книги / Переходные процессы в транзисторе и методы расчета импульсных схем

Если, кроме того,	то из ф-лы (2.32) следует
т	~ Lapw	(2.34)

Dn '

Последнее соотношение дает время пролета чисто дрейфового транзистора. В этом легко убедиться. Как было показано в преды­ дущем параграфе, при экспоненциальном распределении примесей электрическое поле в полупроводнике постоянно, а следовательно, скорость движения электронов под действием поля также постоян­ на и равна v= —рп£ 0.

Учитывая (2.14) и (2.7), в нашем случае получим

		Da		(2.35)
При равномерном движении носителей время пролета может
быть найдено из соотношения		w	wLnр
	_
	т” “	Т	ц Г '
т. е. мы получили ф-лу (2.34).
Величина	характеризует		распределение примеси в базе

транзистора и определяет соотношение между процессами дрейфа и диффузии. Он выражается также отношением концентрации у

переходов —— = 1п—- .
*>вр	можно записать в следующем виде:
Формулу (2.31)
	т „ =	и/®
		2 Dn-У.
	2 isE ^ l_i5P ^1 — е t,Ip) j .
Функция у зависит только от указанной величины. Если она
мала, то у& 2	и время пролета выражается		формулой для
чисто дрейфового транзистора. Если же отношение			велико, то

значение у стремится к единице, так как

lim w = 1.

£пр. _

Время пролета в этом случае соответствует времени пролета бездрейфового транзистора.

41

Функция у представлена на графике		рис. 2.3. Из графика вид­
но, что при	< 0 ,2 транзистор можно	считать чисто дрейфовым,

т. е. в этих условиях процесс диффузии не влияет на время про­ лета.

§ 2.3. Анализ переходных процессов в идеализированной модели транзистора

Анализ процессов в реальном транзисторе сложен ввиду слож­ ности его геометрии и нелинейности описывающих е<по математиче­ ских соотношений. Поэтому здесь ограничимся рассмотрением идеализированной модели, которая позволяет получить качествен­ но верные результаты.

Примем следующие упрощающие предположения: 1) модель транзистора одномерна;

2 ) перенос носителей в полупроводнике определяется линейны­ ми соотношениями (законами, сформулированными в § 2 .1);

3)коэффициент диффузии сохраняет постоянное значение во всем объеме базы;

4)ширина базы остается неизменной (не учитываются ее из­ менения, связанные с изменением толщины переходов).

Будем считать, что транзистор находится в активном режиме и, следовательно, концентрация носителей у коллектора равна ну­ лю: n(w, t)= 0. Транзистор был в нулевом начальном состоянии, и в момент ^ = 0 в его эмиттере начинает действовать заданный ток i9u(t) (см. рис. 2 .2 ).

Ограничимся рассмотрением такого случая, когда концентрация акцепторной примеси в базе убывает по экспоненциальному зако-

42

ну с ростом х. В этом случае, как указано в § 2.1, напряженность

электрического поля сохраняет постоянное значение, равное

S . =	(2.36)
^пр
и направлена против оси х.	координатой х согласно
Ток в произвольном сечении базы с
(2 .8 ) и (2.36) представляется формулой
=	(2.37)

Учитывая, что положительное направление тока совпадает с соответствующим направлением оси х, величина токов у переходов будет равна /(0 ,0 = —Ьм, i(w, t)= —iKK.

Таким образом, в нашем случае физические процессы в базе транзистора описываются уравнением непрерывности (2 .10), кото­

рое с учетом (2.36) принимает вид

	dn	__n d*n	D„	dn	n	(2.38)
			L„p	dx	xn
	dt	“ Un dx*
	с граничными условиями:
		x = 0 ;	i = —			(2.39)
		x = w,	n (w, t) = 0			(2.40)

и нулевыми начальными условиями.

Для решения дифференциального уравнения в частных произ­ водных (2.38) воспользуемся преобразованием Лапласа. Изобра­ жение зависимой переменной, определится соотношением

п «±= J e pin(x, t)dt.

о

Изображение п является функцией координаты х и комплексно­

го параметра р, п=п(х, р).

Учитывая независимость переменных х и / и нулевые началь­

ные условия задачи, получим операционное уравнение в следую­

щем виде:
_	_	р	-----
с Р п _______1_ d n _____ Т„			- _ Q	(2.41)
d *	Lnp dx		Dn
	x= 0	Г------- i.		(2.42)
	x — w	n = 0 .		(2.43)

43

Для изображения тока из	(2.37) получим
r = , D „	s ( - ^ r « + 4 f ) .	(2.44)

Соотношение (2.41) представляет собой обыкновенное диффе­

ренциальное уравнение относительно п, причем коэффициент при третьем члене зависит от параметра р. Общее решение этого диф­

ференциального уравнения может быть представлено в следующем

виде:
л = е np[j4(p)shsx-f£(p)chsA:],		(2.45)
S=	l / *1% + l l + D„P ’	(2.46)
где А(р) и В(р) —	произвольные постоянные, зависящие от па­
_____	раметра р, которые должны быть определе-
	ны из Граничных условий;

Ln= V D aхп — диффузионная длина.

Для определения произвольных постоянных с помощью усло­

вий (2.42) и (2.43)		можно составить два следующих уравнения:
	sh sw А (р) -f ch sw В (р) = О,
	sA(p)—			/эм	(2.47)
				qDnS
Подставляя полученные значения произвольных постоянных в
соотношения	(2.45)	и опуская промежуточные выкладки,			получим
следующие формулы:
	г	“	1	sh (x—w)s	(2.48)
			qDnS _	1_ •shsw-4-s ch sw
			2 £пр
			w
			ch sw	— -----sh sw	(2.49)
				2 LnpS
Из (2.49)	непосредственно следует выражение для коэффициен­
та передачи транзистора по току:
				W
				е^*пр	(2.50)
		« (р )------------ --------------•

chsa»4- “гг---- shstij

2L„pS

В дальнейшем будем также применять обозначение

44

(2.51)

Полученные выражения для изображений сложны. Т. М. Агаханян вычислил ряд переходных характеристик для различных соотношений параметров транзистора, представив соответствующий оригинал с помощью ряда [20]. Эти кривые приведены на рис. 2.4. Коэффициент TJ в данном случае определяет роль электрического поля и в принятых здесь обозначениях выражается формулой

= “	^пр		Кроме того, используется обозначение T I > = —
*							2Da
Как будет показано в ^<х.Ш
следующей			главе,			переход­
ная характеристика						транзи­
стора	при		подаче			сигнала
на базу прибора с достаточ­
ной на практике					точностью
представляется				.экспоненци­
альной		кривой,		постоянная
времени		которой			определя­
ется	параметрами					прибора.	Рис 2 4
Учитывая,			что	в	-импульс­

ной технике в основном используется именно такое включение транзисторов, детали формы переходной характеристики транзи­ стора при подаче тока в эмиттер практически не влияют на свой­ ства прибора. Определяющим фактором являются значения пара­ метров ссо и Ттм, которые могут быть вычислены непосредственно

по коэффициенту передачи.	тока транзистора может
Статический коэффициент передачи
быть найден с помощью предельного	соотношения ао = Пт а(р).
	Р- 0
В нашем случае из (2.50) и (2.51) получим
«г	(2.52)
chs0w + -

Разлагая полученное соотношение в ряд по степеням малой ве­ личины Lnp/Ln, которая входит в формулу для s0l приходим к про­

стому приближенному выражению
ао	(2.53)

•Время пролета носителей через базу транзистора, «ак показано в первой главе, может быть вычислено по коэффициенту передачи

транзистора (табл. 1.8 ) с помощью соотношения тТм = ----- - lima'CpJ. a 0 P—0

45

В нашем случае из ф-лы (2.50) можно получить
а'(0) = -	( oJshs0oH------ — ch s0w—		s h s 0 ifl	(2.54)
2Das0	^ • 0	■ 2LjiPs0	2 L „ ,

Процессы рекомбинации мало сказываются на времени пролё­ та, поэтому для простоты исключим их. из рассмотрения, полагая

Ln=oo. В этом случае из		(2.51)	и (2.53)	следует
			1		(2.55)
			2 1 „ р
			а о-		(2.56)
Подставляя (2.55)	и	(2.56)	в (2.54), получим		выражение
и п					sh 2 Lnp
которое легко упрощается и дает
а' (0 ) = — ( blP— — ijp .-L				е V	j
■	\	D„	Dn ’	Dn	)

Таким образом, для времени пролета получаем окончательную формулу

(2.57)

Для выяснения физического смысла полученных соотношений рассмотрим важные частные случаи — бездрейфовый и чисто дрей­ фовый транзисторы.

. В бездрейфовом транзисторе примесь в базе распределена равномерно, т. е. 1щ ,=оо. Таким образом, в этом случае из (2.50) следует

	а (р) =	1	(2.58)
		chsa>
	s =		(2.59)
	Статический коэффициент передачи получим, полагая в		(2.58)
	и (2.59)
	а0 =	_1	(2.60)
		2

Формулу для времени пролета получим, разложив в ряд выра­ жение (2 .5 7 ) по степеням дроби wfLup и ограничившись членом

46

второй степени:

1 от

(2 .6 1 )

~2~Dn

Выражение для коэффициента передачи (2.58) можно теперь записать, используя последнее соотношение и учитывая, что L* =* =Dnrn, в следующем виде:

	сс(р)	________ 1_________		(2.62)
		ch ] / 2 TTJ[ -f	j

Процессы рекомбинации, как указывалось выше, мало сказы­ ваются на переходном процессе в транзисторе (они определяют значение статического коэффициента усиления). Отсутствию ре­ комбинации в полупроводнике соответствует бесконечное время жизни носителей. Полагая тп= °°, получим следующую прибли­ женную формулу:

(2-63>

Из этого выражения видно, что переходные процессы в бездрейфовом транзисторе в указанном приближении определяются только одним его параметром — временем пролета носителей тт«.

Форма переходной характеристики для этого случая показана на рис. 2.4 (кривая, соответствующая параметру Y] = 0). Эта кри­ вая близка к экспоненциальной, но имеет небольшое начальное за­ паздывание.

В -случае чисто дрейфового транзистора для нашей идеализации

время пролета носителей равно ттм=	т. е. дисперсия време»
А.	коэффициент передачи
ни пролета равна нулю. Таким образом,
в данном случае можно представить выражением
о(р) = о«е РЧ	(2.64)

Сигнал, поданный на вход идеального дрейфового транзистора, без искажений задерживается на величину тТм-

§ 2 .4 . Описание переходных процессов в транзисторе с помощью

заряда в базе

При прохождении тока через транзистор в его базе происхо­ дит увеличение концентраций носителей обоих знаков по сравне­ нию с их равновесной концентрацией. Увеличение концентрации за счет потока неосновных носителей компенсируется соответствую­ щим увеличением концентрации основных носителей, и полупро­ водник, образующий базу, остается нейтральным.

Будем называть зарядом базы QQ абсолютную величину обще­

го заряда носителей в базе прибора, который образуется за счет

47

прохождения тока через транзистор. Заряд базы определяется фор­ мулой Q6=\qndV, где интегрирование ведется по всему объему

	п	базы		W	Это определение ил­
		люстрируется					графиком		рис.
		2.5,		на	котором заряд				базы
		представляется					заштрихован­
		ной	площадью				для	двух .ре­
		жимов работы прибора.							про­
			Во время переходного
		цесса		в	транзисторе			происхо­
		дит		изменение			заряда		базы.
		В	случае			большого		сигнала
		транзистор				часто рассматрива­
		ется		как прибор, управляемый
	Рис. 2.5	зарядом			[16, 21 ].
			Определим				вначале		связь

заряда базы с током эмиттера и коллектора. В одномерной моде­ ли транзистора, имеющего площади переходов S, часть заряда ба­

зы, заключенная между плоскостями х h x+ dx,		определяется со­
отношением	:
	dQ6 = qn(x)Sdx.	(2.65)

С другой стороны, плотность заряда базы qti(x) можно связать со средней скоростью движения носителей v(x). Действительно, согласно (2 .1) ток транзистора i(x) в сечении х будет равен i(x) = = —qn(x)v(x)S. Используя теперь (2.65) и отбросив знак, будем

иметь

Следовательно, общий заряд базы будет интегралом последнего выражения

М	,и £ -	(2.66)
Выполняется неравенство		так как значение тока

ъ любом сечении базы находится между значениями тока эмитте­

ра, и коллектора, поэтому справедливо также		неравенство
Ьи
Учитывая выражение для времени пролета		(2.16), можно на­
писать
Хщ hu	Хт iкы*	(2.67)

48

Это неравенство справедливо для мгновенных значений вхо­ дящих в него величин. Оно может быть получено и для трехмер­ ной модели транзистора с произвольной геометрией и применимо как к бездрейфовым, так и к дрейфовым транзисторам.

Встатике это неравенство совпадает с соотношением (1.58), полученным для линейной системы из общих соображений.

Втранзисторе происходит накопление заряда во всей базе, однако различные ее участки неравнозначны. В активном режиме концентрация носителей у коллекторного перехода равна нулю. При подаче ступенчатого импульса тока в эмиттер вначале растет концентрация носителей у эмиттерного перехода, поэтому предпо­ ложим приближенно, что в основном заряд накапливается у эмиттерного перехода и образуется за счет входного тока. Тогда соглас­ но (1.5G) для статического режима

Qa— TJMЬи$	(2.68)
	(2.69)

Если токи в транзисторе меняются относительно медленно, т. е.

ттм ~г <.i, £>гтм> то соотношения (2.68)-и (2.69) приближенно a t

выполняются и в динамическом режиме. Поэтому в дальнейшем будем считать, что в этом случае справедлива формула

(2.70)

Это первое важное соотношение, которое лежит в основе ме­ тода заряда. Заряд в базе и ток через прибор для рассматривае­ мых относительно медленных процессов однозначно связаны ко­ эффициентом пропорционально.сти.

Отрицательный заряд в базе прибора, создаваемый потоком электронов, компенсируется равным положительным зарядом ос­ новных носителей (дырок). Управляя последним, можно изменять величину тока прибора. Таким образом, транзистор можно рас­ сматривать как прибор, управляемый зарядом.

Заряд основных носителей изменяется за счет дырок, проходя­ щих через базовый электрод (ток базы), и процесса рекомбина­ ции. Установившееся значение заряда соответствует состоянию ди­ намического равновесия этих процессов.

Для рассматриваемых относительно медленных процессов вре­ менем пролета носителей через базу обычно можно пренебречь. Однако время пролета определяет связь между током прибора и зарядом и потому является важнейшим параметром прибора.

Получим соотношение, связывающее заряд базы с током базы. В следующей главе показано, что для рассматриваемых относи­ тельно медленных процессов для любого транзистора коэффициент

49

передачи тока в активном режиме определяется формулами:

ТР = ( Р о + 1) 'Гтм.

Тогда из соотношения (2.70) следует, что

& = - г т -------

<2-71)

Этому операционному соотношению соответствует дифферен­ циальное уравнение

(2-72)

Это второе важное соотношение для заряда базы может быть получено непосредственно из рассмотрения физических процессов в бездрейфовом транзисторе. Рассмотрим баланс носителей в базе бездрейфового транзистора. При этом можно предположить, что время жизни носителей остается неизменным во всем объеме ба­ зы. Изменение заряда базы за единицу времени можно предста­ вить следующим образом:

at - — общее изменение заряда;

------— Q6 — изменение заряда за счет рекомбинации;

{Эм—1км = {бм — изменение заряда за счет внешних токов через

переходы.

Указанные изменения заряда должны компенсироваться, так как база сохраняет электрическую нейтральность. Таким образом, получаем

^	+ - L Q6= < « .	(2.73)
at	хп

Из сравнения соотношений (2.72) и (2.73) следует, что пара­ метр т р для бездрейфового транзистора совпадает с временем

жизйи носителей в базе тп. Для дрейфового транзистора величина Тр представляет собой некоторое взвешенное время жизни, усред­

ненное по всему объему базы.
Рассмотрим некоторые частные случаи:
1-	й с л у ч а й . Для статического режима dQe/dt= 0				и, как сле­
дует из	(2.72),
		<2б = тр{бм.			(2.74)
Следовательно, установившееся значение заряда базы транзис­
тора определяется параметром тр и значением			тока	базы.
2-	й с л у ч а й . Для	моментов времени	т р	явлением рекомби­
нацииможно пренебречь,		так как в начале процесса заряд			базы
£0