,661 (80 – 30), 30 + 0,661 (80 – 30)) = (63,05; 63,05).

Центр вписанной окружности для

ALD находится в точке

LD xA

DA xL

AL xD

LD yA

DA yL

AL yD

60,4;39,7 .

ALD

Согласно формуле (6.7),

InnerRadius ALD

xAyL

xLyA

14,6 .

Центр вписанной окружности для

BLC находится в точке

LC xA

CB xL

BL xD

LC yA

CB yL

BL yD

64,7;77,5 .

BLC

Согласно формуле (6.7),

InnerRadius BLC

xByC

xC yB

Радиус максимальной окружности, которую можно построить внутри че-

тырехугольника Q, получим из формулы (6.8):

n = max(InnerRadius( ALD), InnerRadius(

BLC))=max(14,6;9)=14,6,

следовательно, по формуле (6.10),

S =

2 =

14,62

670.

Звездчатый четырехугольник. Истинно утверждение (

< 90 ) ( <

90 ).

Пусть задан четырехугольник со следующими координатами:

A (20; 20), B (60; 40), C (140; 30), D (10; 100) (рис. 6.12).

y
	D
	n		E
		B	C
			C
10	A
O	10		x
		Рис. 6.12

Проверим выпуклость четырехугольника ABCD, получив знаки определителей всех пар его смежных сторон:

sign	xA	xD	yA	yD	sign		10	20	100	sign		10	80	1;
	xA	xD	yA	yD		20	10	20	100			10	80
	xB	xA	yB	yA		60	20	60	20			40	40
sign	xB	xA	yB	yA	sign		20	40	20	sign	40		20	1;
	xB	xA	yB	yA		60	20	40	20		40		20
	xC	xB	yC	yB		140	60	30	40		80		10


sign	xC	xB	yC	yB	sign			60	30	40	sign	80		10	1;
						140
	xD	xC	yD	yC		10 140 100 30						130		70
sign	xD	xC	yD	yC	sign			140	100	30	sign		130	70	1.
							10
	xA	xD	yA	yD			20	10	20	100			10	80

Согласно

формуле

(6.2),

+ 1 –

1 +

+ 1

= 2,

причем

sign

= – sign

, следовательно, ABCD – звездчатый четырех-

угольник, значение угла ABC которого превышает 180 .

Рассмотрим значения углов

DBC и

DBA.

140

100

BD BC

cos

следова-

тельно,

> 90 .

100

40 20

BD BA

800

cos

следовательно,

< 90 .

Утверждение ( < 90 )

(

< 90 ) истинно. Представим четырехугольник

Q как объединение треугольников

DAE и

DCF, где E = AB

CD; F = BC

DA.

Используя формулы аналитической геометрии, получим координаты точ-

ки E (92, 56) и координаты точки F (16,8; 45,4).

Центр вписанной окружности для

DAE находится в точке

AE xD

ED xA

DA xE

AE yD

ED yA

DA yE

39,7;56,8 .

DAE

DA AE

DA AE ED

Согласно формуле (6.7),

InnerRadius DAE

xDyA xAyD

24.

xA xD

Центр вписанной окружности для

DCF находится в точке

CF xD

FD xC

DC xF ,

CF yD FD yC

DC yF

35;63,5 .

DCF

DC CF

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.09.2019133.12 Кб2Msis_Lektsii.doc
#
24.11.2019439.81 Кб3MU-Ekonomika_predpriatia_dlya_AU.doc
#
11.03.2015240.26 Кб5MU_k_kontr_rab_po_Strateg_prodv_tovara (1).doc
#
11.03.20151.37 Mб21MU_LR_1sem_2013.doc Методичка информатики.doc
#
12.03.20151.91 Mб13MU_LR_Informatika_1.pdf
#
12.03.20151.08 Mб4mu_po_oformleniyu_mat_razdela_k_i_dp.pdf
#
11.03.2015218.62 Кб79MU_RYaiKR_Zhdanova.doc
#
06.05.2019169.47 Кб5MY.doc
#
22.03.201652.42 Кб2na_pechat.docx
#
14.09.2019298.04 Кб18Neparametricheskie_kriterii.docx
#
11.03.2015116.74 Кб11Nepravilnye_glagoly.doc