книги / Метод конечных элементов в расчетах сложных строительных конструкций

четырем условиям неразрывности и плавности на концах КЭ, располо­ женного слева от I -го узла, н четырем условиям для КЭ справа от Уела. Эти требования выполняются, если строить координатные функ­ ции из двух кубических полиномов, плавно сопрягающихся в узле.

Матрица (рф для j -го конечного элемента содержит 4 ненулевых ком­ понента, которые соответствуют единичным смещениям (линейным и у г - /щ- /м) уэДов i ио i + 1, расположенных по концам КЭ:

и» ■ t 00 ■ ■ ■ 0 С С

1ДР

4 , ^

с - Й

Рис. 1.8

С .

М

-	°1	(1.45)
+1 ]=
I — т — т	•
j-	)
Ццея специального вы­

бора координатных функций, проиллюстрированная выше на примерах одномерных за­ дач, особо плодотворна в двумерных и пространствен­ ных задачах, хотя техничес­ ки реализуется в этих слу­ чаях, конечно, более слож­ но. Например, для изгибае­ мой пластинки, фрагмент ко­ торой с обозначенными узла­ ми н прямоугольными конеч­ ными зленюнтнл.,, - показан на рис. 1 .8, а , каждому узлу соответствуют три коорди­ натные функции, характери­

зуемые	единичным прогибом
tiTL =	I	(рис. 1 . 8, 6) и		дву­
мя углами			поворота 8^	- I
и 8уД =		I	(рис. 1 . 8, в ,г ) .
Каждая из			функций определе­

на в области четырех конеч­ ных элементов, окружающих

’/рол. Аналитически

функции $£(!)(<*•= I* 2 , 3 ), являющиеся компонентами матрицы ф ^ , описываются кубическими полиномами (здесь они не приводятся, так как будут получены в главе 2 ). Всего в матрицу ф ^ входят 12 нену­ левых компонентов - по 3 для каждого из четырех узлов, расположен­

ных в углах j	-го КЭ.
С учетом	вышеизложенного можно сформулировать важнейшую осо­
бенность МКЭ:	б нем, по существу, реализуется.метод Ритца со спе­

циальным выбором координатных функций. Кроме того, что эти функции определяются в ограниченных областях, они имеют простую геометри­ ческую интерпретацию, представляя собой перемещения, характеризу­ емые единичными смещениями узлов системы. Не следует понимать их

как перемещения,	в о з н и к а ю щ и е	о т	единичных смещег
ний узлов (хотя	в некоторых частных случаях, например, в системах,

дискретных		по своей природе, это справедливо), так как распределе­
ние	перемещений в области			определения координатной функции		з а ­
д а е т с я		приближенно,		в частности,	в приведенных вш е	приме­
рах	- полиномами ,		и редко	когда удается	предсказать его точно.
	В заключение		отметим два обстоятельства:

1)легко увидеть, что для любого конечного элемента матрицу

ф^ можно получить, рассматривая смещения только его узлов, безот­ носительно к другим ИЗ; эта возможность будет использована в даль­ нейшем;

2 ) в приведенных в данном разделе примерах координатные фун­ кции и' матрицы (fyjj получены достаточно просто потому, что все КЭ

системы	ориентированы одинаково относительно общих осей	коорди­
нат; при	ином расположении КЗ решение усложняется, тогда целесооб­

разно использовать локальные (местные) системы координат для каж­ дого КЗ с последующим преобразованием полученных результатов в об­ щую систему координат.

1 .5 .2 . Матрица жесткости конечного элемента * Совершенно очевидно, что матрица внешней жесткости системы

(то'есть ансамбля		конечных элементов) X. зависит от жесткостных
свойств	элементов.	Аналитическим подтверждением этого	служит	вы­
ражение	(1 .4 2 ).
Подобно тому, как матрицаЗС характеризует систему			в целом,	от­

дельный элемент можно описать его матрицей жесткости. Чтобы раск­ рыть это понятие, рассмотрим некоторый конечный элемент системы (рис. 1 .9 ), имеющий rtj узлов.

Перемещения элемента ха­ рактеризуются вектором

(1.46)

			где		= [ u tj	irtj	шч ] т		-
			вектор	перемещений узла				Xj	;
		£	его компоненты определены по
		)	направлениям			л	о к а	л ь	­
			н ы х		или, что		то же	самое,
			м е с т н ы х			(собственных)
			осей координат			элемента		(рис.
		Рис, 1 .9	1 .9 ) .	Распределение перемеще­
			ний в	объеме элемента при этом
считается		известным:
		zr			Г			(1 .47)
где	-	функциональная матрица, имеющая для			j -го	конечного эле­

мента такое же значение, как матрица координатных функций ф для

всей	системы	(1 .37).			Подобно тому, как для те­
				ла в целом вектору перемещений
				& -соответствуют в качестве
				обобщенных сил расчетные узло­
				вые нагрузки				F ,	так и для
				рассматриваемого					элемента век­
				тору узловых				перемещений Aj
			1J	можно поставить в					соответствие
				вектор			у с л о в н ы х
				у з л о в ы х				у с и л и й
				= TsT		sT		sT		(1 .40)
									Srr
				L	1J		2 j-”		Щ	*
				где	8ц	-	[ S ^		SJ>ti] T-
вектор условных усилий в узле			t j	( рис,		1 . 10) 7’
	Размерности векторов Aj		и Sj одинаковые				- равные		суммарному
числу	степеней	свободы узлов	элемента R0j =1^П Д					(здесь 1ХД - чис­
ло степеней свободу одного у зл а).

Кроме ликейньпс перемещений			в вектор Aj могут	входить и углы
поворота узлов, тогда в вектор		Sj добавляется соответствующее			чис­
ло условных узловых моментов.
Отметим,	что в общем случае		компоненты Sj не являются реаль­
ными усилиями	в узлах - это о б		о б щ е н н ы е	с и л ы ,	экви­

валентные (в энергетическом смысле) распределенным по граням эле­

мента усилиям. Как будет показано далее,	сами по	себе	усилия Sj не
входят в формулы для определении усилий	и напряжений		в элементе.
И лишь для стержневых систем, в которых	элементы соединяются друг
с другом только в узлах, сосредоточенные	силовые	факторы Sj пред­

ставляют собой действительные усилия в концевых сечениях стержня. Патрицей жесткости конечного элемента Kj называется квадрат­ ная матрица, осуществляющая линейное преобразование вектора пере­

мещений узлов элемента в вектор узловых усилий:

Sj = Кj Aj .	(1.49)
По аналогии с матрицей жесткости системы ЭС можно определить
физический смысл .компонентов матрицы Kj -	это условные узловые усн

лия, соответствующие единичным смещениям узлов конечного элемента. Способы формирования матриц жесткости конечных элементов **-

лагаются' в главе 2 .

1 .5 .3 . Связь между матрицами жесткости системы и конечных элементов

Рассмотрим задачу определения произвольного компонента матрицы DC (1 .2 4 ), (1 .25), используя принцип Лагранжа. В качестве'воз­ можных перемещений примем перемещения системы от единичного смеще­

ния	1 -го	узла б ^ = I*) по направлению искомого усилия		("реакции")
^itcUkfe)' ^гРаЕНвнив возможных работ сил состояния, в копром					воэнкка-
ет Ц	к(р)(это состояние отвечает единичном!' смещению			‘	I ) , на
указшшых		возможных перемещениях:
		Wk(£),vW	wkfj),iW - О ,	(1 .50)

где два слагаемых обозначают возможную работу внешних и внутренних сил единичного состояния к(6) на перемещениях единичного состояния

Ц с О .		лишь одна 1^ ^ совершает работу на
Из всех внешних сил			единич­
ном перемещении	= I	(точки приложения остальных узловых	сил

*^Роль б ^ д могут играть U,^ , \Г^ и т .д ., в зависимости от cL .

W,CTt	- г	i	( I . 51)
wW*UW		iM.kty) 1*
Возможную работу внутренних сил определим поэлементно. Приме­
нив принцип Лагранжа к выделенному		из системы	j -му КЗ, получаем
w k(f),i(d)		Wk(j»),i(d) U*	(1.52)
Поскольку Ef единичном состоянии отсутствуют заданные нагруз­
ки, то внешними по отношению к	элементу силами		будут только рас­

пределенные по его граням усилия взаимодействия со смежными эле­ ментами. Используя эквивалентные' им условные узловые усилия (1 .46) находим

					W,ext.i		1,/.чА; :г,\,				(1.53)
						\“
						k(^),i(ci)	j.kty) j,te)1
где	усилия		относятся			к состоянию		k (ji),	а	перемещения А .• , . -
к состоянию l(<t).											J*
	Просуммировав уравнения (1.52) для всех элементов системы,
учетом (1.53)			имеем		m	т		©,v/Urt,j		_ п
					? Д к (р )Ли ( 1)			5 %	. т	~ °-	(1-54)
	Поскольку		£			•-		то после		объединения (1 .5 0 )г
11.51) и		(1.54) получаем
					ri& ),k(pr^k(p),i(d)’						(1-55)
где	W.s,	., .= ZJ ST,,			Д.., - возможная работа условных узловых уси-
			j=i	J.k(p) j.iW
лий	всех	элементов		в	единичном состоянии к(р)(от 6^ ) =						I ) на пере­

мещениях узлов элементов В единичном состоянии i(dl) ; соответству­

ющем смещению	I .
Согласно	(1 .4 9 ), усилия S j ^ можно вправить через перемещения

Ai,k(j>):	«	л .	й1,Щ) ’	(1.56)
тогда	Ч,к(&)	Ч
	J		'
	Пк			(1.57)
	Ги ^ к ( р р	Aj,i(ci) Kj \ Щ У

Формула (1.57) устанавливает связь между произвольным компо­ нентом матрицы жесткости системы и матрицами жесткости конечных

элементов. В полной матричной	записи (1.57) имеет вид
	(1.50)
rt m	( p > 'Ai(d)KAkty)'

26

л	Ат	Лт	T L
4t(AY--'a j,t(A)’** V«<fcOУ ; Дк<fl~М,к(>)•* ' Д1			k(f)•••Vk(p)J
гдв A tw -W		элементов от единичных смещений W '1
векторы перемещений узлов
и б^- I соответственно;		К ■f ^ Kr ..Kj... Кт ]	- блочная

диагональная матрица внутренней жесткости ансамбля КЭ в локальных осях координат.

Узлы конечных элементов совпадают с узлами системы С раз­ дел 1.4)» поэтому перемещения Aj некоторого элемента зависят от

перемещений системы	& ,	что	выражается матричным соотношением
	V	-	g	V	r Hi s -
где Hj = [ Hj1	... Hj a ]			-	прямоугольная числовая патрица
размерами n0j* f r v		матрица размерами 11^* Т1^, определяющая

зависимость перемещений j -го КЭ (в локальных координатах) Д^ от перемещений i -го узла системы 8^ (в глобальных координатах):

нк = ^tj.i Ht j ,l = [ Н* Ш • *• Htj,L(d) ‘* • Htj,Knt)] ;

н.

t

-

номер узла j -го

КЭ.

Компонентами матрицы

являются проекции единкчныг переме­

щений

С-го

узла

системы

6^ =

1

( oL=

I ,

) на

локальные оси

координат

j -го

КЭ. Эти проекции равны направляющим косинусам ло­

кальных осей

Xj 1

ijj

и Hj

относительно

глобальных

осей 2

. t) к £

Если

t -ый узел

не совпадает

ни с

одним уалои j -го

элемен­

та, то

вся

матрица

HJJ, -

нулевая. При совпадении

i -го узла с не­

которым t

-ын узлом

j -го

КЭ упомянутые направляющие косинусы вхо­

дят в

блок

^ . Например, если

i -ый узел системы совпадает с

узлом

2.

элемента,

изображенного

на рис.1.9

( Tl;

= 4 ), то

J

'о

о

о"

V

«

COS (XjX)

С0$(Х|У) C0S(XjZ)

о

о

;

cos(yJx)

cos(yj\j)

cos(tjjfc) . Ц.60)

о

о

LcOS(ljx)

COSCijV) COS(Eji)

Если матрицу

представить

в виде н31- [HjyL«...Hu w ...Hye4

предположив,

что

в векторе

0^ все компоненты нулевые,

кроме

x,i(cL)= I или

6цд=

I

( что отвечает рассматривавшимся выше единич­

ным состояниям t(d) или k(JJ)),

из

(1.59)

получим

Д. .

/ ..—Н. •.,ч

или

27

С учетом ( I . 6I ) перепишем формулы (1 .57) и (1 .5 8 ): та

(1.62)

По аналогии с (1 .62) для матрицы жесткости системы:

(1.63)

Матрица И . определяющая связь между матрицей внешней жест­ кости системы ЭС и матрицей внутренней жесткости ансамбля конечных элементов К , выражает также вектор перемещений узлов всех элемен

вектор основных неизвестных - пе-

Д = Нб .

(1.64)

Отметим важную особенность матрицы Н . Для получения Н и объ­ яснения, смысла ее компонентов использованы геометрические сообра­ жения, основанные на анализе преобразования векторов перемещений. Но возможен иной подход - статический, приводящий к другому истол­ кованию компонентов матрицы Н : они представляют собой коэффициен­ ты при узловых усилиях конечных элементов в уравнениях равновесия узлов системы, записанных для всех единичных состояний. Чтобы убе­

диться	в этом,	подставим (1 .61)		в (1 .5 5 ),	откуда
		Г.	=Н Т	S	(1*65)
а для	системы	tttlMM	Ш )	kfo)*-
		В целом

Очевидно, что (1 .65) й (1.66) - уравнения равновесия, поско­ льку они связывают "реакции" (левые части уравнений) и усилия в уздах элементов. При этом матрица Н и ее компоненты приобретают

указанный выше статический смысл.	матрицы Н является
Обнаруженная двойственность			еще одним про­
явлением уже упоминавшейся ранее	в разделе	1 .3 статико-геомет­
рической аналогии уравнений механики.
Соотношения (1.62) и (1 .63)	принципиально решают наиболее
сложную часть проблемы формирования.уравнений		МКЭ -	получение

матрицы ЗС (коэффициентов уравнений). Сопоставляя				(1 .63)	с (1 .4 2 ),
находим,	что	V	HI KJ V		(1 .67)
Эта формула раскрывает технику поэлементного вычисления мат­
рицы жесткости системы; из		нее	следует, что для	каждого	конечно­
го элемента нужно составить:
1)	матрицу преобразования		Hj ;
2 )	матрицу жесткости	Kj .
Формирование матриц Hj -			легко алгоритмизируемая задача, ре­

шение которой на ЭВМ может быть выполнено полностью автоматически Поскольку матрицы Hj зависят от геометрии и структуры системы,

а также от принятой последовательности записи компонентов матриц перемещений узлов системы и узлов конечных элементов, то в каче­ стве исходных данных в ЭВМ вводится геометрическая и топологичес­

кая	информация о системе - координаты узлов в глобальных осях X
1}	, ъ и сведения о связи узлов системы и конечных элементов.
	Матрицы Hj обычно слабозаполненные, поэтому при реализации

расчета на ЭВМ прибегают к специальным приемам их хранения и об­ работки, позволяющим оперировать только' с ненулевыми блоками мат­ риц. Это несколько усложняет логику программы, но дает болыцую

экономию памяти ЭВМ и сокращает, время счета.
Построение матриц жесткости		конечных элементов	известных
типов	также хорошо программируется для ЭВМ. Наиболее		сложной и
важной	проблемой является получение	матриц жесткости конечных

элементов новых типов, для чего существуют достаточно универсаль­ ные способы, рассматриваемые в следующей главе.

1 . 6. Общий алгоритм расчета сооружений методом конечных элементов

Основными этапами расчета являются:

1)составление конечноэлементной расчетной схемы сооружения

свыбором наиболее подходящих типов элементов и оптимальной сет­ ки узлов, в частности, со сгущением сетки в зонах предполагаемой концентрации напряжений ;

2)формирование системы канонических уравнений МКЭ:

.- построение матрицы жесткостиЗС (коэффициентов уравнений);

-определение расчетных узловых нагрузок F (свободных членов ураэ нений);

-учет условий закрепления;

3)вычислениз перемещсни'- у з" 0Ь & (решение ургвнениЦ Ж ? );

4) определение	искомых усилий и напряжений.
Принципиальная	схема получения матрицы ЗС дана	вш е	(фор­
мулы (1 .4 2 ), (1 .6 2 ),	(1 .6 3 ), (1 .6 ? )), а методика и	техника постро­

ения матриц жесткости отдельных конечных элементов излагаются в главе 2 .

Для вычислен^ узловых нагрузок F от внеузловых воздействий, а также для определения усилий и напряжений по найденным перемеще­ ниям узлов ? используются, как будет показано в главах 3 и 5 , не­ которые из матриц, фигурирующих на стадии составления матриц жест­ кости конечных элементов.

2 . ФОРМИРОВАНИЕ ПАТРИЦ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Существуют два основных способа подучения матрицы жесткости конечного элемента в локальной (собственной) системе координат - энергетический и способ единичных смещений узлов элемента.

2 .1 . Построение матриц жесткости КЭ энергетическим способом

2 .1 .1 . Сущность способа

В основу способа положено исследование потенциальной энергии упругой деформации элемента. Схема подучения матрицы жесткости элемента Kj в точности повторяет схецу получения матрицы внешней

жесткости системы ЗС , изложенную в главе I .						Отличия состоят			в том,
что при построении матрицы ТС использовалась						глобальная		система
координат и рассматривалась система э целом,						а	при формировании
Kj все величины определяются			в локальной системе координат дан­
ного	j -го элемента и в пределах			этого	элемента.
Потенциальную энергию упругой деформации элемента можно выра­
зить, с одной стороны, через перемещения узлов							элемента	(1 .46) и
соответствующие		им обобщенные условные узловые					усилия (1 .4 7 ):
		LL = 4г SJ Дj						(2 .1 )
или,	с учетом (1 .4 9 ), через перемещения				и матрицу жесткости				эле­
мента		,	_					(2 . 2 )
		U = -£ A jK jA j,
а с другой стороны - через деформации в					объеме		элемента	по	ана­
логии	с (1 .27) -	< 1 .3 1 )г
		t t = ? f o	V	vr ?	| EJ Dj ej 4V			(2 .3 )
		”			j

20