книги / Статистический анализ данных в геологии. Кн. 1

Т а б л и ц а 2,20 Стандартизованные значения солености в заливе Уайтуотер

Номер об­	Выборочные	Стандарти­	Номер об­	Выборочные	Стандарт*
разца	значения	зованные	разца	зтачения	зованпые
		значения			значения
1	46,00	— 0,38	25	35,00	— 1,57
2	37,00	— 1,35	26	49,00	— 0,06
3	62,00	1,34	27	48,00	— 0,17
4	59,00	1,02	28	39,00	-1 ,1 4
5	40,00	— 1,03	29	36,00	— 1,46
б	53,00	0,37	30	47,00	— 0,27
7	58,00	0,91	31	59,00	1,02
8	49,00	— 0,06	32	42,00	— 0,81
9	60,00	1,13	33	61,00	1,24
10	56,00	0,70	34	67,00	1,88
11	58,00	0,91	35	53,00	0,37
12	46,00	— 0,38	36	48,00	— 0,17
13	47,00	— 0,27	37	50,00	0,0о
14	52,00	0,27	38	43,00	— 0,71
15	51,00	0,16	39	44,00	— 0,60
16	60,00	1,13	40	49,00	— 0,06
17	46,00	— 0,38	41	46,00	— 0,38
18	36,00	— 1,46	42	63,00	1,45
19	34,00	— 1,68	43	53,00	0,37
20	51,00	0,16	44	40,00	— 1,03
21	60,00	1,13	45	50,00	0,05
22	47,00	— 0,27	46	78,00	3,07
23	40,00	— 1,03	47	48,00	— 0,17
24	40,00	— 1,03	48	42,00	— 0,81

мых в каждой категории возводится в квадрат, то значения статистического критерия не могут быть отрицательными. Сле­ довательно, %2-критерий всегда является односторонним, и об­ ласть отклонения гипотезы расположена справа.

В нашем примере область наблюдаемых значений должна быть разбита на четыре части с равными вероятностями. Если значения солености распределены нормально, то приблизитель­ но 12 нормализованных значений должно попасть в каждую из четырех категорий. По выборке вычисляем действительное чис­ ло наблюдений (частот попадания), содержащихся в каждой из этих групп. Так как групп всего четыре, то ожидаемые значе­

ния	числа наблюдений равны 12. Первый шаг — стандартиза­
ция	данных по формуле (2.26), повторяемой	здесь:
	Zi = {Xi — X) fs.	(2.46)

Выборка данных, полученных при опробовании в заливе Уайтуотер, имеет оценку среднего X = 49,54 и оценку стандарт­ ного отклонения s = 9,27. Поэтому нормализация наблюдений осуществляется по формуле

Zt = (Xi — 49,54) /9,27.

102

Т а б л и ц а 2,21

Стандартизованные значения солености, сгруппированные для проверки гипотезы о нормальном распределения таким образом,

что каждой группе соответствует вероятность 0,25

Категория от —оо до —0,67			Категория	эт —0,67 до 0,0
— 1,35	— 1,14		—0,38	—0,17
— 1,03	— 1,46		—0,03	—0,27
— 1,46	—0,81		—0,38	—0,17
— 1,68	—0,71		—0,27	—0,60
— 1,03	— 1,03		—0,33	—0,06
— 1,03	—0,81		—0,27	—0,38
— 1,47			—0,03	—0,17
Общее число наблюдений		13	Общее число	наблюдений	14
Категория от 0.0 до +0,07			Категория	от +0,67 до ос
0,37	0,37		1,34	1,13
0,27	0,05		1,02	1,02
0,16	0,37		0,91	1,24
0,16	0,05		1,13	1,88
			0,70	1,45
			0,91	3,07
			1,13
Общее число наблюдений		8	Общее число	наблюдений	13

Стандартизованные значения приведены в табл. 2.20. В табл. 2.21 приведены результаты разбиения всей выборки на четыре категории. Если выборку можно считать извлеченной из нор­ мальной совокупности, то следует ожидать приблизительно 12 наблюдений на категорию. Вычисляя значения критерия %2, получим следующие промежуточные результаты:

(13— 12)2 .		(14 —	12) 2	, (8 — 12)2	,
'■ “	ii— +	S	4	“	+
,	(13 — 12)2		22	1,83.
	12		12

Вычисленное значение %2 меньше критического 2,71 10%-ного уровня значимости и одной степени свободы. Поэтому нет осно­ ваний считать, что распределение значений солености в поверх­ ностных водах существенно отклоняется от нормального закона.

Конечно, статистика %2 позволяет проверить гипотезу не только о нормальном распределении. Мы можем применить этот критерии для проверки гипотезы о любом другом законе рас-

ЮЗ

'Пределения, например, таком, как логнормальный, экспоненци­ альный и т. д. При этом процедура проверки не изменяется, хотя число степеней свободы в каждом случае зависит от числа оцениваемых параметров. Кохран [7] подробно рассматривает эти вопросы.

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ДРУГИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Многие геологические переменные очевидно не подчиняются нормальному распределению. Если, например, нанести на гра­ фик объемы нефтяных полей (рис. 2.34), то полученное распре­ деление будет в высшей степени асимметричным. Большинство полей малы по размеру, но имеется убывающая последователь­ ность более крупных полей, немного редких гигантов, которые значительно превосходят другие по объему. Геохимические пе­ ременные, подвергнутые опробованию в процессе геохимическо­ го исследования, например, такие, как концентрация селена в растительном материале пли концентрация иода, обнаружен­ ная в пробах грунтовых вод, также подчиняются асимметрич­ ным распределениям. В распределениях размеров зерен в осад­ ках ярко выражена асимметрия, и целая система классифика­ ции основывается на этом факте [21]. На рис. 2.35 представле­ на гистограмма, показывающая концентрацию меди в осадоч­ ном русле на Юконе. На ней представлено асимметричное рас­ пределение, типичное для многих других геологических пере­ менных,

Если наблюдения, представленные на рис. 2.34 и 2.35, пре­ образовать в логарифмическую форму (т. е. вместо перемен­ ных X используются переменные Fj = log X,-, то мы убедимся, что

их	распределения	станут приблизительно	нормальными
(рис.	2.36 и 2.37).	Такие переменные называются	логнормаль­

ными. Так как они часто встречаются в геологии, то логнор­ мальное распределение в высшей степени важно. Однако если ограничиться рассмотрением преобразованных переменных У,-, а не самих X,-, то свойства логнормального распределения мож­ но просто охарактеризовать ссылкой на нормальное распреде­ ление.

Среднее и дисперсия логарифмически преобразованной пере­ менной Yi находятся обычным способом;

У = l Y t / n и
а _	Е Р Т - П 2	(2.47)
Y	п— 1

Однако в терминах исходной непреобразованной переменной^;

104

Рис. 2,34. Гистограмма распределения продуктивности нефтеносных полей, открытых в Денверском бассейне в 1969 г.

40 х-

35

30

■25

° 20

О

3 15

10

5

О

среднее У соответствует корню п-й степени из произведений Xi

V = GM =■ ¥ ЛХ,,

(2.48)

который называется геометрическим средним, GM. Символ П аналогичен Б, только он означает, что элементы указанного вслед за ним ряда перемножаются, а не складываются. П так­ же имеет пределы, аналогичные тем, которые используются при знаке суммирования Е. Иногда эти пределы, если они очевид-

105

Рис. 2.36. Гистограмма распределения продуктивности нефтеносных полей, от крытых в Денверском бассейне в 1969 г.

Масштаб логарифмический. Взято из Харбука, Давтока, Девиса

Рис. 2.37. Гистограмма содержаний меди в осадочных породах на площади Нанси в Юконе.

Представлена в логарифмическом масштабе (291

3

ны, опускаются. Так. П X.-. гдеЛ'[=2, ^2 = 3, Х3 = 4, равно

ПАЙ = 2X 3X 4= 24.

Дисперсия логарифмически преобразованной переменной на­ зывается геометрической дисперсией и эквивалентна

(2.49!

На практике, конечно, проще преобразовать наши наблюдения, взяв их логарифмы, и затем вычислить их среднее и диспер­ сию. Если требуется найти геометрическое среднее и диспер­ сию, то надо взять антилогарифмы от У и sV До тех пор пока

106

Рис. 2,38. Объемы нефтяных залежей, связанных с соляными куполами в Луи­ зиане на внешнем континентальном шельфе (Мексиканский залив). По сейс­ мическим данным

мы работаем с данными в преобразованном виде, все статисти­ ческие процедуры, применяемые к обыкновенным переменным, пригодны и для логарифмически преобразованных переменных. Добавим еще, что логарифмическое преобразование перемен­ ных полезно, если требуется стабилизировать дисперсию и тем самым привести переменную с асимметричным распределением к более симметрическому виду. На рис. 2.38 представлены объ­ емы залежей нефти, ассоциированных с соляным куполом на площади внешнего континентального шельфа Луизианы. Эти объемы залежей нанесены на оси ординат графика; на оси абс­ цисс отложены площади структур, в которых расположены за­ лежи. В общем случае имеется положительная связь между двумя переменными; т. е. более крупные структуры обычно содержат более крупные залежи. Однако размер залежи так­ же увеличивается по мере увеличения размеров структур, или, другими словами, наблюдаемая дисперсия пропорциональна среднему.

107

Рис. 2.39. Данные рис, 2.38, представленные в логарифмическом масштабе

Логарифмическое преобразование помогает скорректиро­ вать это условие, как это легко увидеть на рис. 2.39. Здесь как объем залежи, так и размер структуры преобразуется взя­ тием их логарифмов, в результате получается график двойного логарифма. Дисперсия логарифмов объемов залежей остается почти постоянной для всех значении логарифмов размеров структур.

Характеристики	логнормального	распределения рассмотре­
ны в монографии Ачисона гг Брауна [2] и в геологическом кон­
тексте— Кохом гг	Линком f18].	Нормальное распределение

обычно возникает, когда производятся повторные замеры неко­ торой фиксированной величины р. Каждое индивидуальное из­ мерение претерпевает флуктуацию в силу многих случайных воздействий, которые складываются с измерением, действуя иногда в одном, а иногда в противоположных направлениях. Обычно эти случайные воздействия взаимно уничтожаются, гг окончательное измерение близко к истинному значению. Однако в редких случаях большинство случайных отклонении может иметь один и тот же знак, и тогда возникают экстремальные значения. Это явление отражено в колоколообразном виде нор­

мального распределения.

Логнормальное распределение может возникнуть при тех же обстоятельствах, если случайные воздействия не аддитивны,

108

а мультипликативны. Большинство случайных возмущений, пе­ ремноженных вместе, дают промежуточное значение произведе­ ния, близкое к геометрическому среднему. В редких случаях при случайном выборе все возмущения могут оказаться очень малыми, и нх произведение будет близко нулю. Так же редко все возмущения могут оказаться большими, и их произведение будет экстремально большим значением. Результатом многих случайных реализаций будет распределение, которое начина­ ется в нуле и возрастает до своего максимума, и затем спуска­ ется вниз, достигая экстремально больших значений.

Биологи часто ссылаются на «закон пропорционального эф­ фекта», состоящий в том, что изменение переменной в течение процесса есть случайная величина, пропорциональная исходно­ му значению этой переменной. Например, вероятность измене­ ния размера колоний микробов во временной промежуток про­ порциональна размеру колоний в предшествующий отрезок вре­ мени. Большие колонии стремятся расшириться (или умень­ шиться) в большей степени, чем малые колонии. Возможно, нефтяные месторождения формировались таким же образом, так что в течение миграции углеводородов большие скопления стремились увеличиться с пропорционально большей ско­ ростью, чем это происходило с малыми скоплениями. Такие процессы подчиняются логнормальному распределению.

Геологи, возможно, менее знакомы с «теорией дробления», которая предсказала заранее и объяснила логнормальное рас­ пределение для размеров частиц, которые наблюдаются в ес­ тественных осадках и в измельченном материале, производимом мельницами и дробилками. Предположим, что взят набор час­ тиц одинакового размера и затем каждая из них разделена случайным образом. В общем случае в результате один из об­ ломков каждой исходной частицы будет больше, другой — мень­ ше. Если затем каждый из этих обломков снова раздробить случайным образом, то из малых кусков получатся еще мень­ шие, в то время как каждый большой обломок даст снова боль­ ший и меньший куски. Если этот процесс повторять снова п снова, то в результате получим очень большое число очень ма­ лых частиц и немного «избранных» зерен, размеры которых близки к исходным размерам частиц. Другими словами логнор­ мальное распределение часто наблюдается при изучении осадков.

Другие преобразования

Для получения приблизительно нормального распределения можно над переменной X произвести также некоторые другие лоеобразования, которые преобразуют дисперсию к более при­

109

емлемому виду или дадут некоторые другие статистические по­ лезные результаты. Хотя ничего не было сказано об исходной шкале измерения, но мы должны чувствовать себя свободными в случае, если окажется полезным изменить ее. Однако следу­ ет постоянно помнить, что наш статистический анализ имеет целью проверку различных статистических гипотез, которые могут иметь место для характеристик преобразованных пере­ менных и не обязательно справедливых для исходных перемен­ ных. Конечно, следует позаботиться о том, чтобы используемые преобразования не были настолько экзотическими, чтобы за ними терялась природа исходных переменных, свойства которых исследуются.

Если наши данные представляют собой, например, число про­ дуктивных скважин в регионе или число зерен циркона в шли­ фе, эти числа могут подчиняться распределению Пуассона. Вместо того чтобы считать эти данные дискретными, удобнее привести их к приблизительно нормальному виду, извлекая из них квадратный корень, т. е. каждое значение Xt заменяется на

К=У % - Это преобразование сделает дисперсии более однород­ ными и приведет к сокращению длинного хвоста пуассоновско­ го распределения. Если наблюдаемые значения X, меньше, чем примерно 10, то удобнее использовать преобразование У;=

= ]/Х;+1/2, особенно в тех случаях, когда некоторые наблюдения равны нулю.

Робинсон [28] рекомендует использовать степенное преоб­ разование, например У,= ХД Уг= Х г-3 и так далее, при выявлении петрофизических свойств, по данным каротажа в скважинах. Возведение в степень приводит к большему увеличению боль­ ших значений, чем малых. Если возведение в степень приме­ нять после изменения масштаба так, что множество значений (Y max' УтIn) будет таким же, как и множество значений исход­ ных переменных {Хтгх—Xmin), то эффект будет заключаться в том, что на каротажных диаграммах будут подчеркиваться области высоких значений и подавляться участки, где значения низки. Степенное преобразование имеет такое же влияние на распределение данных и может быть использовано для исправ­ ления отрицательной асимметрии. Однако оно может также привести к увеличению дисперсии и сделать ее неоднородной.

Отрицательно асимметричное распределение иногда может быть приближенно преобразовано в нормальное, если приме­ нить преобразование y, = arcsin X;. При этом исходные перемен­ ные должны быть предварительно преобразованы в числа в пределах интервала (0,00—1,00). Другое преобразование аркси­ нуса, описанное в гл. 4, можно использовать для преобразова­ ния биноминального распределения в нормальное.

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

Все предыдущие статистические методы являются парамет­ рическими, т. е. они основаны на характеристиках распределе­ ний, параметры которых известны. Все используемые критерии (t, F и у2) строятся для выборок из нормальных совокупностей.

Для	обоснования возможности использования этих	критериев
в тех	случаях, когда исследуемая совокупность не	является

нормальной, при условии, что объем выборки велик н совокуп­ ность не очень сильно отличается от нормальной, следует обра­ титься к центральной предельной теореме. Иногда, однако, ис­ следуемая совокупность может сильно отличаться от нормаль­ ной, или же объем выборки нельзя увеличить. В таких случаях следует обратиться к категории критериев, называемых непара­ метрическими статистическими критериями. Их можно приме­ нять для обработки информации более низких шкал, таких, как номинальные и порядковые данные, в отличие от метрических данных, используемых в параметрической статистике. Не тре­

буется	никаких допущений о виде исходного распределения,
отсюда	и название — непараметрические критерии. Вообще,

в тех случаях, когда выборочная совокупность имеет характери­ стики, необходимые в параметрическом анализе, непараметрнческие критерии оказываются менее мощными, чем эквивалент­ ные параметрические. Однако если выборочная совокупность не имеет специфических характеристик, непараметрические ме­ тоды оказываются более мощными.

Непараметрические критерии в геологии широко не исполь­ зовались и обычно не приводятся в элементарных учебниках статистики. Однако есть много прекрасных книг, в которых опи­ саны непараметрические эквиваленты параметрических про­ цедур, уже рассмотренных нами. Среди них можно назвать книги Зигеля [30], Бредли [4] и Коновера [8] и др.

Критерий Манна — Уитни

Критерий Манна — Уитни можно использовать как непараметрическнй эквивалент ^-критерия для проверки гипотезы о равенстве средних двух выборок. Предположим, что мы имеем две выборки объема т и п и хотим проверить гипотезу о том, что они являются выборками из одной и той же совокупности. Объединим обе выборки и расположим значения наблюдений в порядке возрастания от меньшего к большему. Каждому наблюдению припишем его ранг, т. е. наименьшему значению припишем ранг I, следующему по величине — ранг 2 и так да­

лее, до	наибольшего наблюдения, которое будет иметь ранг
(т + п).	Если обе выборки были взяты из одной и той же сово-
-купностп	наудачу, то можно ожидать, что наблюдения одной
	Ш