книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

мента поверхности относительно нормали, не проявляют чувстви­ тельности к жестким смещениям и поворотам оболочки.

Физические соотношения для изотропных упругих элементов конструкций устанавливаются с помощью закона Гука. В общем случае компонентам тензора конечных деформаций (тензора Грина)

вц соответствуют компоненты обобщенных напряжений (тензор Пиола-Кирхгофа) сг*. Эти тензоры симметричны, соосны и обра­ зуют энергетическую пару: приращения работы деформации мож­

но записать в виде 5 W = ^ с т * Ье^. Закон Гука в векторной

форме запишется в виде
сг* = Се,	(1.22)

т е а* = [а;, о ; 2 а ; з а ;2 а ;з о ;, ] '■, е = [еи еп е3} е12е|3 е„]’ ,С-

симметричная матрица коэффициентов упругости.

Для геометрически нелинейных упругих конструкций при ма­ лых деформациях удлинения и сдвига также используется закон Гука, но вместо вектора обобщенных напряжений берется вектор

истинных нормальных и касательных напряжений сгу(/ = 1,3). При малых деформациях это различие является количественно несущественным. Тем не менее, использование закона Гука (1.22) для связи истинных напряжений с конечными деформациями и замена обобщенных напряжений истинными вносят определенные рассогласования в уравнения движения, полученные из условий равновесия деформированного элемента оболочки и из принципа

возможных перемещений. Истинным напряжениям	в законе Гука
отвечают деформации удлинений Еа (г = 1,3)	и сдвигов сру

(/ = 1,3). Однако их использование в общей геометрически не­ линейной теории оболочек крайне неудобно, и они находят приме­ нение только в частных случаях.

Вывод физических соотношений в изотропных упругопласти­ ческих элементах конструкций базируется на дифференциальной теории пластичности.

31

В предположении изотропии материала в начальном состоянии, малости деформаций и адиабатичности процесса деформирования связь тензоров напряжений и упругих деформаций определяется обобщенным законом Гука:

ст, = 3K5,J(e -aT .) + 2Gelj	(г,; = 1 ,3 ),	23)
е = (« ||+ е 2 2 + е ээ)/3 > Т .= Т -Т „ ,	Г0 = Г ( а | , а 2,сс3,1 = 0),

где К = Ц Т ) , G = G(T) - модули упругости, Т - температура,

еу - компонентытензора девиатора упругих деформаций, а - коэф­ фициент линейного расширения, Ъу - символ Кронекера. Ввиду малости деформаций влиянием их на изменение температуры

пренебрегаем.

В предположении аддитивности упругой еу и пластической

e"j составляющих тензора деформаций еуимеем ёу = еу -	5 /уе -
- е"у, е", + ej2 + ej3 = 0. Тензор пластической деформации	еу =

= Л eydt, ё” = dey/dt, определяется теорией течения с изотроп­

ным и кинематическим упрочнением [153,154,208]:

i	п°	= ст,, - 5 , с т п
Pi, = 2ge"j,	cs.=a.(s,T,Ju ), g = g (J 2f ,T), ж = J - UeJeJA,
		e’j =e,j -be.

Здесь стфрадиус поверхности текучести - гиперсферы в девиаторном пространстве sy; ру - тензор микронапряжений, опре­

деляющий координаты центра поверхности текучести; X - ска­ лярный параметр; g - модуль анизотропного упрочнения, который

32

при описании неизотермических процессов циклического дефор­ мирования необходимо принять в виде [172]:

g = ^ o - ( g o - g * ) s ig n p ,J5°,

где

g< = g -(Jip,T), go = g-(J2p = О,T).

Для многих металлов допустимо [216] ввиду изохронности ди­ намических диаграмм деформирования при Т= const ие = const = = 102-f-lО4 с-1 принять зависимость пределов текучести от скорости

деформирования в виде сг .(эе,7\J 2.) = ^ а * (а е,Г ), где kg =

- k g(T,J2i)~ коэффициент динамичности, определяемый как отношение динамического и статического пределов текучести при

Т= const.

Для определения скалярных параметров рассматриваемой модели термопластичности необходимо иметь следующие экспе­

риментально полученные зависимости [172]:
- зависимость модуля Юнга от температуры;
- статические диаграммы деформирования J2a	при про­

порциональном нагружении и различных уровнях температур; -данные по эффекту Баушингера при различных температурах

истепенях деформации;

-динамические диаграммы деформирования при различных уровнях температур и скоростей деформации ё > 102 с-1.

Результаты экспериментально-теоретических исследований [172,216] свидетельствуют о том, что модель термопластичности с комбинированным упрочнением качественно правильно описы­ вает эффекты циклического деформирования конструкционных материалов при малых кривизнах траекторий деформирования и достаточно сложных режимах изменения нагрузок и температуры, причем на первом полуцикпе точность описания процесса дефор­

мирования весьма высока. Для импульсного деформирования плас­

тин и оболочек наиболее характерными являются процессы нагру­

33

жения, близкие к пропорциональным с частичными упругими или упругопластическими разгрузками. Более сложные процессы реали­ зуются в задачах динамического выпучивания пластин и оболочек при тепловом ударе и комбинированных нагружениях. Эти про­ цессы требуют особого рассмотрения с целью анализа траекторий деформирования и обоснования применимости математической мо­ дели. Многоцикловое нагружение характерно только для задач о вынужденных колебаниях с периодическим изменением нагрузки, которые мы в дальнейшем исключаем из рассмотрения.

Данная модель термопластичности достаточно сложна и тре­ бует значительного количества экспериментальных данных о свойствах материала, которые нередко в полном объеме отсутству­ ют. Поэтому важное прикладное значение имеет изучение приме­ нимости упрощенных вариантов теории пластичности для отдель­ ных классов задач нестационарного динамического деформиро­ вания пластин и оболочек.

Для малоупрочняющихся материалов при деформациях, в не­ сколько раз превышающих предел текучести, удовлетворительные результаты дает модель с линейным кинематическим упрочнени­ ем [\53]: = о,(Т), g = g(T).

Для того, чтобы определить напряжения (1.23), необходимо разбить процесс деформирования на малые этапы с шагом At.

Полная пластическая деформация определяется суммированием приращений пластических деформаций на всех предшествующих этапах нагружения

к=I
Вектор приращения пластических деформаций Ае”р	согласно
принципу градиентальности [216], коллинеарен вектору	:
Ae'^AXs*, АХ>0.	(1.24)

34

Коэффициент пропорциональности АХ определяется из условия прохождения поверхности текучести через конец вектора 5° :

Допустим, что для /* + 1момента времени нам известны Аву и АТ, а для tк - ву, Тк, е"к, аек, рJ . тогда еи = ек+ Аву, Т=Тк +

+АТ. В предположении упругого деформирования		= 2 G(e/y -
- v - е Г ) - р# и е с л и	• <	то

ДА.= Де" = Др;у = 0, и поведение материала наэтом этапе нагруже­ ния в данной точке действительно упруго. Напряжения определя­ ются формулой (1.23).

Если	> 72/Зсг,(Г ,аек, У2 . ) ,тоАХ>0, Др;у = 2#Де",
s° ~ sti ~	+ ё)^е1' С учетом (1.24) получим s° = s°* /[1 +
+ 2(G + #)ДА,]	и преобразуем (1.24) к виду е". = ДXsjj = AATJ J*,
где АХ* = АХ/[1 + 2 (G + g)AX] . Будем иметь:

	9
у 1 - 2 (G + g ) A r ’
	(1.26)
J | a . = V < < [ l - 2 ( G + g)AX‘].
Представим предел текучести для	1момента времени в виде:

а* = а к,(Т ,& К, J 2i) + qA&,

= ДХ’^ | s f - s f .

35

Вместо (1.26) получим

= 0 .

Отсюда следует

..1-У27зд./У< -*Г

2(G + g + q/3)

Вслучае линейного кинематического и изотропного упрочне­ ния параметры упрочнения g~ const и q = const и при заданных Ае,уприращения пластических деформаций и напряжения опреде­ ляются без итераций.

Вобщем случае нелинейного упрочнения параметры упроч­ ненияguq являются функциями приращений пластических дефор­

маций, и для определения Ле" строится итерационный процесс. В

нулевом приближении принимается q = dajdx, g = g(Tk

Ae"j =0, в последующих приближениях q= [<тф^ ® к + Аэе» J^) “

-a .(T ,x K,J2i)]/Ах, 2g = g(Tk ,J2p) + g(T,J2l>) . В процессе

итераций пересчету подлежаттолько AX’, Ae’Jt q, g. Девиатор s*

остается неизменным. Итерации заканчиваются при выполнении условия

/(Т гТ Зсг.) - l | < е * 10-2 - П 0 - \

(1.27)

что обеспечивает выполнение условия текучести (1.25) с заданной точностью. Описанный итерационный процесс нахождения ком­ понент пластических деформаций и напряжений обладает квадра­ тичной скоростью сходимости, так как в его основу положен метод Ньютона.

Для тонких пластин и оболочек принимается гипотеза

36

а зз(а Р а 2 »а з) = а зз(а 1»а 2 »а з = 0 )= а 5 3 и, в частности, а°3 = 0 .

Бели значения всех компонент тензора деформаций на средин­

ной поверхности известны, то сначала по описанному выше алгори­

	тму и формулам (1.23) находим			. Затем, как и в случае а 33= 0,
	определяем напряжения по толщине оболочки по формулам:
	, ,	, ч	v	о ЕТ„а	(i*j,	. . . , „
	Че,,+ve^) +—		Стзз--^—			i,j = 1,2),
	1 —v ‘			1 —v		(1.28)
	а и = 2Ge'tj (i * j,	i,j = 1,3),		e\ =e:j - e ’ (i, j
						= 1,3),

следующим из (1.23) при условии ст33 = ст33. В предположении упругого деформирования е”. = е"/, s f = а у - б>уа 0 - р*., ст0 = = ( а п + а 22 +ст53)/3 , и напряжения (1.28) являютсядействитель­ ными, если yjs*** • sj}* < у1уЗа.(Т,хк,J2i). В противном случае осуществляется итерационный процесс нахождения приращений пластических деформаций и напряжений, который отличается от описанного выше, так как шаровая составляющая тензора напря­ жений зависит от приращений пластических деформаций. Компо­ нента деформаций е33при v * 0,5 является неопределенной. Она выражается формулой

езз = езз + езз ’

где

,	l + v f l - 2 v	К + 4 ) -
e33“	2 у <Тз°з +аТ.
	l - v l Е	1 - v

Итерационный процесс заключается в следующем. В каждой итерации напряжения вычисляются по формулам (1.28) при

--е’ + Ае".

37

Затем находятся

* r = o * - A ff0 - P j + 2 G A e #> О о = ( ° п + ст2 2 + а з з ) / 3 (1 -2 9 )

и определяются Ле*. Проверяется условие окончания итераций (1.27), если оно не удовлетворено, то вычисляются а,уи параметры упрочнения g и q при новых ЛеЦ и т.д. При v = 0,5 и линейном упрочнении материала процесс нахождения Ае". становится безытерационным, так каксуществует следующая связь между

и sjj*, вычисленными по формулам (1.29) в первом и нулевом (Ae”j = 0) приближении:

* = 4 - - У) Де' + (2 v - \)&е"] + 2GAe’ =

= 4 {i+яГгО - 2v)/[3(i - v2)] • (i+ 4 7 s f )}.

Если v = 0,5, получаем Sy = s? , то есть найденные в первом при­ ближении Ае'у являются истинными.

В случае независимости предела текучести от скорости дефор­ мации описанный итерационный процесс (v Ф 0,5) обладает свой­

ством монотонной сходимости. Он сходится обычно за 2-5-4 ите­ рации. Зависимость предела текучести от скорости деформации

J2e - д /2 /З ^ д приводит при V * 0 , 5 K очень медленной и не­ монотонной сходимости итерационного процесса. Поэтому второй инвариант скорости деформации будем находить, полагая

ё33 = -(ёи + ё22). Это допущение обычно принимается при обра­ ботке результатов экспериментальных исследований, так как изме­ рить скорость поперечной деформации испытуемых образцов невозможно или очень сложно.

Связь между компонентами тензоров напряжений и дефор­ маций для композитных элементов конструкций устанавливается на основе закона Гукадля ортотропного тела и теории эффективных

38

модулей. Реальные композиционные материалы обычно состоят из различных компонент, существенно отличающихся по физико­ механическим характеристикам. Неоднородность свойств и слож­ ность структуры являются причиной больших трудностей, с кото­ рыми связан анализ напряженного состояния элементов конструк­ ций из композиционных материалов. При решении задач дина­ мического деформирования появляются дополнительные труд­ ности, обусловленные необходимостью анализа волновых процес­ сов, протекающих в конструкциях. В связи с этим при решении задач о нестационарном нагружении элементов конструкций из композитов обычно используется концепция эффективного модуля, которая позволяет реальный гетерогенный материал заменить гипотетическим гомогенным материалом. Очевидно, что такой подход правомерен только тогда, когда длина волны на порядок и более превосходит характерный размер структуры.

В случае совпадения осей ортотропии с координатными лини­ ями элемента конструкции соотношения закона Гука запишутся в виде [35,189]:

(1.30)

Причем ■E1V21- £ 2V125 ^ 2V32 ^3V23’ -^3V13 £ IV31’ где E\, E2t Ey эффективные модули упругости в направлении осей а,, а 3; Gy

- эффективные модули сдвига в плоскостях о^Оа,; Vy- эффектив­ ные коэффициенты Пуассона, которые могут определяться экспе­

39

риментально или вычисляться по формулам теории армирования

[82,189].

Разрешая (1.30) относительно напряжений, получим:

						(1.31)
а ,2= 2Gnen ,		<т13 = 2Gl3el3,			ст23 = 2G23e23,
где коэффициенты	определяются по формулам:
^11 = Е { ( \ - V 23V 32			J	^1 2 = ^	( V 12 + V 13V 32	*>
C22=E2( \ - v ]3v3l)Q -\				С13 = £ 3(V 13 + V 12V 23)Q -1,
C33 = £ 3( l - v 12v 21) n - ',			С2Э = £ 3(V 23 + v l3v 21) n - ' ,			( U 2 )
Q = ^ > /» ^	= ^ ”	V 12V 21 “		V 13V 31 “	V 23V 32 ” ^ V I2V 23V 31-

Для однонаправленных волокнистых композитных материалов, состоящих из линейно упругих, изотропных матриц и волокон с характеристиками Ес, vc, pt., £ а, vfl, рв, эффективные жесткости, в предположении, что размещение волокон в элементарном объеме однородно, а диаметр волокна мал по сравнению с расстояниями, на которых осредненные поля напряжений и деформаций заметно меняются, с достаточной для практических целей точностью можно вычислить по формулам теории армирования [189]:

		Q		_	а 22 +	а 23________
				(а22+ Д2з)ап -2а12
’	- Г >		_		а и а 2 2 ~ а 12
’22	-'■'ЗЗ		-~7~2		2 \	---------------Г»
				\ а 22	а 2 з)а и	^ 2 a i2 ( a 23 — я 22)
	Г	- П		_	7	а \2
	Ч	2 “	Ч	э 7		:---------—т >
					\ а 22 ^~а2з)а\\ —2а,2

40