книги / Теория упрочняющегося пластического тела

§8. Об ограниченности приложений деформационных теорий к описанию пластического течения

Воснове теории пластичности лежат представления о поверхности нагружения, ассоциированном законе тече­ ния и т. д. Исходные соотношения теории пластичности в общем случае устанавливают связь между тензорами ско­ ростей деформаций и напряжений (1.45), (1.58). Поэтому следует рассмотреть условия, при которых соотношения деформационной теории не противоречат основным пред­ ставлениям теории пластичности. Другими словами, надо определить, в каких случаях общие соотношения теории пластичности переходят в соотношения деформационной теории.

Предположим, что поверхность нагружения является

гладкой в окрестности данного напряженного состояния.

Рис. 24.

Покажем, что представления о гладкой поверхности на­ гружения несовместимы в общем случае с соотношениями деформационной теории. Рассмотрим приращение пла­ стических деформаций. Из (4.103) следует

(4.109)

Величины d(pij/dohh зависят только от компонента^-, поэ­

тому приращение пластической деформации defj при дан­ ном напряженном состоянии полностью определяется приращениями компонент напряжений dOij. В зависимо­

сти от вектора приращений datj вектор defj принимает различные значения (рис. 24, а). В то же время, согласно

ассоциированному закону течения, вектор defj имеет одно

и то же направление, ортогональное к поверхности нагру­ жения и не зависящее от направления вектора йоц (рис. 24, б). От направления вектора daи зависит лишь вели­

чина defp в частности defj = 0, если вектор datj направ­ лен вдоль поверхности нагружения.

Из соотношений (4.109), наоборот, следует, что так как при нагружении вдоль поверхности нагружения datj ф 0, то defy =f= 0. Следовательно, деформационные соотношения (4.103) не допускают выполнения условий нейтрального нагружения: согласно деформационным теориям при нагружении вдоль поверхности нагружения происходит приращение пластических деформаций, тогда как при движении вдоль поверхности нагружения, оста­ ваясь внутри упругой области, приращения пластических деформаций равны нулю. Этот парадокс отсутствия не­ прерывности приращения пластических деформаций при нагружении вдоль поверхности нагружения и составляет основу утверждения о неприменимости деформационных теорий.

Соотношения деформационной теории в случае гладких поверхностей нагружения могут иметь место при специ­ альном нагружении, при котором вектор приращения

деформаций de^ ортогонален к поверхности нагружения. Сравним соотношения (4.109) с одной стороны и (1.45) с другой. Получим

пР	дуij	Ohк	dahlt	(4.110)
li ~	°hlc
			clt

Рассматривая (4.110) как систему алгебраических урав­

нений относительно ahh, получим
Д	’	(4.111)
где Д — определитель системы,	Дhh — определитель, по­

лученный из Д путем замены элементов dtpijldahh строки на строку из элементов d//dori7-.

Таким образом, изменение напряжений должно опре­ деляться соотношениями (4.111). Должна существовать система функций ф(о/1 h) такая, чтобы при данном / инекотором определенном нагружении имело место (4.111).

Предположим, что исходное напряженное состояние соответствует особенности кусочно гладкой поверхности нагружения (ребру, угловой или конической точке и т. п.) Очевидно, что и в этом случае нейтральное нагружение приводит к противоречию с выводами деформационной теории. Однако в общем случае зависимость приращений

defy = dotj имеет менее стесненный характер, чем для

гладкой поверхности нагружения: вектор de\j может иметь различное направление, ограниченное нормалями в данной точке Оц, к гладким кускам поверхности нагру­ жения, пересечение которых и образует данную особен ность.

§ 9. Деформационные теории при гладких поверхностях нагружения

1. Пусть имеют место соотношения теории пластичности

	/ {бЦу eiji %U ^i) =					0»	(1.9)
		defj =	dX		.		(1.32)
Рассмотрим инварианты
ou = (22г)'А = (ацОц)'1-,			еи =	(2Etf* = (е^ )'Х			(4.112)
Тензоры
-	_	д	>	д		ег0	(4.113)
Oij					; — р
		°и				еи

назовем направляющими тензорами напряжений и де­ формаций. Направляющие тензоры, очевидно, имеют вто­ рой инвариант равным единице: = 1, ё^ё^ = 1.

Аналогично можно рассмотреть инварианты девиаторов

в» = ( 2 2 > =

еи = ( 2 ( 4 . 1 1 4 )

Соответствующие направляющие тензоры будут иметь вид:

аа

(4.115)

1/г 7 Д. Д. Ивлев, Г. И. Быковцев

Предположим, что в процессе нагружения направля­ ющий тензор пластической деформации не зависит от времени. Тогда из (1.32) следует

				)	=		(4.116)
Из	(4.116)	получаем
		e V. — %J*L			1 __	d^ рр	(4.117)
		еч -	д0	д(5..	К -	К
Из	(4.117)	вытекает
				Г~	еР.еР.		(4.118)
		к =	\ /		df	df
					~ л

*д->ij d6{j

Согласно (4.118), соотношение (4.117) примет вид:

		г	рVpV.У		df
				рУ
	—	У	ei)ei)			(4.119)
			df	df	dsij '
			d^ij	d ’Sij

Предположим, что функция нагружения имеет вид:

/(2 2, П2,

kt) = О,

(4.120)

где П2 = Otjeij — смешанный инвариант тензоров нап­ ряжений и пластических деформаций.

В этом случае соотношение (4.117) примет вид:

е5 = Ч ^ ° « + г п г е8>-	<4 -1 2 1 >
Из (4.121) следует

eii ( l — ^o	= ^0	0ц.	(4.122)
Возведем (4.122) в квадрат,	просуммируем		по индексам
и извлечем квадратный корень, получим

Из (4.122) и (4.123) следует

A	= 3L , Или *£. = 5,,.	(4.124)
Си	ии

Соотношение (4.124) устанавливает равенство направляю­ щих тензоров пластических деформаций и напряжений.

Итак, если функция нагружения имеет вид (4.120) и в процессе нагружения направляющий тензор пластических деформаций не зависит от времени, то направляющий тен­ зор напряжений также не зависит от времени и соотно­ шения теории пластического течения, независимо от вида параметров сводятся к равенству направляющих тен­ зоров напряжений и пластических деформаций (4.124).

Из (4.124) следует, что

п 2 = аце% = аие£,

(4.125)

поэтому (4.122) можно переписать в виде:

Xif &i) = 0.

(4.126)

Прификсированных направляющих тензорахнапряже­ ний идеформаций параметры могутзависеть от раз­ личных инвариантов тензоров напряжений и деформа­ ций. Предположим, что в данном случае

Xi-Xi(au.«S). (4.127)

Тогда соотношение (4.120) определяет зависимость

ou = 6U(«£)		ИЛИ	е£ = е£ (<зц).	(4.128)
Обозначим
^	=	® W =	9 ( 4	(4.129)
Тогда соотношения (4.124) примут вид
eij =	Ф (зц) atj =		0 (el) oij.	(4.130)

Функции фг^ в (4.103) определяются, согласно (4.130), в виде:

<Ри = ф Ю о гг	(4.131)
	7»

Аналогичные рассуждения могут быть проведены, когда функция нагружения (4.120) зависит от инвариан­ тов девиаторов напряжений и деформаций. Соответству­ ющие выражения имеют вид:

	e'ij = Ф (<з'„)бу = @ (е£) а'ц.	(4-132)
Соотношения (4.132) с точностью до обозначений сов­
падают с соотношениями (4.108).
2.	Предположим, что функция нагружения для неко­
торого	упруго-пластического тела определена	в виде

(4.120). Пусть во все время всего процесса нагружения в каждой точке тела направляющий тензор девиатора пла­ стических деформаций фиксирован, тогда имеют место соотношения (4.132).

Определим характер изменения внешних усилий, при которых в каждой точке пластически деформируемого тела будут иметь место соотношения (4.132). Предположим, что нагружение в каждой точке тела таково, что пластиче­ ские деформации возрастают пропорционально одному параметру

efj = aeijf O ^ a ^ l ,

(4.133)

где индекс звездочка наверху здесь и ниже приписан компонентам в момент окончания нагрузки a = 1. Оче­ видно, что цри утом направляющий тензор пластических деформаций будет фиксирован, а, следовательно, фикси­ рован и направляющий тензор напряжений.

Пусть в конечный момент нагружения в теле выпол­ няются уравнения равновесия

4 i	+ t f =	o	(4.134)
и граничные условия
=	на	Sp,	(4.135)
=	WjQ на	^ut	(4.136)

где Ft, pi — массовые поверхностные усилия, ui0 — пере­ мещения, lt — направляющие косинусы нормали, S — боковая поверхность тела.

Как обычно, предположим, что пластические деформа­ ции удовлетворяют условию несжимаемости е£ = 0, поя-

тому тензор e\j является девиатором. Из (4.132), (4.133) получим

<хе,р*

(4.137)

в (с О

Здесь индекс штрих наверху у компонент е\), ей опущен. Зависимость среднего давления а от параметра а бу­ дем полагать произвольной при одном ограничении: а = а* при а = 1. Тогда компоненты напряжения в про­

извольный момент нагружения определяются в виде:

ае:,р*

-аби.

<4 1 3 8 >

Из уравнений равновесия можно определить соответ­ ствующие массовые силы

7i = — au,j = — (■ е « *’ +	)бб;«)■	(4.139)

Соответствующие поверхностные усилия будут иметь вид:

л	- < ’*	/	OLCV*	\	<
			т -^ г(	+ яЧ 1<-
Компоненты полной деформации,				согласно (4.138), (4.133),
подсчитываются по формулам
ец = eh + е?и efj =	Cijhk			+ а б ), е% = о # '	(4.141)

Очевидно, что полная деформация в общем случае

при произвольной зависимости 0 = Q(aeZ) возрастает непропорционально параметру а. Поэтому из совмест­ ности деформаций e*j в конечный момент нагрузки, вооб­ ще говоря, не будет следовать совместность деформаций ец в произвольный момент нагрузки.

Совместность деформаций во время всего процесса пластического деформирования будет иметь место для

жестко-пластического материала, то есть при Сцм = 0. В этом случае полные деформации совпадают с пласти­ ческими

— &вци	(4.142)
Из (4.142) следует, что перемещения возрастают про­
порционально	(4-143)
щ = аи\.

Тогда, согласно (4.136), перемещения ui0 на Su также должны возрастать пропорционально параметру а.

Итак, при сформулированных условиях для жестко­ пластического тела существует нагружение, при котором соотношения теории течения приводят к соотношениям деформационной теории

еИ = еи = ф (б«)

(4.144)

Для упруго-пластического тела при подобном нагру­ жении в общем случае не будут выполнены условия сов­ местности деформаций.

§ 10. Деформационные теории при кусочно гладких поверхностях нагружения1

1. Соотношения теории пластического течения при кусочно гладких поверхностях записываются в виде: |

		/ (9> (<*«, <&, %ь А*) = 0,		(1.50)
еГ	_	^ - J."1	д!(Ф ( д1<ч)
		с h~1	а/(9>	(1.52)
		'СЯПЧ	03..
			г1

В выражение закона течения (1.52) входят величины первых производных функций dfW/dOij, поэтому вместо /(«) в шестимерном пространстве симметричного тензора напряжений сггу может быть рассмотрена любая совокуп­ ность функций g№ такая, что при данных значениях

параметров о^, е ? , х* величины первых производных df^VdOij и dgW/доц полностью совпадали.

Отмеченное свойство может быть определено как свой­ ство локальности соотношений пластического течения:

мгновенный характер деформирования определяется зна­

чениями первых производных			df(q)ldOij при данных о^,
г?.,	Хм hk и не зависит от вида		кривой / (<7).
	В дальнейшем предположим, что функция нагружения
не	зависит	от Хм	основные соображения,
	Чтобы	наглядно изложить

предположим, что имеет место случай кручения или сдви­ га и напряженное состояние соответствует пересечению функций нагружения

fi (6i2 уai3 >ei2 y е1 з) = 0, i = l,2 .

(4.145)

Рассматривая (4.145) как конечные соотношения, можно

определить явную	зависимость
е 1 2 = Ф1 2	(<31 2 » 6 1 3 )» eis = Ф1 З(^1 2 » ^з)*		(4.146)
Предположим далее, что отличны от нуля по три ком­
поненты напряжений и		деформации, т. е.
	^2 2 ?	G1 2 1eiu e22i e12 4s	(4.147)

Если напряженное состояние соответствует пересечению трех независимых поверхностей нагружения = 0 и имеет место полное нагружение, то можно определить

efj = Фи^и»	<Ч2> <*2 2 ), h / =	1,2.	(4.148)
Если в трехмерном	пространстве	напряжений осо­

бенность поверхности нагружения является конической точкой, то последняя может быть рассмотрена как оги­ бающая касательных плоскостей. Из касательных плос­ костей, имеющих общую точку в вершине конуса, в трех­ мерном пространстве независимых только три, остальные могут быть получены как линейная комбинация незави­ симых. Трех независимых соотношений /(«) = 0 достаточ­ но для определения зависимости (4.148).

Аналогично может быть рассмотрен общий случай.

Деформационные соотношения е?) = Фи^юг) будут иметь место, если для данной особенности поверхности нагру­ жения существует шесть независимых конечных соотно­

шений /(9 ) (aUl efj) = 0. Последнее будет иметь место, если особенность, интерпретируемая как огибающая плоско­

стей, будет иметь шесть независимых плоскостей нагру­ жения и имеет место полное нагружение.

Введем шесть независимых переменных

X = а — ЪКе, Х ’ц = ц - Ф(ои)<у'ц.

(4.149)

Величины X'ij, очевидно, являются компонентами неко­ торого девиатора. Если функции нагружения имеют вид:

/Ю (X, х'и) = о,

(4.150)

причем решением совокупности шести уравнений (4.150) является X = X\j = 0, то будет иметь место деформа­ ционная теория

e\j = Ф (О а-у, а = ЪКе.

(4.151)

Функции нагружения (4.150) должны быть тензорно ин­ вариантными. Образуем совокупность независимых ин­ вариантов

X = О Кв, Х\j	Xtf e^jj Xij Сук &kii	XijCjh€hii
	X^jOjk^hi»	(4.152)

Функции нагружения /^) = 0, зависящие от инвари­ антов (4.152), являются тензорно инвариантными. Если решением совокупности шести независимых функций J{Q) = 0 является обращение в нуль всех инвариантов (4.152), то в силу произвольности а^, ец имеет место

X = Xij — 0, откуда следуют соотношения (4.151).

При подобномобосновании деформационной теории (4.151) нет необходимости требовать независимости направ­ ляющего девиатора пластических деформаций от времени и

т.п.

2.Рассмотрим случай интегрируемости соотношений теории упрочняющихся пластических сред, когда напря­ женное состояние соответствует некоторому ребру кусоч­ но гладкой поверхности нагружения в пространстве глав­ ных напряжений.

Предположим, что определено пересечение двух глад­ ких поверхностей нагружения, заданных уравнениями

/(1) (а1 . з2, <33, ef, el, el) = 0, f<-2) (alt <s2, a3, el, 4 ,4 ) ~ 0, (4.153)