книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

§2.11. Динамические задачи линейной теории упругости

241

a Uf,ff являются решением следующей задачи вида (2.11.117):

Г °рй2 {й'’" + У’’") + Ci 1U';"x = О,

(2.11.173)

\t/'-"(0) = £/'•"(/) = О.

Представим эти функции в виде разложения по собственным функциям (2.11.161а) задачи (2.11.160):

_	оо				оо	(2.11.174)
г г /,//	\	'~ГМТТ	г г /,//	\	^ ^ М Т Т
U	— у	^ ап U(jPj,	U	— у	^ ап
	п =	1		71=1

причем для коэффициентов а^", а^", согласно (2.11.119а) и (2.11.161а), полу чаем следующие выражения:

W,//	I		Се"рй2		I	12у 1 и ^ г а 1 ' й		1 =
	и '’" и (пр х 1 = - Д	у Д
СЬпг,			Д Л		\( ( Xl)3 - l 2X ' ) s m ^
			бспг		о
	: ( - i ) n+ 1v	^ (	- M	3f V ' .		ап	2	(2.11.175)
			\7ГП /	О ц			и>п - й

Для функций U, согласно (2.11.110), имеем задачу о свободных колебаниях (2.11.157), в которой начальные данные определяются заменой

U io ^ U io - U '- W ', U u ^ U u + й ф " + W"),

(2.11.176)

поэтому и решение U выражается по формулам (2.11.159):

-00

п= 1

_	x i	(2.11.177)
cos uont — Ап sin cunt) sin	— ,

где Af^ f вычисляются подобно (2.11.162) с учетом замены (2.11.176):

Afn = Afn - (Ъп + cn)Ue,!	2"	= — (Ъп + cn)U'J.						(2.11.178)
		(jjn
Здесь коэффициенты
K V ? = \ / l j 2 (Si" + %"),	К	= (-1			С„ \7Ш/		Ш
	\/(+1 V21							(2.11.179)
Сп = (~ Г			7ГП
А'£ определяются по (2.11.162).
Формулы (2.11.166), (2.11.168),	(2.11.172),				(2.11.		(2.11.		ают
						175), .		177) д;
общее представление решения задачи о вынужденных колебаниях балки:
		II	( 1		ОО		1	. _	.
U, = fU( x ' + ± K s t a = f ) cos cut —		U:А		+	7 •		тгтьХ1\		~
		j-			2 _^ bn sin —-— J smcjt +				U.
П=1					п = 1

(2.11.180)

§2.12. Теория прочности

245

где Gs — группа симметрии рассматриваемого тела. Иначе говоря, iг(сг, в) должна быть индифферентной относительно группы Gs, но тогда она всегда может быть представлена как функция от скалярных инвариантов тензора напряжений 1а (сг) в рассматриваемой группе Gs:

7г(сг, в) = 7г(/^(<т), в), а = 1 , ..., г.

(2.12.6)

Выбирая инварианты 1а\сг) в соответствующей группе, получаем крите­ рии прочности (2.12.4) для упругих сред с различной анизотропией.

2.12.4. Критерии прочности изотропных сред

Рассмотрим изотропные среды, для которых Gs С /, тогда число г ^ 3 и, выбирая в качестве инвариантов тензора сг главные его инварианты, из

(2.12.6) получаем
7г = 7T(/I (<T), h(a), h(cr), в).	(2.12.7)

Дальнейшее упрощение вида функции поврежденности задается только той или иной прочностной моделью.

Для линейно-упругих сред, упругие свойства которых не зависят от тре­

тьего инварианта, обычно полагают, что		и	в	(2.12.7) нет	зависимости от
/ 3(сг) = deter,	т. е. 7г = тг(1\ (сг), hi*?), 0).	Вместо инварианта hicr)				можно
использовать спектральный инвариант аи =				(2.6.56) —	интенсивность,
который согласно формуле (т. 1, (4.10.31)) имеет вид
1	а22) +(^11—^33) + ( сг22—^ЗЗ)			+ 6(<Т12+сг13+сг23)),		(2.12.8)
аи —
тогда вместо (2.12.7) имеем
	7Г= 7r(/i(cr), а и ,		в	).		(2.12.9)

А. Критерий Мизеса. В прочностной модели Мизеса тт является функ-

циеи только от аи:
тг= n f * f .	(2.12.10)

ЩЦ ( е у

икритерий прочности (2.12.4) принимает вид

au(x*,t*) = V 2as he(9),

(2.12.11)

где ho — функция от температуры: ho(6o) = 1; as = const — предел прочности при сдвиге.

Очевидно, что критерий Мизеса (2.12.11), (2.12.8) при сдвиге бруса,

когда о 13 Ф 0, а остальные оу? = 0, совпадает с (2.12.3) при в =	0Q. При
одноосном растяжении и сжатии бруса, когда <т33 ф 0, а остальные	= 0, из
соотношений (2.12.8) и (2.12.11) получаем
|сг33(х*,£*)| = Vbcrshe-	( 2. 12. 12)

§2.12. Теория прочности			249
где п а — компоненты вектора п в базисе еа :
	з
п =	^	паеа.	(2.12.24)
	а=\
Подставляя (2.12.23) в (2.12.21), находим выражение для			через аа :
3		3
Тп =	-	C^Tva-ni)2.	(2.12.25)
а=\		а=\

Из формулы (2.12.25) следует, что если вектор нормали п совпадает с одним из собственных векторов еа тензора напряжений: п = еа, п а = =Ы, пр = Пгу = 0, то на площадке <Е с таким вектором п (главная площадка) касательное напряжение отсутствует: тп = 0 и ап = аа.

Найдем такие площадки dT, с вектором п, на которых касательное на­ пряжение тп принимает экстремальные значения, для этого ищем экстремум функции (2.12.25) по п а . Выражая одно из значений п а , например, щ через щ и П2, запишем формулу (2.12.25) в виде

т п =	- ^f)n l +	( ° 2 - а з ) п 2 + а 3 -		((<71 -	<73)п? +	{р 2 -	<?ъ)2п\ + а з)2.
Приравнивая производные по п\			и	к нулю, получаем				(2.12.26)
П а 0 1 -	аз - 2((CJ1“	аз) 7 + (<72 -	°з)2п\ +		сг3)(ста -	сг3)) =	0,	а = 1,2.

(2.12.27) Считаем, что собственные значения упорядочены в порядке возрастания:

ел > <72 > <73. Тогда сокращая в (2.12.27) члены (аа —<73), получаем следую­ щие шесть решений этой системы относительно п а :

п а = 0,	пр = п 7 = =Ьл/2 / 2;		(2.12.28а)
7щ = =Ы,		пр = п7 = 0;	(2.12.286)
се,/3,7=	1,2,3;	се ф /3 ф 7 ф се.

Подставляя (2.12.28а) в (2.12.25), находим выражение для экстремаль­ ных касательных напряжений на этих трех площадках:

TQ, = ±(<7^ - сг7)/2, а =1,2,3.	(2.12.29)
Таким образом, существуют три площадки, наклоненные	по углом 45°

к главным площадкам, на которых касательные напряжения тп принимают экстремальные значения тп а (2.12.29).

Решая систему, состоящую из первого уравнения (2.12.23), уравнения