книги / Сопротивление материалов пластическому деформированию Инженерные расчеты процессов конечного формоизменения материалов

В зоне II в направлении оси х происходит укорочение, а по оси у — удлинение. Следовательно, для зоны II условие пластич­ ности необходимо записать в следующем виде:

P x ii ' Руп =	-р = -1 /о ? -З т 2,	(11.13)
где индекс II означает принадлежность ко II зоне.		сравнению
В зоне стенки касательное	напряжение мало по

с of, поэтому для упрощения расчетных формул в выражении (11.13) положим х = 0.

Определим приближенно руИ в сечении BD из условия равно­ весия упруго деформируемой стенки полуфабриката, на контакт­

ных поверхностях которой в зоне III действуют		нормальные ох
и касательные	напряжения. В силу того, что	ау уравновеши­

вают лишь Тк, которые принимаем одинаковыми по всей поверх­ ности пояска, имеем

Реп = - (Оу)во~2%Ж	(11.14)
Таким образом, с учетом принятого допущения и выражения
(11.14)
Pxii = ( 2 //3 ) ог + 2 х Ж	(11.15)
Приравняв правые части уравнений (11.12) и (11.14), получаем
Р ук = ( 2 //3 ) J / O? - 3 TÎ + (2/1/3) о, -f 2%J/S.	(11.16)

Заменив р на а, из уравнений (11.10) и (11.11) с учетом (11.16), (11.4), и условия о знаке тк, имеем следующие выражения для нормальных напряжений:

y = - V < $ - t â - y f O i -

		2xJ	2тк			(11.17)
ay=	2 l/"	2 O 2	2	2xKl	2TK	x (11.18)
	".—'y	Os — OTK----- ^		O; —
	]f3V		/ 3	‘

По формулам (11.17) и (11.18) можно вычислить приближенные значения ох и оу в любой точке зоны /, если известны тк и Тк.

Усилие деформирования определим, спроецировав все силы, действующие на пуансон (рис. 41), на направление оу:

	ь
Р = 2	\ р у (dFi +	dF2) 4-4 (a + b) lx'K,	(11.19)
где
dFl = 2	(a — x) dx\	dF2= 2 (b — x) dx.

В результате интегрирования выражения (11.19) при использо­ вании уравнений (11.11) и (11.16) получаем

р = “ Зт“ + w ° ‘ + ( 1 - т I ) +

+*«'(т+Т +т)]'								<1•-«»
Значения тк и Тк в рассматриваемом процессе целесообразно
принимать пропорциональными сг,-:
тк =	М ;	тк = /Ч .						(11.21)
где /, /' — коэффициенты	пропорциональности					(часто отождест­
вляемые с коэффициентом трения). Поскольку тк и							не могут
	превзойти тшах,					то значения / и f
	изменяются от нуля (при отсут­
	ствии трения) до 0,58						(при макси­
	мальном трении). Контактные ус­
	ловия на торце пуансона, как
	правило, значительно сложнее, чем
	на боковой поверхности. Поэтому
	в расчетах				значения /		и	/'	надо
	принимать				различными.			Однако
	при			ориентировочных			расчетах f
	и f		можно назначать				одинаковы­
	ми, что несколько упрощает вы­
	числения.				(11.21) формула для
		С учетом
	расчета усилия приобретает такой
	вид
		р ” i a b o >[T S У г ~г ^ 5 +							+
				+Н Н '-т!)+
Рис. 41. Расчетная схема к опре­			+	п ( | + т		+ 1 ) ] -		< " -22>
делению усилия деформирования
Разделив уравнение (11.22) на F, получаем формулу для расчета
удельного усилия q на пуансоне
h V V ~	P + T Ï + I T; ( ' - T Ï ) +
+ f ' ( ï - +		T	+	i ) ] -				<п	-23)

Если выдавливание происходит с деформационным упрочне­ нием, то значение о, должно быть определено по деформации et с использованием аналитической или графической зависимости

232

аг — Ф (е{)	для	деформируемого материала. Значение	et можно
определить	по	приближенной формуле
		(2/1/3) In (H/h).	(11.24)

В случае деформации без упрочнения (горячая деформация) зна­ чение сг( следует определить в зависимости от температурно-ско­ ростного режима формоизменения. При этом приближенное зна­ чение скорости деформации можно рассчитать по формуле

где V — скорость

( 2 //3 ) (о/Л),

(11.25)

перемещения

пуансона

в

рассчитываемой

ста­

дии деформации.

П р и м ер

1.

Вычислить усилие деформирования

для

следующих

исходных

данных:

2а =

38,8 мм; 2b = 24,3 мм; S =

1,75 мм;

/ =

7 мм;

Н = 5,9 мм;

h = 0,86

и

h = 0,68 мм; мате­

14. Расчетные (q p)

риал заготовки—алюминий мар­

Т абл и ц а

ки АД00; смазка — смесь мине­

и экспериментальные (q3) значения

рального масла с натуральным

удельного усилия

при холодном

воском; деформирование без на­

выдавливании

пуансоном

грева заготовки с малой скоро­

с плоским

торцем

стью приложения нагрузки.

Принимаем /=0,1; f ' = 0,05.

у

\%

о

|«

При определении агиспользуем

2

u

I 2

<п

" а .

О.

диаграмму а*=Ф (е/),

построен­

2

а

ную по результатам

испытания

-5:

•е

о

со*

Ь *

О

£

о

на растяжение

цилиндрических

образцов

из

алюминия АД00.

0 , 8 6

3 , 8 2

1 , 9 3

1 5 . 4

5 9 . 8

5 1 , 0

1 , 1 7

Результаты расчета по формулам

0 , 6 8

4 , 1 1

2 , 1 6

1 6 . 5

6 7 . 8

5 9 , 7

1 , 1 3

(11.23) и

(11.24) представлены

в табл. 14, там же указаны экс­

о

приемле­

периментальные значения удельного усилия, свидетельствующие

мости расчетных формул для использования их на практике.

Рассмотрим деформирование

пуансоном

со

скосом

на

торце.

С целью упрощения расчетных формул распространим скос на всю поверхность торца пуансона. Это изменение не может внести за­ метной погрешности ввиду малости <4 0К. На рис. 42 показана расчетная схема, на которой выделены характерные зоны / —III деформируемой заготовки. Принимаем те же допущения, которые использованы при анализе процесса деформирования пуансоном с плоским торцом.

При определении напряжений в зоне I воспользуемся цилин­

дрической	системой координат	с отсчетом		4 0	от биссектрисы
4 0К по часовой стрелке. Уравнения равновесия					и условие пла­
стичности	в принятой системе	координат		имеют	такую запись:
	•-^ '• + - ^ Г - Р е		+ Рг =	0;	(П.26)
	■Ж + Т	г +	2т-е = 0;		<1L27>

рв - р г = - ^ У о ! - З т % ,

(11.28)

где pr = —or\ p0 =	—a0.	(Как	и ранее, в	дальнейшем индекс
у т^й писать не будем.)			напряжения	от координаты	г
Полагаем, что	касательные
не зависят, а от 0 зависят линейно, изменяясь от нуля при 0 =					0
до ± т к на контактных		плоскостях.

Следовательно, имеем:
т =	±	2тк0/0к;
ае	н- о Тк •
	-	А 9К •
		о II

(11.29)

(11.30)

(11.31)

В соответствии с условием о знаках напряжений в выражениях (11.29) и (11.30) необходимо принять знак плюс. Интегрируя

уравнение равновесия (11.27) при использовании (11.29) и (11.31), получаем

		Ре = - 2 т ке2/0к + Фз(г).			(11.32)
Выражение	для	рг находим	интегрированием	уравнения	(11.26)
с учетом (11.28)		и (11.30)
,	р, =	| / ”а? -	Зт2 - 2 -g -) 1пг +	Ф4(0)•	(П.ЗЗ)

Функции фз (г) и ф4 (0) устанавливаем с помощью условия пластичности (11.28) и граничных условий. Подставляем в выра­ жение (11.28) правые части уравнений (11.32) и (11.33) и относим полученное выражение к поверхности контакта заготовки с тор­ цом пуансона, где 0 = 0к/2 и т = тк. В результате имеем

- ТГ + Ч*(г) - [ у ^ У о? - Зтк- 2-g-) In г -

- ф4 (■£-) = щ Y о } - Зтк2,

(11.34)

откуда находим

Фз (г) = (J J Y O Ï - Зтк2 - 2 g .) l n r + С,

(11.35)

где С — постоянная, значение которой устанавливаем из условия, что в точке D (г = гк, 0 = О,50к) р0 = р^.

Из выражения (11.35) с учетом (11.32) и указанного условия получаем:

С = Рвк + ^ - ( ^ К а ? - 3 ^ - 2 ^ . ) 1пгк. (11.36)

Теперь зависимость (11.32) приобретает вид

P .“ P e . + Sf !i- 2 ^ e * + ( T^ . V ' « ; - 3 ^ - 2 i . ) l n ^ . (11.37)

Из условия пластичности (11.28) определяем

р, = р0- - ^ | / а ? - З т 2.

(11.38)

Для определения р0к рассмотрим равновесие элемента (рис. 43), выделенного в зоне I на границе с зоной II вблизи точки D. Вве­ дем вспомогательную прямоугольную систему координат хощ, ось х которой направлена по нормали к контуру поперечного сечения пуансона. Из условия равенства нулю суммы проекций на ось огх сил, действующих на элемент, при использовании урав­ нения (11.28) находим

Рек = РхК+ Тк sin 20к +

]/*о? — Зт2 cos2 0К,

(11.39)

где рхк = —oxli — напряжение, нормальнее к граничной плос­ кости между l u l l зонами вблизи контура (точка D) торца пуан­ сона.

Приближенное значение рт определяем тем же приемом, который применен при анализе процесса деформирования пуансо­ ном с плоским торцом. В результате получаем выражение, пол­ ностью совпадающее с (11.15).

С учетом (11,15), (11.29) и (11.39) из (11.37) и (11.38) находим:

х I

"е = - Р е = 2 ^ 0 ’ . — о . — 2 ькь — тк sin 20к — Кз

З т,■		- 2t	)	In		Гк
				(11.40)
	2	'	2	<	S	i
	Кз		z
т к sin 2 0 K y ~ j/~ O i — 3 T K C O S 0K —	1		—
	T K 0 K
~ ( n				‘ “		'4 l )

Формулы (11.40) и (11.41) позволяют вычислить прибли­ женные значения о0 и аг в любой точке зоны /.

Переходим к определе­ нию усилия деформирова­ ния. С этой целью исполь­ зуем уравнение (11.37), отне­ сенное к поверхности кон­ такта с пуансоном (0= 0,50к)

Ре = Рек +

+ ( А ^ - Зтк2-

				— 2 -jr-) In у - .		(11.42)
Рис. 43.	Равновесие элемента, выделенного			Для удобства решения и
вблизи	точки D на границе	/ и	/ / зон
				расчета по конечным форму-
лам используем прямоугольную систему координат хоху.						В этой
системе уравнение (11.42) имеет следующий вид:
Ре	+ ( т з V ”? - * 2 - 2 1 7 ) (> - т г х ) . с '• « )
где hK— толщина дна		по	контуру	полости	полуфабриката.

236

В результате проецирования на ось оху всех сил, действующих на пуансон, имеем

b

Р — 2 J рв (dFi -}- dF2) -j- 4abxKtg 0к -t- 4 (a -(- b) Tk/> (11.44)

где dFx и dF2 имеют те же выражения, что и в уравнении (11.19). Подставив в (11.44) значение р6 из уравнения (11.43) и выполнив интегрирование и преобразования, получаем

P = 4ab

ot + rK(sin 20K- f tg 0K) +

]Лт? - 3xK2 cos2 0K+

где hx — толщина дна полуфабриката в центральной части. Приведем формулу (11.45) к виду, удобному для расчета и ис­

ключающему получение неправильного результата при малых зна­

чениях 0К (вследствие наличия 0К в знаменателе). С			этой целью
вводим обозначение т =	— h^lhly при	котором	In	h1) =
= In (1 + m), 0K tg 0K=	(hK— hi)/b =	mhxlb,	и	преобра­

зуем выражение в квадратных скобках. В результате преобразо­ вания и замены тк и Тк их значениями по зависимостям (11.21) формула (11.45) приобретает вид

Р = iabüi { - ^ + / (sin 20к + tg0K) + - ^ - / l - 3 / 2cos20К+

(11.46)

г д е

% N = - | - [ l - 4 - l n ( H - m ) ] = 1

§ - m - f i - m 2 ----------

;

т	tli (m)	tli (ni)	т	Th ( т )	Th (m)
0	1,000	1,000	0,51	0,752	0,801
0,01	0,993	0,995	0,52	0,749	0,798
0,02	0,986	0,990	0,53	0,745	0,795
0,03	0,979	0,985	0,54	0,742	0,793
0,04	0,973	0,980	0,55	0,738	0,790
0,05	0,967	0,975	0,56	0,735	0,787
0,06	0,961	0,970	0,57	0,731	0,785
0,07	0,955	0,965	0,58	0,728	0,782
0,08	0,949	0,960	0,59	0,724	0,780
0,09	0,943	0,955	0,60	0,721	0,777
0,10	0,937	0,951	0,61	0,717	0,774
0,11	0,931	0,946	0,62	0,714	0,772
0,12	0,925	0,942	0,63	0,711	0,769
0,13	0,920	0,937	0,64	0,708	0,767
0,14	0,915	0,933	0,65	0,705	0,764
0,15	0,910	0,929	0,66	0,702	0,761
0,16	0,905	0,924	0,67	0,699	0,759
0,17	0,900	0,920	0,68	0,696	0,756
0,18	0,895	0,916	0,69	0,693	0,754
0,19	0,890	0,912	0,70	0,690	0,751
0,20	0,885	0,908	0,71	0,687	0,749
0,21	0,880	0,904	0,72	0,684	•0,746
0,22	0,875	0,900	0,73	0,681	0,744
0,23	0,870	0,896	0,74	0,678	0,741
0,24	0,865	0,892	0,75	0,676	0,739
0,25	0,861	0,888	0,76	0,673	0,737
0,26	0,856	0,884	0,77	0,670	0,734
0,27	0,852	0,880	0,78	0,667	0,732
0,28	0,847	0,876	0,79	0,664	0,729
0,29	0,843	0,872	0,80	0,662	0,727
0,30	0,838	0,869	0,81	0,659	0,724
0,31	0,834	0,865	0,82	0,657	0,722
0,32	0,829	0,862	0,83	0,654	0,720
0,33	0,825	0,858	0,84	0,652	0,718
0,34	0,820	0,855	0,85	0,649	0,716
0,35	0,816	0,851	0,86	0,647	0,713
0,36	0,811	0,848	0,87	0,644	0,711
0,37	0,807	0,844	0,88	0,642	0,709
0,38	0,803	0,841	0,89	0,639	0,707
0,39	0,799	0,837	0,90	0,637	0,705
0,40	0,795	0,834	0,91	0,634	0,702
0,41	0,791	0,830	0,92	0,632	0,700
0,42	0,787	0,827	0,93	0,629	0,698
0,43	0,783	0,824	0,94	0,627	0,696
0,44	0,779	0,821	0,95	0,625	0,694
0,45	0,775	0,818	0,96	0,622	0,691
0,46	0,771	0,815	0,97	0,620	0,689
0,47	0,767	0,812	0,98	0,618	0,687
0,48	0,763	0,809	0,99	0,616	0,685
0,49	0,759	0,806	1,00	0,614	0,683
0,50	0,756	0,804

Из формулы (11.46) для расчета удельного усилия следует такое выражение:

Ц=	ai |'j7rg’		f (s*n	“Ь	®к) + "р=|” V 1 — 3/*cos2 0К-f-
+	т	( т ё г “	7 з	^ 1 -	3' , ) [ ч * (”,) - т	4 ч - и ]	+
			+ Г ' ( 7 + Т + т ) } -				( П ' 4 7 >
Значение		функций		(т)	и г)2 (т) можно	заранее	вычислить

для любого диапазона изменения т. В табл. 15 приведены резуль­ таты расчета для значений 0 < т < 1.

При 0К = 0 (йц = hi = h, т = 0) формулы (11.46) и (11.47) переходят соответственно в формулы (11.22) и (11.23) для случая деформирования пуансоном с плоским торцом.

При определении at можно руководствоваться изложенными выше положениями со следующими дополнениями. Если скос распространяется на всю поверхность торца пуансона, то в фор­ мулах (11.24) и (11.25) вместо h необходимо принимать среднее

значение	толщины дна [(/tcp = hK-f			hJ 2)].	Когда скос выполнен
на части	торца	(см. рис. 39, б), в расчете			et (et)	и et (е,)	следует
использовать наименьшее значение толщины (hj,						при этом в фор­
мулах (11.46)		и	(11.47) 0К следует	заменить расчетным			0к,
вычисленным		по	формуле tg 0к =	с/b, где с — высота			скоса.
Пример 2. Определить удельное усилие, необходимое для холодного дефор­
мирования заготовок			1 и 2 пуансонами со скосом на части торца. Угол				Рк = 7°.

1 = 7 мм, материал заготовок — алюминий марки АД00, деформирование с ма­ лой скоростью приложения нагрузки. Остальные исходные параметры следую ­ щие:

Заго­	2а,	26,	Н,	S,	ht*	h.	f	Г	Смазка
товка	мм	мм	мм	мм	мм	мм
1	33,8	24,3	6	1,75	1,03	7,0	0,15	0,10	Минеральное
2	22,6	16,2	7,9	1,25	0,51	4,0	0,10	0,05	масло
									Смесь	мине­
									рального мас­
									ла с натурамь-
									ным воском
Результаты расчета представлены в табл. 16.
	Таблица 16.		Расчетные (qp) и экспериментальные (q3) значения
удельного усилия при холодном выдавливании пуансоном со скосом
________________________________ на торце____________________________
Заготовка		е'к	Чр/°1		в<		дР		Яэ	V * 9
							кге/мм*
1		4° 03'	3,85		2^03	15,8	60,8		60,4	1,01
2		3° 28'	3,40		3,15	20,0	68,0		62,8	1,08

7.Внедрение цилиндрического пуансона

вполупространство

Определение усилия внедрения жесткого пуансона в пла­ стичный металл представляет собой очень важную для теории и практики задачу. Известны неоднократные попытки ее решения как аналитически, так и экспериментально. Первые аналитические исследования этой задачи выполнили Прандтль [51, 52] и Генки [11]. Они использовали метод линий скольжения и определили давление на контакте, необходимое для начала внедрения жесткого пуансона в тело с бесконечными размерами, ограниченное одной плоскостью, называемое полупространством или полуплоскостью, при плоской и осесимметричной деформации. Деформируемое тело авторы наделили свойством идеальной пластичности. При анализе осесимметричной деформации [11] дополнительно приняты два допущения: поле линий скольжения в меридиальной плоско­ сти совпадает с полем для соответствующей плоской деформации; во всем объеме зоны пластической деформации справедлива гипо­ теза Хаара—Кармана о «полной пластичности».

Позднее разработку рассматриваемой задачи тем же путем продолжили Ивлев [26], Ильюшин, Пучков [27], Ишлинский [34], Соколовский [73], Томленов [78], Хилл [84], Шилд [87] и др. Исследованы случаи внедрения пуансона с торцом различ­ ной формы — плоским, выпуклым, вогнутым, клиновым. При анализе процесса внедрения пуансона с неплоским торцом авторы предполагали наличие в теле предварительно изготовленного углу­ бления (или выпуклости) по форме торца пуансона, а деформацию считали малой. Для осесимметричной деформации задача наиболее подробно разработана Томленовым. Им найдены выражения для расчета приближенного значения усилия при различной глубине погружения пуансона с плоским и сферическим торцом в разных контактных условиях.

Однако, несмотря на существенные достижения, использова­ ние метода линий скольжения не привело к решению задачи с достаточной полнотой. Главный недостаток всех решений, осно­ ванных на методе линий скольжения, состоит в том, что в замкну­ той форме они получены лишь для некоторых стадий процесса внедрения, причем при грубых допущениях. Это обстоятельство приводит к тому, что практическое использование результатов решения этим методом сводится по существу к решению каждый раз частной задачи с большим объемом вычислений. Серьезные за­ труднения возникают при наличии криволинейной контактной поверхности и при учете контактного трения, если его нельзя считать предельным.

Кроме того, методом линий скольжения нельзя учесть пере­ менность по объему очага пластической деформации сопротивле­ ния деформированию, являющуюся следствием неравномерности деформации и упрочнения металла или других причин.