книги / Механика сплошных сред Теорет. основы обраб. давлением композитных металлов

при абсолютном обжатии ДА=Ao-Ai изменяется по закону, описываемому

А,	*
окружностью рабочего валка радиуса R (П3.55), в £2з: Е х =— \Е	й Е 2 й<*>

з

(рис. 68). Необходимо построить в области Q = UQ* непрерывное век- *=i

торное поле скоростей V с непрерывными компонентами градиента этого поля, удовлетворяющее заданным кинематическим граничным условиям: в Qi компоненты вектора скорости V\ - 0; Уг - Vo, в Ог нормальная к по-

верхностям	h	h
	Ех* — и Ех=— составляющая вектора скорости равна ну­
лю, в Пз компоненты вектора скорости У\ = 0; Vi~ vf. Здесь V			Ло
			=vo
			Л,

Рис. 68. Схема к построению непрерьвного KB-поля скоростей методомсклейки для мо-

Tenq>b можно приступать к построению поля скоростей. Сначала во всей области построим разрывное KB-поле V = у,-е, с помощью функ­ ции тока ц/ (П3.54), удовлетворительно описывающей область Q дви­ жения среды. Действительно, в подобласти Qi из (П3.54) имеем Л = и vp= - VoEu что после дифференцирования по Е\ и Ег по формуле (1.2.105) обеспечивает выполнение кинематических граничных условий в этой подобласти: vj = 0; V2= vo. При этом на верхней границе (рис. 68), где

Е] = — , имеем	v|/=\j/+	const; на нижней границе, где Е]
2	2	2

221

имеем у=\|г г —	const; на оси симметрии Е\ = 0 и \у = 0. Легко убе-
	2

даться в том, что функция тока (П3.54) является непрерывной во всей области П и сохраняет постоянные значения на одних и тех же линиях тока в разных подобластях Qt. По формулам (1.2.105) и (1.2.137) опре­ делим кинемэтические параметры течения в каждой из подобластей.

В подобласти Qi кинематические параметры не требуют корректи­ ровки. Поэтому компоненты вектора скорости: V\ = 0; V i - v0, компо­

ненты тензора скоростей деформаций: ^ = 0.

В подобласти fh текущая высота h = Л(Е*) на участке 1д (2.3.1) должна дать конфигурацию верхней и нижней границ в виде окружно­ сти радиуса R. Если уравнение окружности в координатах хк предста­ вить в виде (П3.59), то при хк=Ек (П3.55) функция тока (П3.54) по формуле (1.2.95) приведет к разрывному полю скоростей V (1.2.124) и скачкообразному изменению компонент его град иента в области Q.

В подобласти Оз, так же как и в Qi, кинематические параметры те­ чения не требуют корректировки. Поэтому компоненты вектора скоро­ сти V\ = 0; Vi - vf\ компоненты тензора скоростей деформаций §* = 0.

Для склейки разрывных полей скоростей воспользуемся методом переходных зон (п. П3.2). Разобьем область Q (рис. 68) на пять участ­ ков: I (Е-йЕгйЕъ)-, II (ЕийЕгйЕм); III (Ен\йЕгйЕр)\ IV (Ef\ йЕгйЕ}\

V (Ef £ Егй £ +), где £ H= - ^ - 5 i; £ HI = - 4 + 5i; Ef \ = - 62; Et- 8 2. Исполь­ зуя вспомогательное множество координат х к (П3.57), получим непре­ рывные во всей области Q компоненты вектора скорости (П3.58) и его градиента (П3.62). Последние по формуле Дж.Стокса (1.2.137) позво­ ляют определить компоненты топора скоростей деформаций.

5 и = Ч 2 2 = ^ о - т А У ;

		/г
		t2 rl \
^12 “ ^21 = V0	* о У	h 'fi + h 'f- 2A 'V	(2.3.2)
	Ih 1	J

где текущая высота h вычисляется no формуле (П3.59), а ее первая и вторая производные - по формулам (П3.60) и (П3.64); производная склеивающей функции/ (П3.61) вычисляется по формуле (П3.63).

Таким образом во всей области Q определены кинематические па­ раметры (П3.58) и (2.3.2) процесса прокатки, которые с учетом (П3.57), (П3.59)...(П3.61), (ПЗ.бЗ) и (П3.64) непрерывно распределены в Q. Эти кинематические параметры учитывают только геометрические харак­ теристики очага деформации и могут быть использованы для оценки технологических параметров процесса плоской (без учета уширения полосы) прокатки. Для учета, кроме геометрических характеристик,

222

реологии деформируемых металлов проведенное выше непрерывное поле скоростей (П3.58) следует рассматривать как основное в после­ дующей корректировке.

2.3.2* Интеграл К.Ш варца-Э•Кристоффеля

В качестве основного решения задач ОМД Г.Я.Гун предложил ис­ пользовать гармонические поля скоростей, построенные с помощью интеграла К.Ш варца-Э.Кристоффеля (П3.35). Необходимые элементы теоретических основ применения этого интеграла изложены в п. П3.1 .4. Здесь использование интеграла К.Ш варца-Э.Кристоффеля рассмот­ рим на примере течения сплошной среды в области, которую можно использовать для аппроксимации очага деформации при прессовании, волочении или прокатке (с заменой дуги захвата хордой) в условиях плоской деформации (рис. 69).

Сначала выполним нормировку интеграла К.Ш варца-Э.Кристоф- феля для физической плоскости Z и плоскости W комплексного по­ тенциала

	для плоскости Z				для плоскости VУ
к	А„	Я*	а*	J	Bt	ь,	Pi
1	—00	0	0	1	—оо	0	0
2	Аг	а	1+а	2	Вг	b	1
3	0	\	1 - а	3	0	1	1
4	+оо	оо	0	4	+оо	00	0

соответственно, где ^ 2 = (#-A)[-ctg(<X7r) + fl. Тогда по формулам (П3.35) запишем интегралы, конформно отображающие обе плоскости на вспо­ могательную полуплоскость Q:

(0 = с1J	+с2’
C .U -U	С
W(С)=с3 К	+с4.	(2.3.3)
Со £
Для обоих интегралов (2.3.3) назначим одинаковые нижние преде­
лы интегрирования в точке £о = 1	вспомогательной полуплоскости А
плоскости £. В физической плоскости Z образ этой точки находится в
начале координат z= A з. Поэтому при £о = 1 и при таком		же верхнем
пределе £ = £ о имеем z ( l ) = C 2 = 0 . Тогда
С -д \« £		(2.3.4)
:( 0 =ci I	С
to С-1

223

Рис. 69. Кои^ормюе vnfjpaMMe области D на плоскости W и £ для модслировшаи

цоцксо 1фоссоваиин

В плоскости W комплексного потенциала при £о = 1 имеем w =0 и при С,= Сримеем и(1) = С4=г»р+ = 0. Тогда

n»(Q= сз1п£.

(2.3.5)

Если в плоскости С,осуществить переход по окружности CRбеско­ нечно большого радиуса R, то в плоскости Z ему будет соответствовать

(1 )

приращение Az=iH+0 , где 0 — - бесконечно малая величина по-

\R J

1 рядка —. Учитывая при этом переходе, что в подынтегральном выра-

R

жении С » 1 >а, из (2.3.4) имеем

>Н-С\ J ^

Представим комплексную величину С, в показательной форме С, = = Ю с'6. Тогда « = \№ e®dQ и последний интеграл представляется в виде

iH =c{jidQ=in.

о

224

L I

Отсюда с, =— . Теперь точно так же рассмотрим переход по окружности

п

С, бесконечно малого радиуса г, которому соответствует приращение Az=ih + Q(r), где 0(г)- бесконечно малая величина порядка г. Учитывая при втором переходе, что в подынтегральном выражении 1 » a > Q , из (2.3.4) имеем

Ш = — Г	a* — =iHaa .
* с л	«
Отсюда
	I

Окончательно (2.3.4) имеет вид:

K O -- J	(2.3.6)
* 1

Коэффициент сз формулы (2.3.5) найдем, используя вспомогатель­ ную точку Вз=Ь\г, симметричную точке Вз (рис. 69). Так как образу точки Вз в плоскости С, соответствует Ьз =1 (см. нормировку), то обра­ зом точки Вз в этой же плоскости является 6 s= -l. Тогда при £= 1 и w=i\\i~ из (2.3.5) имеем

Лр- —сзйе.

Поскольку Av|/=v|/+-v|/-, то сг =	Окончательно получим фор-
мулу, аналогичную (П3.36),
ж (С )= -^,п С .	(2.3.7)
я

Формулы (2.3.6) и (2.3.7) в параметрическом виде z =z(Q; tt' = w’(£) определяют комплексный потенциал w - w(z). Также в параметрической форме можно определить вектор скорости, который является комплекс­ но сопряженной величиной первой производной w по z (П3.29): V = w \ Упражнение 2.2.8. Используя (2.3.6) и (2.3.7), показать, что ком­

плексная скорость имеет вид:

225

(2.3.8)

2.3.3.Суперпозиция гармонических течений

Вп. ПЗ.1.5 изложены теоретические основы суперпозиции гармо­ нических течений. Здесь в качестве примера рассмотрим применение этого метода для построения плоского, непрерывного KB-поля скоро­ стей, которое можно использовать как основное решение в последую­ щей корректировке при моделировании процесса прокагпси металла в абсолютно жестких валках (их упругая деформация пренебрежимо ма­ ла) в условиях плоской деформации.

Прежде всего выполним анализ течения металла при листовой прокатке в плоскости Xi; х2, когда уширение металла в направлении Хз

пренебрежимо мало. В этом случае деформация металла будет плоской. Предположим, что заготовка в виде прямоугольного параллелепипеда с размерами A0Ao4> движется поступательно с постоянны! скоростью в сторону вращающихся валков. Если бы зазор h\ между рабочими вал­ ками был больше высоты А0 или равен ей, то заготовка, попадая в об­ ласть вращающихся валков продолжала бы участвовать в поступатель­ ном движении с постоянной скоростью (тензоры дисторции и скорости дисторции равны нулю). Если же на пути движущейся заготовки встре­ чаются вращающиеся валки с зазором между ними hi <ho, то происхо­ дит деформация прокатываемого металла, т.е. валки будут источником возмущения однородного, со скоростью Vo, потока металла (вектор дисторции du отличен от нуля). При этом после выхода из зазора меж­ ду валками металл опять будет участвовать в однородном потоке, но с ДРУГОЙ СКОРОСТЬЮ V/.

Для имитации этого процесса с помощью гармонических полей скоростей рассмотрим суперпозицию двух течений: бесчисленного мно­ жества источников (рис. 70) одинаковой интенсивности Avp > 0, нахо­ дящихся на действительны! оси Xi на одинаковом расстоянии 2Н друг от друга, с комплексным потенциалом (П3.45) и однородного потока в направлении оси хг с комплексным потенциалом (П3.41) при Со =-iv m где v„ - скорость набегающего на источники однородного потока. Суммарный комплексный потенциал нового течения будет иметь вид:

Дш.	. Jtz	(2.3.9)
и'=——Insin------iv^z.
1%	2Н

226

н

,1

Рис. 70.Множествоисточшков(а),однородныйпоток(6)иихсуперпозиция(о)

Разложением w(z) на действительную <р и мнимую ц/ части (ПЗЛ1) найдем консервативную функцию

Ф=—^-Infqh2^ l - c o s 22В .) +vn x 2					(2.3.10)
4*	V	2Я	2н )
и функцию тока
Дш	(	XXi	, ПХч	\	(2.3.11)
Ф=—	arctg	ctg— - t h — -		-» « * !
2*	^	2Я	2Н )

Далее, дифференцируя комплексный потенциал (2.3.9) по z, найдем комплексную скорость (П3.15)

w'=—	ctg— -IV*,	(2.3.12)
4Я	2Я

комплексно сопряженная величина которой равна вектору скорости V (П3.29). Разложенная V на мнимую и действительную части определя­ ем компоненты вектора скорости

	Ду	sin JCX,
			Н
vi =		и **2	хх\
	АН
		ch— --c o s— -
		Я	Н
		. *х2
	Дф	sh-—-
V , =		Н	+ V со-	(2.3.13)

4 Я сЬ2 В _ со52 В

ЯЯ

227

При Х \- ± Н имеем Vi = 0. Поэтому линии Х\ = ±Н являются линиями тока, вдоль которых вектор скорости имеет только одну компоненту, отличную от нуля,

А\|/	sh ю с2
	Н	+»со ■
v2

Я

Причем, если Im v ^ O и Voo*0, то вдоль этих линии везде v2*0. Из ана­ лиза функций Vi и v2 (2.3.13) следует, что линия *1=0 является линией симметрии течения. На этой линии vi = 0, а

Avp	sh ю с2
	Н	+ v 00'
v2

АН ch « 2 -1

я

Отсюда ясно, что точка х, = 0; х2=0 является сингулярной и, кроме то­ го, на линии *i = 0 имеется точка бифуркации х2= хБ, где v2 = 0. Подста­ новкой этого условия в последнюю формулу находим мнимый аффикс такой точки

Я , 1

*. — |п7-

пX

где

Д\|/

V« +

X - 4 Я

Av|/

СО

АН

При х2=-оо компоненты вектора скорости (2.3.13) имеют значения

vi = 0 и v2 = v0, где у,	ДЦ1 + , а при х 2 = + » компоненты вектора ско-
	АН

Avy

рости vj = 0 и V2=VA где » /= — 2-+vco. Отсюда, учитывая обозначение

АН

параметра X, находим, что vf - Xvo и Avy= 4//vo с,; v„= vo c2, где

	X -l	X+l	(2.3.14)
-----; c2 =-----
ci =	2	2

С учетом полученных значений Avy и v« кинематические параметры (2.3.10), (2.3.11), (2.3.13) имеют вид:

консервативная функция

Ф=		cos2 « Л	(2.3.15)
	% \ 2Н	2Н ) +V0C2* 2,

228

функция тока

I VQHC	j—v0 c2 x,	(2.3.16)

компоненты вектора скорости

—= - - C O S — :

ЯЯ

(13 Л 7)

Из анализа компонент вектора скорости следует, что общее направ­ ление потока однородного течения до и после возмущения его источни­ ками не меняется. Значит величина потока Q\ = 2voЯ при х2--<*> должна быть равна потоку Q i= 2vf h, где 2h - ширина потока при х 2=+«>. Учи­ тывая соотношение между vo и v/и з равенства потоков Q\ и Qi находим

(2.3.18)

h

Таким образом, к есть коэффициент уменьшения высоты однородного потока в результате обтекания источника в области 0 <Xi <Н.

Покажем, что построенное поле скоростей (2.3.17) можно исполь­ зовать при моделировании процесса плоской прокатки.

Сначала рассмотрим значение функции тока (13.16) на произволь­ ной линии тока в точке с координатами Xy=H -D ; х2=-оо. Учитывая, что С\-с2- - \ (2.3.14), имеем

= -V0(HC2 -D ). (2.3.19)

*1=H-D

Легко показать, что эта же линия тока при х2=-ао становится тоже пря­ мой линией, параллельной оси х2. Обозначим уровень этой линии при х2—- оочерез Х1= Я - < / . Т огда, учитывая, что с\ + с2= X (2.3.14), находим

Ч>

= - У 0 { Н с г -Х<1).

(2.3.20)

229

В связи с тем, что вдоль одной и той же линии тока имеем \|/ = const, приравнивая (2.3.19) и (2.3.20), получим

к Я	(2.3.21)
d

Таким образом, показано, что параметр к равен отношению исходной высоты канала, в котором движется поток, к его конечной высоте. В теории ОМД этот параметр при плоской деформации называется ко­ эффициентом вытяжки.

Уравнение х 2=хг (xi) произвольной линии тока, проходящей через точку с координатами х\ = H -D , *2 =-<», найдем из совместного реше­

ния (2.3.16) и (2.3.19) с учетом (2.3.21)
cos	жкНс2 - D - x I)
	------ =--------	—
Я	2ЯС[

(2.3.22)

ясо_ *(kd-Hc2~xiА )

1Нсх

Для того чтобы связать полученное поле скоростей (2.3.17) с про­ цессом прокатки металла, необходимо параметрам обтекания источни­ ков в полосе шириной 2Я однородным потоком поставить в соответст­ вие технологические параметры процесса прокатки. Частично это про­ делано выше. Действительно, скорость V„ набегающего однородного потока и мощность источников Ац/ мы выразили через величину vo, ко­ торая для процесса прокатки интерпретируется как скорость входа ме­ талла в валки, и нашли связь параметров с\ и с2по формулам (2.3.14) с коэффициентом вытяжки к.

И

В формулах (2.3.19)...(2.3.22) введем обозначения

2 2

где в соответствии с теорией прокатки h0- высота заготовки, a h\ - вы­ сота готового проката. Теперь единственным “непонятным” с точки зрения теории прокатки параметром является половина ширины Я по­ лосы, в которой осуществляется обтекание источника однородным по­ током. Из теории прокатки известно, что параметры геометрического очага деформации определяются высотой заготовки й<>, высотой гото­ вого проката hi и рад иусом рабочего валка R. Так как параметр Я также определяет картину течения, то очевидно этот параметр должен зави­ сеть от всех перечисленных геометрических параметров процесса про­ катки. Эту зависимость, например, можно определить, если совместить центр ваш а со средневзвешенным центром кривизны граничной линии тока в области наибольшего возмущения однородного потока источни­ ком в полосе шириной 2Я . Однако такая процедура затруднительна как

230