книги / Сферическая астрономия

выполнить один поворот: относительно оси —Оу (обе системы коор­ динат —левые) на угол —(90° —ф)угде ц>—астрономическая широ­ та. Следовательно, матричное уравнение преобразования координат можно записать как

^сов 5сов ^

СОВ 6 81ПI

\8П1<$

Легко проверить, что эта система совпадает с уравнениями (2.4).

Используем полученные формулы преобразования координат для решения следующих задач.

Задача 1. Найти геометрическое место точек на небесной сфере, у которых склонение 6 равно эклиптической широте /?.

Решение. Преобразование координат точки из экваториальной в эклиптическую систему задается уравнениями (2.14):

сов (3сов Л = сов 6 сов а,

сов /3вш Л = сов 6 81П а сов е + з т 6 з т е,

в т (3 = —сов 6 в т а в т е + в т 6сов е.

Из первого уравнения получим: сов Л = сова. Если из вто­ рого уравнения выразить вш а и подставить в третье, то найдем, что вш А — —в т а. Решением системы этих двух уравнений будет

Очевидно, что в точке весеннего равноденствия 6 = /3 = 0, также а = Л = 0; в точке осеннего равноденствия 6 = /3 = 0, а = А = 180°. Геометрическим местом на сфере, удовлетворяющим условию 6 = (3 = к (к —некоторое число), является точка сфериче­ ского треугольника, одной из сторон которого является дуга между полюсом мира и полюсом эклиптики и равная е, двумя другими — дуги с длиной 90° - к. При увеличении к до 90° треугольник вырож­ дается в дугу, а точка поднимается по дуге окружности, проходящей посередине между полюсом мира и полюсом эклиптики.

Таким образом, искомым геометрическим местом точек на небес­ ной сфере будет окружность — пересечение большого круга, накло­ ненного к экватору под углом 90° + е/2 и проходящего через точки равноденствия, с небесной сферой.

Задача 2. Найти геометрическое место точек на небесной сфере, у которых прямое восхождение а равно эклиптической долготе Л.

Решение. По аналогии с предыдущей задачей получим два урав­ нения:

С08 /3 = С08 <5,

81П (3 = — 81П 8,

которые удовлетворяются при /3 = —6. Легко доказать, что гео­ метрическим местом на небесной сфере, соответствующим условию /3 = -6 , будет окружность — пересечение сферы с большим кругом, наклоненным к экватору под углом е/2.

Задача 3. Каково прямое восхождение и склонение северного и южного полюса эклиптики?

Решение. Координаты полюсов эклиптики можно найти, решая уравнения (2.14). Однако проще найти решение, воспользовавшись рис. 2.7. Для совмещения осей двух систем достаточно повернуть эк­ ваториальную систему относительно оси Ох на угол г, так как по­ люсы эклиптики лежат в плоскости Оуг. Значит, координаты север­ ного полюса эклиптики равны а = 270°, 8 = 90° —е, а южного — а = 90°, 8 = —90° + е.

Задача 4. В каких точках Земли эклиптика может совпадать с первым вертикалом?

Решение. Напомним, что первым вертикалом называется верти­ кальный круг, проходящий через точки востока и запада, т. е. эклип­ тика должна проходить через зенит наблюдателя и точки востока и запада. Значит северный полюс эклиптики должен находиться в плоскости горизонта наблюдателя и совпадать с точкой севера. Это возможно, если широта наблюдателя равна г, т. е. наблюдатель на­ ходится на северном тропике. Солнце восходит в точке востока, дви­ жется через зенит наблюдателя и заходит в точке запада. Если встать лицом к северу, то Солнце встает справа, заходит слева.

В южном полушарии аналогичная картина наблюдается, если на­ блюдатель находится на южном тропике (широта равна —е). Однако кажется, что небесная сфера вращается в противоположную сторо­ ну; Солнце встает слева, заходит справа, если встать лицом к югу.

2.6. Суточное вращение небесной сферы

Из-за вращения Земли вокруг своей оси кажется, что небесная сфера вращается вокруг оси мира, которая параллельна оси враще­ ния Земли. В результате этого через небесный меридиан периодиче­ ски проходят звезды, Солнце и другие светила.

Определение 2.6.1. Момент прохождения звезды через меридиан называется кульминацией звезды.

Та из двух кульминаций, которая происходит ближе к зениту, на­ зывается верхней, вторая —нижней. Для наблюдателя в северном полушарии верхняя кульминация происходит к югу от северного по­ люса мира (точка на рис. 2.9), а нижняя —к северу от него (точ­ ка ^ ). В верхней кульминации часовой угол светила равен 0Ь, а в нижней —12ь. Значит промежуток времени между ^ и ^ равен 12ь (или 180° в угловой мере).

2

3

Рис. 2.9. Верхняя и нижняя кульминации звезды для наблюдателя в север­ ном полушарии.

Из рис. 2.10 ясно, что для звезды С\> кульминирующей к югу от зенита, р = + <$ь тогда как для звезды С2 , кульминирующей к се­ веру от зенита, справедливо равенство р = 82 — г2-

Таким образом в верхней кульминации имеем:

для С\ :	ги =	р — 8, если р > 8\	( 2.22)
для С2 :	ги =	8 — р, если р < 8.	(2.23)

Рис. 2.10. Заходящие и незаходящие звезды.

Для нижней кульминации получим:

г\ = (90° - <р) + (90° - 8) = 180° - (р + 8).

(2.24)

Зенитное расстояние звезды в верхней (нижней) кульминации яв­ ляется минимальным (максимальным) зенитным расстоянием. В зависимости от величин ги и г\ звезды можно разделить на неза­ ходящие, невосходящие, восходящие и заходящие. Если в нижней кульминации г\ < 90°, то звезда всегда находится над горизонтом. Из (2.24) получим:

г\ — 180° —(</? + <5) < 90°.

Значит для незаходящих звезд в северном полушарии выполняется соотношение:

6 > 90° - <р.

Для невосходящих звезд зенитное расстояние в верхней кульмина­ ции ги > 90°, то есть (р -8 > 90° или 8 < -(90° - ф). Таким образом, если склонение звезды 8 удовлетворяет условию

-(90° - ф) < 8 < 90° - <р,

то звезда периодически восходит и заходит.

До последней четверти XX века наблюдения звезд в верхней и нижней кульминациях использовались для определения широты

места или склонения звезд. Если при помощи наблюдений получе­ ны ги и ги то, складывая (2.23) и (2.24), получим:

<р = 90°

2и + Ч

2

В этом случае не требуется знать склонение звезды. Обратно, скло­ нение звезды может быть найдено, даже если не известна широта ме­ ста, из уравнения:

8 = 90° +

- Ч

2

2.7.Восход и заход небесных тел

Вмомент восхода и захода небесного тела его зенитное расстоя­ ние г = 90°. Тогда формулу (2.1) можно преобразовать к виду:

соз 2 = —Ь%8 Ъ%1р.

(2.25)

Зная склонение 8 небесного тела и широту места наблюдения </?, можно определить часовой угол I в момент восхода или захода. Так как

1 —соз I	о I	1 +Ь& 8Ъ% у
----------1 Н - соз Ь=	- 2	1 -

то уравнение (2.25) можно записать в виде:

соз(у? —8 )

(2.26)

соз(ср + 8 )

Возможны три случая.

1. Каждое из уравнений (2.25), (2.26) имеет два решения

18:

значение лежит между 180° и 360° —в этот момент небесное тело восходит; значение 18 лежит между 0° и 180° и является моментом захода. Это означает, что небесное тело периодиче­ ски восходит и заходит.

Азимут в точках восхода и захода определяется из системы уравнений:

зт А = соз 8 з т

(2.27)

соз А = —з т 8 соз у? + соз 8 з т ^ соз

где I равняется 1Тили 18. Азимут в точке восхода может прини­ мать значения 180° ~ 360°, в точке захода —0° -г 180°.

Чтобы найти время восхода (захода), необходимо к часовому углу прибавить прямое восхождение а небесного тела:

5 = 1 + а,

где 5 —местное звездное время. Определение звездного време­ ни будет дано ниже (см. §4.2).

2.Если уравнения (2.25), (2.26) имеют одно решение, то это озна­ чает, что небесное тело касается горизонта. Если это событие происходит во время нижней кульминации, то <р+8 = 90°. При этом из (2.26) получим: 1Г = 18 = 180°, а из (2.27) А = 180°.

Если небесное тело достигает плоскости горизонта во время верхней кульминации, то <р- 8 = 90°, 1Т = 1а = 0°, А = 0°.

3.Если правая часть уравнения (2.25) больше 1 или меньше -1, то уравнение не имеет решений, т. е. восход и заход невозмож­ ны. Чтобы решить вопрос, является ли небесное тело незахо­ дящим или невосходящим в северном полушарии, надо прове­ рить неравенства:

6> 9 0 ° 8 < —(90° —ф).

В первом случае тело является незаходящим, во втором — невосходящим.

Заметим в конце параграфа, что при выводе формулы (2.25) не учи­ тывалось явление рефракции (§5.1), которое приводит к подъему светила над горизонтом относительно его истинного положения. В результате рефракции время восхода наступает на несколько минут раньше, а время захода — на несколько минут позже вычисленного по формулам (2.25), (2.26).

2.8.Определение систем координат в современной астрометрии

При предположении, что пространство является евклидовым (или абсолютным, по терминологии Ньютона), система может быть инерциальной, если она неподвижна или движется прямолинейно

с постоянной скоростью относительно абсолютного пространства. Время в ньютоновой механике также является абсолютным в том смысле, что течение времени не зависит от положения часов в про­ странстве. Это означает, что при переносе начала координат из од­ ной точки пространства в другую (или переходу в другую инерци­ альную систему) законы физики остаются неизменными. Говорят, что они ковариантны по отношению к этому преобразованию коор­ динат. Расстояние между двумя событиями, происшедшими в одно и то же время, одинаково в разных инерциальных системах, т. е. яв­ ляется инвариантной величиной.

При переходе от классической механики к специальной теории относительности необходимо изменить некоторые понятия. Преоб­ разования между координатами и временем данного события в двух различных инерциальных системах отсчета осуществляются с помо­ щью уравнений Лоренца. Они получены в 1904 г. голландским фи­ зиком X. А. Лоренцем как преобразования, по отношению к кото­ рым уравнения классической электродинамики сохраняют свой вид. В 1905 г. их вывел А. Эйнштейн, исходя из двух постулатов, соста­ вивших основу специальной теории относительности: равноправия всех инерциальных систем отсчета и независимости скорости рас­ пространения света от движения источника света.

Так как законы физики должны иметь одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета, они должны сохранять свой вид при Преобразованиях Лоренца. Это требование называется прин­ ципом релятивистской инвариантности или лоренц-ковариантнос- ти законов физики. Из преобразований Лоренца легко получить ос­ новные эффекты специальной теории относительности: относитель­ ность одновременности, замедление времени, сокращение продоль­ ных размеров движущихся тел. Это означает, что промежуток вре­ мени между двумя событиями в разных инерциальных системах уже не является инвариантом: например, собственное время (время в ла­ бораторной системе отсчета I/, связанное с движущимся наблюдате­ лем) течет медленнее, чем время, измеряемое часами, покоящимися относительно инерциальной системы координат Ь.

Если система отсчета V движется относительно Ь>то с точки зре­ ния наблюдателя в I/, все процессы в Ь замедлены. Для инерциаль­ ных систем отсчета все пространственно-временные эффекты отно­ сительны: с точки зрения наблюдателя в Ь замедляются все процес-

сы и сокращаются все продольные размеры в V . Однако это утвер­ ждение несправедливо, если хотя бы одна из систем неинерциальна. Если часы 1 перемещаются из точки А в точку В относительно инерциальной системы Ь со скоростью V , а затем обратно, из В в А со скоростью —V , то часы 1 отстанут по сравнению с часами 2. Это экспериментальный факт, так что эффект абсолютен. Он объясняет­ ся тем, что система отсчета, связанная с часами 1 не является инер­ циальной, так как в точке В при повороте часы 1 испытывают уско­ рение; поэтому часы 1 и 2 неравноправны.

При наличии полей тяготения законы специальной теории от­ носительности в общем случае не работают. Однако в ограничен­ ных областях пространства, как утверждается в теории относитель­ ности, можно специальным образом выбрать ускоренно движущу­ юся систему координат. Если ускорение системы равно ускорению, которое приобрела бы свободная частица, помещенная в рассматри­ ваемую область пространства, то такую систему можно считать ло­ кально инерциальной. В этой системе законы специальной теории относительности выполняются с высокой точностью. Преобразова­ ние координат при переходе от одной локальной системы к другой определяется уравнениями Лоренца.

Вобщей теории относительности течение времени определяется не только скоростью часов, но и гравитационным полем в месте, где находятся часы. Поле характеризуется функцией, называемой гра­ витационным потенциалом. Поэтому в выбранной системе отсчета вводится «координатное» время и определяется закон преобразова­ ния времени при переходе в другую систему, т. е. к другому коор­ динатному или «собственному» времени, если система отсчета свя­ зана с наблюдателем. Эти вопросы будут подробно рассмотрены в главе 4. Все регистрируемые моменты или «эпохи» выражаются при обработке наблюдений в той шкале времени, которая связана с вы­ бранной системой отсчета.

Всовременной астрометрии преобразования координат небес­ ных объектов, промежутков времени из одной системы в другую осуществляются на основе общей теории относительности.

Дадим теперь определение небесной системы отсчета и ее реали­ зации, которую мы назовем опорной системой отсчета. Она являет­ ся основой во всех разделах астрометрии, так как служит для опре­ деления положения и движения небесных тел.

Ни оси, ни основные плоскости инерциальной системы на небес­ ной сфере не нарисованы. Поэтому в астрономии для определения системы координат используются небесные тела. Определить ос­ новные плоскости и оси системы отсчета можно двумя способами: кинематическим и динамическим. Если существуют выбранные те­ ла, координаты которых известны и постоянны, то с этими телами можно связать инерциальную или, как говорят астрометристы, фун­ даментальную систему координат. Это кинематическое определе­ ние. В действительности координаты небесных тел точно не извест­ ны из-за ошибок наблюдений и, кроме этого, могут меняться по ряду причин. В этом случае наилучшим приближением к инерциальной системе будет система, определяемая объектами, координаты кото­ рых известны с наилучшей точностью и искажены лишь случайны­ ми ошибками.

Мы можем говорить, что подобная система в среднем не име­ ет вращения и можем назвать ее квазиинерциальной. В настоящее время наилучшей системой является система, задаваемая координа­ тами внегалактических радиоисточников. Наилучшей оптической реализацией квазиинерциальной системы является каталог звезд Н1РРАКСОЗ.

Систему координат можно определить динамическим образом, если в качестве тел выбрать тела Солнечной системы, координаты которых определяются на основе уравнений движения, не содержа­ щих кориолисовых членов. В простейшем случае — кеплеровском движении тела по эллиптической орбите относительно центрально­ го тела —система координат может быть определена плоскостью ор­ биты, которая в этом случае сохраняет свое положение в простран­ стве, как будет показано в § 2.10.2; ось 2 может быть определена как перпендикуляр к плоскости орбиты, а ось ж, например, совпадать с большой полуосью эллипса. В рамках ньютоновой механики ось ж сохраняет свое положение в плоскости орбиты. Задавая ось у с по­ мощью уравнения (1.23), можно определить инерциальную систему координат. Так как период обращения тела является постоянным, то в динамической системе отсчета может быть определена динамиче­ ская шкала времени, которая получила название эфемеридной.

В действительности ни положение плоскости орбиты в про­ странстве, ни положение большой полуоси не остаются постоян­ ными из-за возмущений со стороны других тел Солнечной систе-

мы и эффектов общей теории относительности. Поэтому динамиче­ ская система отсчета задается эфемеридами —таблицами положе­ ний Солнца, Луны и больших планет. В настоящее время исполь­ зуются эфемериды БЕ200/ЬЕ200, БЕ403/ЕЕ403 и БЕ405/ЬЕ405, вычисленные Лабораторией реактивного движения (Зе1 РгориЫоп ЬаЬога^огу, ЗРЬ). Эфемериды БЕ405/ЬЕ405 рекомендованы Меж­ дународной службой вращения Земли и систем отсчета (1п1егпа1юпа1 Еаг1Ь Ко1а1лоп апЗ Ке&гепсе Зуз^ешз Зегосе, 1ЕК5) для ис­ пользования в качестве стандартных, и ожидается, что они в скором времени заменят эфемериды БЕ200/ЬЕ200, которые сейчас являют­ ся основой при составлении ежегодников.

Для того, чтобы определить положение динамической эклипти­ ки в кинематической системе, необходимы специальные исследова­ ния (изучение движения Луны, наблюдения космических зондов от­ носительно квазаров, т. е. одновременно и в кинематической, и в ди­ намической системах, и т. д.). В качестве наиболее перспективно­ го метода привязки динамической точки весеннего равноденствия к кинематической системе является наблюдение пульсаров на РСДБ относительно квазаров и одновременно с этим хронометрирование пульсаров (см. стр. 229).

2.9.Эпоха каталога, эпоха равноденствия, динамическое равноденствие

До 1998 г. квазиинерциальная система была реализована в виде фундаментального каталога, носящего название РК5 (РипЗашепЫ КаЫо§ 5). Каталог включает 1535 звезд. Координаты звезд извест­ ны с ошибкой ~ 0','08 и собственные движения с ошибкой ~ 1 мс дуги в год. Дополнительный каталог (РК5 Зир.) включает 3117 звезд, координаты и собственные движения которых определены с бблыними ошибками (~ 0','12 и 2 мс дуги в год, соответственно). Ос­ новная плоскость системы РК5 задавалась экватором на стандарт­ ную эпоху 32000.0 (см. стр. 235), а начало отсчета прямых восхож­ дений —пересечением экватора с эклиптикой на эпоху 32000.0. Со­ гласно решению МАС эклиптика определялась динамическим обра­ зом на основании наблюдений тел Солнечной системы. Поэтому на­ чало отсчета прямых восхождений называется динамическим равно­ денствием и обозначается как Т 7 2 0 0 0 .0 -