книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта

всех плоскостях, перпендикулярных к оси хз, поля одинаковы, что дает основание считать картину потока не зависящей от этой оси.

Пусть дан вектор

—i>i = ац/ 1 + а12/г 1

(III.27)

—Х>2= 02111+ «22^2 j

Составим скалярное произведение v •/, которое как раз и бу­ дет равно билинейной форме (III.23), если предположить, что

=TI,\ Итак, коэффициенты а,-/ билинейной формы являются

коэффициентами этого вектора. Поэтому формула (II 1.27) дает возможность определить значения этих коэффициентов в новой системе координат.

Представим в табл. III.1 значения косинусов углов для ста­

рой (* i,

*2, хз)

и новой

( х '

, х '

, х ' ) ,

повернутой

на

угол а ,

системы координат.

Т а б л и ц а

III.1

Переход от старой системы координат

к новой

Х \

Х г

х '\

/ ц

— COS а

1 \ 2

=

sin а

/ 22 =

COS я

х 2

Л>1

= s in

а

Коэффициенты новой системы координат

«11 =

/?1«11 +

^ llll2 « 1 2 + Лг^21«21 +

Лг«22

«12 =

A l^21«ll

+

^11^22«12 +

^12^21«21 +

^12^22«22

(III.28)

021 =

^21^11«11

+

^21^12«12 +

^22^11«21 +

^22^12«22

022 =

lIlO ll +

^21^22«12 + ^22^21«21 +

^22«22

Учитывая, ЧТО « 1 2

=

а 21> получим « ,12=

“ 2 1 »

т -

е-

В

л1°бОЙ

другой

системе

прямоугольных координат

условие

аг-;-=

со­

блюдается. Такой тензор называется симметричным.

Можно показать, что существует единственная система пря­ моугольных координат, для которой коэффициенты со смешан­ ными индексами равны нулю а,-; = 0. Эти направления назы­ ваются главными направлениями тензора. Для этих направле­ ний, очевидно, имеем

—Ul = Ctn/i, —«2 = «22^2-

61

Отметим, что по одному главному направлению величина про­ ницаемости достигает максимального, а по другому— минималь­ ного значения.

Если старая система координат (xi, х2) соответствовала главным направлениям, то необходимо принять cti2 = a2i = 0. Тогда для новой системы (х(х'), согласно таблице III.1, имеем

kn =	(cos2 a) k\ +	(sin2 a) k2
kz\=	ki2 = — ^"2" sin 2aj k\ -|-		sin 2a^ k2	(III.29)
k22 =	(sin2 a) k\ +	(cos2 a) k2

При этом учитывалась зависимость между а и k, а = Дг/ц. Для главных направлений вторые индексы, очевидно, несущест­ венны, поэтому их не учитывают: kn = ki, £22 = kz.

Формулы (III.29) дают возможность определить компоненты тензора проницаемости в любой прямоугольной системе коорди­ нат по известным компонентам ki и kz по главным направле­ ниям. Можно решить и обратную задачу, т. е. по известным зна­ чениям k' , k' , к'кг найти kn k2 и а.

Часто анизотропия выражается повышенной проницаемо­ стью вдоль напластования по сравнению со значениями ее в перпендикулярном направлении. Указанная особенность пла­

стов обусловлена распределением и упаковкой	частиц	породы
в процессе седиментации [34]. При осаждении	песка	в воде

тенденция укладывания зерен такая, что длинные оси их рас­ полагаются в плоскости напластования. Это способствует умень­ шению сопротивления при движении растворяющих минералы жидкостей в плоскостях напластования и еще большему увели­ чению проницаемости в этом направлении.

Ограничимся рассмотрением тонкослоистого анизотропного пласта, образованного из чередующихся изотропных слоев тол­ щиной Ahi и Ahz и проницаемостью 6* и k* .

Вначале рассмотрим фильтрацию вдоль слоев. По закону Дарси для каждого слоя получим

<7i	ц	д Р	’		(III.30)
		L
<72	*2A/t2	д Р		’	(III.31)
		L

где q1 и q2— расходы в каждом слое шириной, равной единице, причем градиент давления Ap/L в обоих слоях одинаков.

Общий расход будет

	k\ д h	Д р	(III.32)
	—	Т >

62

где Ah = Ahi+Ahz, а
	kl bhl + k2bh2		• Мц		*	д/t,
—	ДЛ1 +	ДЛ2	— Al	ДА	+ * 2	(Ш.ЗЗ)
						ДА
Рассмотрим	теперь	фильтрацию		в	направлении нормали

к слоям. Обозначив через Ар\ падение давления в первом слое, получим расход

к\р	Api
ц	ДА[

Во втором слое расход будет таким же:

__	к-2^	Д/>2
У	ц	ДЛг

Из (II 1.34) и (111.35) найдем

£2F &р

4 ~ ~ Ц ДА" ’

где Ap = Api+Apz, а

1__________

^2	Д/»1_ .	1	_ДЛ2
	-ДА +	^	• ДА-

(III.34)

(III.35)

(III.36)

Можно показать, что k\ > kz. Направления вдоль и поперек напластования являются главными, поэтому ki = kmax и kz =

:== &mln-

Рассмотрим более общее, чем (III.11), уравнение. Допустим, найдены главные оси координат, для которых, как известно,

v	____ _^L. i £ i					'	у	kz	_ _3р_
ix <3л: ’			|i	ду			v*	ц	’ дг
Подставляя их в уравнение (III.11), получим									(III. 37)
32 р	k	д2р		k	* J L - 0
kx 1x2	у ду2			йг	<3*2		— U-
Введем новые переменные
х\ =		У1					Zi =	z.
Тогда уравнение (III.37) в			новых			координатах			yi и z\
будет уравнением Лапласа:
&1Р	| & Р		,	&2р
- 2 I		а 2 I		а 9 ' = U•
ЗдГ[		Зу|		дг\

Имея решение этого уравнения для конкретных граничных условий, переходят к старым переменным х , у и г .

63

простейшие решения, получаемые непосредственным

ИНТЕГРИРОВАНИЕМ УРАВНЕНИЯ (Ш.14)

Непосредственному интегрированию поддаются, как правило, так называемые одномерные задачи, которые соответствуют фильтрационному потоку, зависящему от одной координаты.

Самый простой случай — линейный поток, к которому могут быть сведены, с достаточной для практики точностью, многие фильтрационные потоки (рис. III.1, а).

Дифференциальное уравнение (III.14) при этом примет вид

			д2р	_		(III.38)
			дх2	~ О-
Откуда в	результате		двукратного		интегрирования	получим
			р = Сх			(III.39)
Пусть при х = 0 р =		р1, при х = L р = р г < рь
Подставляя в (III.39), получим линейное распределение дав­
ления
	Р =		Р\	Р1 — Р2	„	(III.40)
				I	*•
Используя	(III.40),	получим, как и следовало ожидать, за-
кон Дарси:
			k_	Pi — Р2		(III.41)
			ц	L

64

Так как поток одинаков для всех линий, перпендикулярных к плоскости yoz, то расход определится по формуле

	Я	k F	_ Д1 — Р2	(III.42)
		ц	L
где F — площадь сечения		потока, параллельная плоскости yoz.
Второй	случай — плоскорадиальный			поток, т. е. поток с осе­
вой симметрией (см. рис. ИМ, б).
Такой	поток реализуется		при работе одной совершенной
скважины	в однородном	изотропном		пласте постоянной тол­

щины h неограниченной протяженности во все стороны или имеющем цилиндрическую поверхность питания, с осью ци­ линдра, совпадающей с осью скважины.

Скважина считается совершенной по степени вскрытия, если она вскрывает полную толщину пласта.

Если жидкость фильтруется в скважину через отверстия в обсадной колонне, то скважину называют совершенной по сте­ пени вскрытия, но несовершенной по характеру вскрытия. Скважина — совершенная по обоим признакам или просто со­ вершенная тогда, когда она вскрывает пласт на всю толщину без фильтра. Фильтрационное поле здесь одинаково для всех плоскостей, перпендикулярных к оси z. Поле зависит от двух координат х н у . Однако поскольку расстояние от оси до точки

г = -у/х2 + у 2,

то картина распределения зависит от одной координаты г. Уравнение Лапласа можно представить в цилиндрических

координатах л и 0 (см. рис. III.1, б). В данном случае вследст­ вие осевой симметрии поле не зависит от угла 0. Дадим нагляд­ ное решение этой задачи, минуя преобразование координат.

Пусть ось цилиндра радиуса			r >	Rc,	a Rc — радиус сква­
жины, совпадает с осью z.
Определим скорость фильтрации на этой поверхности через
расход жидкости:
V	=		rh			(III.43)
	2	я
Согласно закону Дарси,
k	dp		ц	dp	'	(III.44)
v = ■р	dn			dr
Заменяя v его значением из			(111.43) и интегрируя,			получим
	М	1п г +		С.		(III.45)
2	я kh

5 Заказ № 283

65

При r =	Rc р =	Рс, откуда
		С =	Pc —	М	In Rc
				2nkh
		P — Pc		M		(III.46)
				2nkh
Из (III.46) следует, что при г					о о величина р	также стре­
мится к бесконечности.
При	г = RK	р = рк,	где рк— давление на поверхности пи­
тания.
Подставляя в (III.46), получим формулу Дюпюи для опреде­
ления дебита скважины
		Я =	2nkh	Рк	Рс	(III.47)
			М-	ш *
Характерной особенностью приведенного решения является
слабая зависимость дебита от радиуса RK (области)						для доста­
точно больших значений RK/Rc-

Это служит причиной того, что расчеты по формуле Дюпюи дают удовлетворительные результаты и в тех случаях, когда имеет место существенное смещение оси скважины относительно оси цилиндрической области питания. Пусть с — расстояние ме­ жду этими осями.

Построим цилиндрическую поверхность радиуса R = RK— с, приняв за ось ось скважины. Будем считать эту поверхность поверхностью питания. Тогда дебит скважины будет

2 я kh	Рк — Рс	(III.48)
ЯI

Построим цилиндрическую поверхность радиуса R = RK+ c, принимая за ось ту же прямую. Если считать эту цилиндриче­ скую поверхность поверхностью питания, то величина дебита будет равна

2 nkh	р к — Рс	(III.49)
Я2	' I n * ‘ + с
*
	А С

Истинная поверхность питания находится между двумя по­ строенными. Поэтому величина действительного дебита должна быть заключена между значениями qi и q2 {q2<. q <. qi).

Ниже, в табл. III.2, приводятся значения qilq2 для ряда ве­ личин относительного смещения осей c/RK при двух значениях

RJRc = 1000, RK/RC=	10 000.
Из табл. III.2 следует, что предельные дебиты, ограничиваю­
щие реальный дебит	несоосной скважины, отличаются друг от

66

друга на 30% (RJRc = Ю3) и 2 2 % (R JRC= Ю4) даже при достаточно большом относительном смещении c/RK= 0,7.

Следовательно, если вычислять дебит скважины, несоосно расположенной в круговом пласте (при c/RK<. 0,7), по одному из предельных вариантов, то при этом допустим ошибку не бо­ лее чем на 30 % (RJRC= Ю3) или 2 2 % (RJRC= Ю4). По-ви- димому, более точного результата можно добиться, выбрав

средний вариант <7cp = -^-(<7i + <72) или произведя расчет по фор­

муле Дюпюи для фиктивной залежи среднего радиуса

			^?ср	—2~ (Rmln ~Ь ^?тах)-
				Т а б л и ц а	111.2
Результаты определения отношения <71/72
	в зависимости от величины c/RK
			с1*к
*к/*с	0	0,1	0,3	0,5	0.7
103	1,0	1,03	1,09	1,18	1,30	Рис. II 1.2» Схема для расчета
104	1,0	1,02	1,07	1,13	1,22	притока	жидкости к сква­
						жине в	пласте неправильной

формы

Из рассмотренных выше примеров можно сделать следую­ щие выводы.

1. Точное определение радиуса поверхности питания — необя­ зательное условие получения удовлетворительного решения, что имеет большое практическое значение. В действительных усло­ виях радиус поверхности питания вычисляется с той или иной степенью достоверности. Если при его определении допускается не слишком большая ошибка (например, если вероятное значе­ ние этого радиуса заключено между значениями, которые отли­ чаются друг от друга в два раза), то ошибка при нахождении дебита не превосходит нескольких процентов *. Вообще говоря, ошибка в 5— 10 % и даже более не должна считаться значитель­ ной, так как геолого-физические параметры (пористость, про­ ницаемость и т. д.) определяются, как правило, с точностью по­ рядка 10— 20 %.

2. Для вычисления формулу Дюпюи можно применять не только при круговых цилиндрических поверхностях питания, но и при геометрически правильных цилиндрических поверхностях,

м Указанное положение справедливо для достаточно больших R K/ R c-

5*

67

а также поверхностях неправильной извилистой формы. Пусть, например, поверхность питания имеет вид кривой Г, показан­ ной на рис. III.2. Ближайшая к скважине точка В, находится на расстоянии АВ = 1 км, самая далекая точка С находится на расстоянии АС = 2,5 км. Используем метод, рассматриваемый в предыдущей задаче. Вся поверхность питания будет заклю­ чена между поверхностями 1 и 2.

Определим по формуле Дюпюи дебиты, предполагая, что по­

верхностью		питания	является	вначале	поверхность		радиуса
ftmin= 1 км, а затем поверхность				Rma* =	2,5 км;	/?с =	0,1 м.
Тогда	qi	____ 2 я kh	Рк — Рс	2 я	kh Рк — Рс
		~ ~~Ц	. 1000	42	2	5 0 0
			1п~ 0 Т		1 п	0,1

Я\

откуда -^ - =

l g 2 5 0 0 0

= 1, 1,

l g 1 0 0 0 0

т. е. предельные дебиты отличаются друг от друга на 10 %. Следовательно, при расчете по одному из предельных вариантов допускается ошибка не более чем на 10 %.

Приведенные примеры достаточно ясно иллюстрируют воз­ можности применения формулы Дюпюи.

В дальнейшем читатель сам сумеет рациональным выбором предельных и средних вариантов установить область целесооб­ разного использования этой формулы для различных случаев.

Третий случай — поток точечного источника или стока (сфе­ рический радиальный поток) имеет центральную симметрию, так как поле скоростей одинаково во всех направлениях.

Такой поток наблюдается, когда скважина вскрывает только самую кровлю пласта или глубина вскрытия в несколько раз меньше его толщины. В этом случае при известном приближе­ нии можно заменить реальный фильтрационный поток в окрест­ ности забоя скважины сферическим радиальным потоком с цен­ тром, расположенным на оси скважины в точке пересечения этой оси с кровлей (см. рис. III.1, в).

Скорость фильтрации на расстоянии г от стока или источ­

ника будет	я
V =			(III.50)
	4яг2
Подставляя это значение в формулу Дарси			(II 1.44), полу­
чим после интегрирования
р = - ^	я г - ± +	с -	<IIL5I>
При г = R c Р = рс, следовательно,
p - P ' — w r ( - i r —		г ) -	<п152>

68

Отсюда видно, что	с ростом г	возрастает	и р, стремясь
к пределу р -*-рк при г —>-оо. Дебит		скважины	при этом будет
Ц =	4я/?с6 (Рк-Рс)-		(III.53)
	Ц

ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ В ПЛАСТЕ СО МНОГИМИ СКВАЖИНАМИ

Приведенные в предыдущем параграфе решения можно при­ менять не только в расчетах соответствующих одномерных по­ токов, но и в более сложных случаях. Один из способов полу­ чения расчетных зависимостей для сложных потоков в пласте — применение принципа суперпозиции простейших потоков типа

плоскорадиального для плоских

задач

фильтрации

или

типа

сферически

радиального — для

пространственных.

совершенные

Рассмотрим две

скважины

с дебитами

q\

и

q2

в пласте

постоянной

толщины,

простирающемся

во

все

стороны

неограниченно

(рис. III.3).

Решением

уравнения

Лапла­

са

может

быть

поле,

составлен­

Рис. III.3. К расчету давления в беско­

ное

по

закону

суперпозиции

из

нечном пласте

двух полей вида

(III.45),

т. е.

Ц?2

р =

с у

Ц?1

1п /"1 —|—С2

1п Г2 + с,

(III.54)

2яkh

2яkh

где

С — постоянная

интегрирования,

rt и гг — расстояние от

рассматриваемой точки М до «центров» скважин

Посмотрим, каким граничным условиям это решение соот­

ветствует.

Определим давления в двух точках А и В пересечения ли­

нии «центров» скважин с поверхностью скважины № 1 :

~

с>т ш -1

+'с>-ш г'

(' ■- *■>+ с<

<га-55)

Рв =

С‘ S

w

0 ,_ + С2

У + R.J+ С,

(III.56)

Р д - Р . =

С

, ^

1 п

4 ^ .

(Ш.57)

Расстояние между скважинами, как известно, исчисляется десятками и сотнями метров, в то время мак радиус скважины

1 Под центром подразумевается точка пересечения оси скважины с го­ ризонтальной плоскостью.

69

равен нескольким сантиметрам (1^>RC). Отсюда следует, что с очень высокой степенью точности можно принять рА~Рв- Поскольку в этих точках давления достигают экстремальных значений, то и во всех точках поверхности скважины (окруж­ ности радиуса Rc) давление можно считать одинаковым и рав­ ным

р, с .	2“		lnR' +		С,	* , 1 " ' + с -	(III.58)
Скорости в точках А и В, очевидно, будут
...	п		4l	I	г*	42	(III.59)
А		1	2яДсй			2я (/ — Rc) h ’
_.	р		Ч\	I	р	42	(III.60)
в		1	2яДсй	1	*	2я (/ + Лс)й •

При l^> Rc vA « vB, т. е. можно принять, что скорость во всех точках окружности г = Rc одинакова и равна

+ < п ш >

где коэффициенты Ci = С2 = 1.

Проводя аналогичные рассуждения относительно поля в ок­ рестности скважины № 1 , придем к выводу, что во всех точках окружности ri величина р практически постоянна; иными сло­ вами, эти окружности можно считать изобарами.

Те же рассуждения, очевидно, имеют силу и для окрестности скважины № 2 .

Изучим теперь поле вдали от скважин.

Обозначим через <р угол между радиусом-вектором г, прове­

денным	из	середины	отрезка I до точки М {ги г2),		и направле­
нием этого		отрезка. Тогда		давление в этой точке	будет	равно
p = ~ B h [n [r2 + -^ - +				rl cos ф)+
			— rl cos<pj + С.			(III.62)
При	достаточно		больших значениях г ( г » / )		можно	заме­

нить логарифмы их приближенными значениями согласно фор­ муле 1п (1+ х)д ах — х2/2. Тогда

J»l!|iSl" ' +T r i (7)“ '+ C' <ПШ>

причем члены порядка (//г)2, (1/г)3, (//г) 4 отброшены.

При qi+qz¥=Q, начиная с некоторого значения г, вклад второго члена мал по сравнению с вкладом первого, поэтому

tnr + C, (III.64)

70