книги / Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом

Таким образом, оператор угловой скоро­ сти Л (SJ) результирующего движения твер­ дого тела равен сумме операторов угловых скоростей первого и второго движений, а уг­ ловая скорость сЗ равна сумме угловых ско­ ростей первого и второго движений, причем

иоператоры и угловые скорости приведены

кнеподвижному пространству.

Аналогично в случае сложения п движе­ ний получаем

Л(0>) » М П ,) + Л(П2) + . .+ МП„).

Определим операцию сложения угловых ускорений для случая, соответствующего рис. 4.9. Продифференцируем тождество# (4.29) по времени:

А(?) = А (б )' = T XT J+ f lf [ + t lf 2T p ' [ + T lf 2T p 'l + T xt 2i* r J +

+ T lf 2T^fJ' .

Здесь

T XT * + f xt x = A t S j) ' = A(B , )* = A ( I , ) ,

	. . T T				. . T T	_	( / l ) T		~
T XT 2T 2T\				+ T XT 2T 2T X =		T XM E 2 )	ц	= A ( £ 2 ).
Преобразуем оставшиеся члены:
f xТ 2Тт2Ттх=			Т хТ тхТ хТ 2Т 2ТтГ			А(Й ,)Г,А(Й2 ) <7'			Ттх =	А(П,)А(Й2 ),
.	Т - Т			.	Т Т . Т	~	( / 1 ) Т ~		Т	~	~
Т \Т 2Т 2Т Г			Т \Т 2Т 2Т \Т 1Т Г			T \X(^Çl2 )	7",МП, ) = -Л(П2)Л(П,).
Получим формулу сложения угловых ускорений:
M e )		=	М £ , )		+ А ( £ 2 ) + Л(Й,)Л(Й2 )			Л(П2 )Л (П ,) .			(4.30)
Операторному равенству (4.30) соответствует векторное равенство
i	-	Z,	+	I 2	+ МЙ, )Ô2 .						(4.31)

Из формулы (4.31) следует, что если первое и второе вращения равно­ мерны, движение относительно неподвижного пространства не будет рав-

На рис. 4.10,0 представлена кинематическая цепь со сложным движением точки В в плоскости. Из формулы (4.25) с учетом пло­ ского движения получим

	cos<p	-sin#>	1	Г ?	1
	s i n (р	cos (р		0	*
где Ç — скорость относительного движения.
Для ускорения точки В имеем
-дсЛ	Г cos<p	sirup ]	С	Ç	1
- у А\	[ s i n ip	cos <p J	[	0	I

4.5. Представление кинематических уравнений через операторы элементарных поворотов

Продолжим рассмотрение вращения твердого тела вокруг неподвижной точки как последовательность элементарных поворотов на эйлеровы углы.

Кинематическими уравнениями называются соотношения, связываю­ щие параметры ориентации твердого тела и их производные по времени с

угловой скоростью твердого тела. Кинематические уравнения определяют­ ся оператором угловой скорости (4.19):

т = А(5)т .	(4.32)
Для оператора угловой скорости в теле имеем
т=тА(а>).	(4.33)

Если известна зависимость A [£>(*) ], уравнение (4.32) есть операторное диф­ ференциальное уравнение относительно оператора преобразования коор­ динат. Интегрируя это дифференциальное уравнение, можно найти искомую зависимость т (0, т.е. определить угловое положение тела в каж­ дый конкретный момент времени.

Из равенства (4.33) следуют девять скалярных уравнений, называемых уравнениями Пуассона:

т	п	= T / 2 U Ç	T i 3 * V
i	i 2	= - T . , Wç	+ T | 3 " f
* 1 3		= т п " ,	T i 2 W f >

Выразим параметры вращения твердого тела в системе этого тела через операторы элементарных поворотов. Пусть три последовательных поворота определяются матрицами Т х, Г2, Г3. Оператор угловой скорости втеле А (О),

согласно формуле (4.20), имеет вид
А (О) = ттт,	(4.34)
гдет = 7,1Г27,3.
После дифференцирования и ряда упрощений получим
А(сЗ) = (7’27'3) 7’А(П1)Г27’з + TpV (Q2)T3 + А (П 3),	(4.35)

где А (Й,) — операторы угловых скоростей элементарных поворотов в теле. Полученный результат соответствует общей теории сложения поворо­

тов, рассмотренной ранее. Для вектора угловой скорости в теле получим

ы = (Т гТ г ) тй { + т \й г + Й3 .

(4.36)

Формулы (4.35) и (4.36) являются универсальными и позволяют полу­ чить соответствующие кинематические соотношения для любой системы углов.

Допустим, что последовательность поворотов на углы Крылова такая, что т = ZXY. Исходя из формулы (4.34), нетрудно установить, что операто­ ры угловых скоростей элементарных поворотов в теле имеют вид:

X ( S i) = ф Х ( г ) ,		IN	II
Л ( П 2 ) =	ф Х ( х ) ,
А ( П 3 ) =	è A ( ÿ ) , Х ( у )		=

'	0	- 1
	1	0
.	0	0
'	0	0
	0	0
	- 1	0

0	■
0	»
0 .
11	1
О	____
0	1

XI

II

• 0

0

0 •

0 0 - 1

0 1 0

Им соответствуют векторы угловых скоростей в теле:

Qj = <pz>	П2 = ф х у П3 = By у
где
0*	V
0	X = 0	У =
1_	о

’о'

1

0

естьортыодноименных координатных осей.

Матрицы A (z), Л(X), Л(у) - кососимметрические, им соответствуют со­ путствующие векторы z, х, у — собственные векторы этих матриц. Поэтому Zz = z, Х х = ху Yÿ= у. Кроме того, при вычислениях следует иметь в виду, что A (z)z= О, А0с)3с=0, А (у)у= 0 как векторные произведения вектора самого на себя.

Оператор угловой скорости для принятой последовательности поворотов имеет вид

A(w)		= ф(ХУ)тХ (г)Х У + фУтХ (х)У + èX( y) .	(4.37)
В соответствии с правилом сложения угловых скоростей получим
Ъ =	ф(ХУ)т1 + фУтх + è ÿ		(4.38)
или в разложении по компонентам вектора
(àç = - # > C O S ^ S i n 0 + 0 C O S 0 ,
ю	»	vsinip + 0 ,	(4.39)
uç	«	фсоэфсойв + ^sin0 .

Структура формул (4.37) и (4.38) не зависит от порядка следования поворотов. Поэтому, чтобы получить соответствующие выражения для дру­ гой последовательности поворотов, достаточно произвести переименование матриц, векторов, осей. Так, например, для последовательности поворотов на углы Эйлера, описываемой матрицей т = Z lX Z 2, получим

+ ( Г 3 ) ГА(й 2 ) Г 3Х(П3)

А (П3 )7’3Л (Я2 )7’3 ,

где А (Е р —операторы угловых ускорений элементарных поворотов в теле. Для последовательности поворотов на углы Крылова, когда т « ZXY,

\ ( E X) - 5>A(z),	Л ( £ 2 ) «	ф \ 0 с), А ( £ 3)	« 0 А (у ),
А (ё )Ц к Х У )гА(г)ХУ40УтАШУ+0А(5Г) + 00[ ( Х У ^ А Ш А Ш Х У
-Уг А(Х)Хг А(г)ХУ]+0ё[<ХУ)г А<2)ХУА(у)			A(ÿ) <ХУ)ГА(2)ХУ ] +
*00[У А<х)А(у)У	А(ЗГ)КТА(Х)У].
Нетрудно установить справедливость тождеств
A (ÿ )A (z )	А (z)A (ÿ )	= А Ш ,
A(x)A<ÿ)	A(ÿ)A(jê)	= A ( z ) ,
A(z)A(je)	A (* )A (z)	= A ( ÿ ) ,

XTX ( z ) X \ ( ÿ ) A(ÿ)Xr A(z)X = -cos0A<*). Тогда окончательно получим

A(ê) = <р(ХУ)тХ(1)ХУ + футХ (х )У + 0A(ÿ) + фф(ХУ)тХ(у)ХУ +

+фвеоэф У*ХОс)y + 00 УТА (z)y.

Вектор углового ускорения найдем, продифференцировав уравнение (4.38):

ё	= ф(ХУ)т7 + фУтх + в у			+ фф(ХУ)ту	фёсоьфУтх	+ фвУт1,
или в скалярном виде
»	- ÿ c o s ^ s i n e	+ \ffcosQ	+	<pipsimfj sin0-<p0cos^cos0-00sin0,
-	ÿsini// + (pipcosip + 0 ,
=	IpcosipcosQ	+ ÿ s in Q	^ s i n ^ c o s 0 - ÿ > é c o s ^ s i n 0 +			ySécos0 .

Операторы угловой скорости A(C>) и углового ускорения A (S') найдут в последующем широкое применение при решении кинематических и дина­ мических задач. Операторная форма записи позволяет облегчить исследо­ в ан и е т а к и х слож н ы х объектов уп равлен и я, каки м и являю тся пространственные кинематические цепи манипуляторов и роботов.

4.6* Обобщенные координаты, уравнения связей, математическая модель кинематической цепи

Твердое тело — это система материальных точек, расстояние между которыми не изменяется при его движении. Определим, сколько независи­ мых координат необходимо для задания положения тела в выбранном про-

Рис. 4.11. Связи в твердом теле

странстве. Каждая точка в отдельности имеет три независимые координаты. На по­ ложение точек, составляющих твердое те­ ло, налагаются условия постоянства расстояния между ними вида г/;- = с/у (где г/у —расстояние между г-й и у-й точками, — постоянная), из-за чего число независи­ мых координат уменьшается. Однако для каждой точки не обязательно определять расстояния от нее до всех остальных точек тела, достаточно указать расстояния до трех произвольно выбранных точек (рис. 4.11). Таким образом, если задано положе­ ние трех точек твердого тела, положение

остальных точек определяется с помощью приведенного выше уравнения. Три точки твердого тела также не вполне независимы. Их координаты связаны уравнениями жесткой связи г12 = Cj2, г23 = с23, г13 = с13, которые уменьшают число степеней свободы с девяти до шести. Итак, твердое тело обладает шестью степенями свободы — для задания его положения в про­ странстве требуется шесть независимых координат.

Положение твердого тела в пространстве не обязательно задавать декар­ товыми координатами точек. Положение произвольной точки М твердого тела в пространстве Е определяется радиусом-вектором (символ^ здесь и далее, если не возникает необходимость, будем опускать)

г =	1	л + т р ,	(4.42)
где ?л	—	радиус-вектор начала связанной системы тела; т	— матрица

направляющих косинусов связанной системы; р — радиус-вектор точки М в связанной системе (рис. 4.8).

Поскольку точка М — произвольная, уравнение^ преобразования коор­ динат (4.42) определяется положение любой точки, а значит, самого тела. В этом уравнении двенадцать переменных параметров: три декартовых координаты начала — точки Л и девять направляющих косинусов. Однако направляющие косинусы связаны шестью условиями ортогональности (4.8), (4.9), уменьшающими число свободно задаваемых параметров тела до шести. Можно выразить матрицу т через эйлеровы углы. Тогда незави­ симыми координатами, определяющими положение тела, будут служить три декартовы координаты и три эйлеровых угла. Такую совокупность координат полюсов и эйлеровых углов будем называть эйлеровыми коорди­ натами тела.

Любая совокупность параметров <7s(s= 1,...,л), достаточная для опреде­ ления положения системы в пространстве, носит название обобщенных координат системы. Между обобщенными и декартовыми координатами

точек должны существовать явные соотношения вида

x i “ * i ( <7 1- ^2 *** - * <?„>•

Такими являются, в частности, соотношения (4.42).

Кинематическая цепь — это агрегат, образованный из подвижно соеди­ ненных между собой твердых тел. Из одной и той же системы тел можно получить различные'агрегаты, отличающиеся друг от друга структурой (под структурой понимается способ соединения отдельных тел в агрегат). Тела соединяются с помощью устройств, называемых кинематическими парами. До объединения в связанную систему тела образовывали систему свободных тел с общим числом степеней свободы 6N, где N — число тел. При соединении тел посредством кинематических пар накладываются опреде­ ленные ограничения на координаты точек этих тел, уменьшающие общее число степеней свободы системы. Соотношения, возникшие в результате соединения тел с помощью кинематических пар и связывающие обобщен­ ные координаты, называются обобщенными уравнениями связей или урав­ нениями связей. Здесь будут рассматриваться только конечные (голономные) связи, которые накладывают ограничения на координаты точек. Они представляются в виде уравнений

Fk (Q 1 » ? 2 ’ • • • 'Q n )= 0 -

(4*43)

Это справедливо для любой материальной системы, в том числе и для отдельного твердого тела. Так, например, в случае задания положения твердого тела с помощью направляющих косинусов уравнениями вида (4.43) являются шесть условий ортогональности (4.8), (4.9), выражающих в конечном счете неизменность расстояний между точками в твердом теле.

Здесь мы не будем рассмат­ ривать механизмы с высшими парами, поэтому практический интерес представляют только пары 3—5-го классов: шаровой шарнир, шаровой шарнир с пальцем, вращательная пара (цилиндрический шарнир), по­ ступательная пара, цилиндри­ ческая пара, винтовая пара.

Очевидно, что для кинема­ тической цепи число уравне­ ний должно быть меньше числа переменных п (обобщенных координат), в противном случае система становится “затвердев-