книги / Оболочки и пластины
..pdf
|
P . - v ft + ( , £ - V- j - ) - £ . + (l - £ |
+ f ) - £ > - |
|
|
||||||||||||||||
= £ ^ + F S i ( - ' ) " ' f - " - £ r T [ ‘ — |
|
г - р П . ) ’ - ] ’ < з д 5 4 ) |
||||||||||||||||||
|
|
|
m= 1 л=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' ,- |
- ^ |
+ |
( |
^ |
- |
^ |
- |
т |
) |
т |
р + |
( ' + |
т |
|
- | г |
) т |
“ - |
|||
|
|
= £ЛД- + |
^ |
S |
S |
< |
- |
1)"+"+' ^(2mr— 1) (2n — 1) ■+ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m=l n=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+>SS<m= 1 n = \ -|)"+"f~f5r[1-v|-£:^ ] ’ <ЗД55) |
||||||||||||||||||
|
~ |
|
, / |
62 |
|
1 |
v \ a2 |
|
Л |
~ |
a2 . |
v \ Ь2 о - |
|
|||||||
|
Pi |
vp2 + ^ |
— |
|
— |
r |
|
T) |
a + ( |
|
|
|
|
|
|
|
||||
+ - f - 2 |
( _ |
1)ft*c * + |
|
|
1 |
Л=1 |
) |
|
‘+,*Y*sh T 1 = 5 |
Ё |
(- |
1}* ***■Ok» |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=\ |
|
(3.3,55) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
. / 1 |
, |
v |
|
b2 \ а2 |
|
/ а 2 |
|
1 |
v \ |
62P |
|
|
|||||
й — v p , + ( i + T - — ; T » + ( v — - T - T ) — + |
|
|||||||||||||||||||
+ - % |
y < - |
l)‘4D* + |
|
afr |
S |
< - D‘+‘% * — |
- 4 |
|
S |
< - |
|
|
||||||||
ab |
i-J |
|
|
|
*=i |
|
|
|
|
a |
|
|
k=i |
|
|
|
||||
|
Л=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3,3,57) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где /=1, 2, 3.... |
|
|
|
|
|
|
|
и в этом случае имеет вид (3, 3, |
||||||||||||
Уравнение Бубнова — Галеркина |
||||||||||||||||||||
28), но интегралы, входящие в него, выражаются формулами: |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Imn = |
ben,mCn + ae°nnDm+ |
aЬВтп + |
- |
^ |
£ |
£ ( |
- |
l)"*+»Frs«o (г,т) со (s, k) + |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r=l s=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nna |
(— |
|
, |
rrrnb |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 a2b2 |
(— l ) m n s h ------- |
l ) n m s h ------- |
c |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
. |
|
|
|
|
a |
|||
я* |
|
m2n2 |
V |
|
|
я |
|
a2/i2 -ф- b2m2 |
4n н— |
|
—— ~ — |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
a2tn2 |
-ф b2ri2 |
|
0000
^+ -7Г S S <- 1>"+‘+,f'• Т7ГГ + 2о6в- +
c - + - ^ Ё Ё < - 1,,+ “+ ' f •' i f c f + “ * • " +
Г— 1 s=l
|
+ J ^ s h ^ Y n + ( - l ) n^ |
U |
|
+ |
- f |
l ------ 2 - Л р - |
“±Ра«1 |
|
|||||||||||||||
|
|
пп |
|
Ь т" |
|
v |
л2я 2 | / 1 |
|
V V |
|
я2я 2 ) |
|
12 |
J |
|
||||||||
|
|
|
|
Sab |
Г |
(— l)s asp2Q (г) |
|
( - |
1)- b*PlQ (s) ~] |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= — |
|
I — 5 ^ 1 -------+ |
|
— |
£ = - , ------- J |
+ |
<*F » - |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
— |
У |
(— |
1)* [6 е 2r_ ] Cftco (s, ft) 4- ае° 2s_ 1 |
© (г, ft) Dk] — |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Я |
ЛштА |
|
|
К, |
—— |
|
|
|
|
|
А, ——-- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
А—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kna |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(— l)r 62 (2r — 1 ) ch |
и |
|
0 |
(s, k) |
Y* + |
|
|
|||||||||
|
|
- |
|
|
< -» * * |
(2r — l )2 62 - f |
4a2fc2 |
|
1 — 2 s |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
k = \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
knb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(— l ) 5 a2 (2 r — 1 ) ch —— со (r , £) 6* |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2s — l )2 a2 nj- 4b2k2 (1 — 2r) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
GO |
OO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
|
2 |
( _ |
1)т+л |
|
(r >m) ш (s>«) - |
2a?bZQ(s) а д |
( ° + |
p)+ |
|
|||||||||||
|
|
|
m=0 л=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
(— l)s----------— --------- |
f (— l)r------- --— |
|
Q(r) |
la |
+ |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
' |
Зя2 (2 s— 1) (2r — |
1) |
L |
|
|
я (2r — 1) |
W |
J |
|
|
|
||||||||
|
|
+ (— 1У---------— |
---------- |
Г (_ |
1)*------ 48Q (s) |
1 p, |
(3,3,61) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
Зя2 (2r — 1) (2s — 1) |
|
L |
|
|
я (2 s — 1) |
J r |
|
V |
’ |
|||||||||
|
OO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-f Y |
(— 1)* Г — — |
CAa> (n, ft) |
|
(a) + |
DAe° |
2n_, — — |
|
(— 1)"' Bmk<s>(Я, ft) — |
|||||||||||||||
|
* |
|
L |
Я |
|
|
|
|
|
|
|
~ о— |
Я |
|
|
|
|
|
|
||||
|
A=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
__ |
4b |
2/гсо (n , k) |
^ kna |
|
4a2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H--- (я)(а +Р) + |
|
|||||||
|
я |
2n — 1 |
|
b |
|
я |
|
4k2b2 -ф- (2n — l )2 a2 |
|
k |
|
|
|||||||||||
+ |
( - |
l)n+I |
|
a*ba |
|
s h |
f |
[< - ■ > ■ -- ^ |
i r ° |
w |
j p |
- |
< з.Э Д |
||||||||||
6я(2л—1) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
6я(2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1° Прямоугольная панель при а=2Ь. В выражениях w и Ф ограничиваемся лишь одним членом (& =1 ). При этом уравнение Бубнова— Галеркина приводится к виду
<7* = - ^ [ 6 ,9 6 9 $ 4 |
0,151 $ *f-4,751A ,$ 2 ,H l,4 2 6 $ 3]. |
||
О |
|
_________________ |
|
Отсюда |
|
||
$ = 0,139/!, Т |
1/0,0148*5 — 0,2039. |
||
Параметр кривизны удовлетворяет условию & * ^ 4 |
. Если h = 0 ,1 см, R = 6 5 см, а = 2 0 см, |
||
£* = 6 1 , 5 , то £i = l, g2= 1 6 , <7^ = 3 6 7 , |
g ' = |
0 , 4 6атж, |
— отрицательное. |
Теперь предположим, что цилиндрическая панель жестко заделана по прямоуголь ному контуру:
|
|
|
|
— |
dw |
|
при |
х = |
+ а, |
|
|
|
|
|
|
|
(3,3,64) |
||||
|
|
|
|
w==—r — = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw |
|
0 |
при |
|
|
. |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-------= |
У = ± Ь - |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Этим условиям удовлетворяет функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ОО |
00 |
|
|
2m—1 лх |
) |
1 ^ |
cos |
|
|
п у ^ |
. (3,3, 65) |
|||||||
|
|
|
~ УI >И<пп(1 Ф |
|
|
||||||||||||||||
|
W |
|
|
|
0( |
|
|
2п — 1 |
|
|
|
||||||||||
|
m=l л=1 |
4 - cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Функцию напряжений возьмем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
_ |
|
ОО |
|
/ v |
клу |
|
|
п |
|
|
клх |
|
|
. |
клх |
Ы у |
|
|
|
||
|
|
Г_ _ |
|
|
|
|
|
|
- f |
|
|
||||||||||
Ф = |
2 J |
|
(*) cos ~ f ~ |
+ D kE l (y) cos —— |
|
Yk ch —— |
|
cos |
|
|
|||||||||||
|
|
A=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф Ok c h -------cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тлх |
|
плу |
|
(3,3,66) |
|||||
|
|
|
|
|
|
m = 0 n= 0 |
|
Icos • |
|
■cos |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
т. e. она совпадает с (3, 3 , 46), если отбросить члены с Fmn, а, Р- |
7 1), (3, 3, |
|
Q |
Q |
|||||||||||||||||
Граничные условия (3, 3, 63) эквивалентны |
условиям (3, |
3, |
|
(~! |
^ |
||||||||||||||||
44), (3, |
3, 45), ^в |
которых вместо |
Ф нужно |
подставить функцию |
(3, 3, 66), |
а коэффи |
|||||||||||||||
циенты |
A Q I, A j0 , |
Лсд»А 00 должны |
быть |
вычислены |
при |
помощи |
функции |
(3, |
3, 65) |
||||||||||||
согласно |
формул |
(3, 3, 47), и кроме того, в соотношениях |
(3, 3, 53) |
и (3, 3, 55) |
преды |
||||||||||||||||
дущего параграфа члены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4 abEh |
y i |
y i |
(— Пm + n + 1+1 (2m — i) Amn |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
л*R |
2 j |
2 J |
|
(2n— 1) f(2/n— 1)* — 4i*] |
|
|
|
|
|
|||||||
И |
|
|
|
|
|
m=1n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4Eh |
y i |
у |
|
(— 1 ) m + n +1A m n |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n2R |
2 j |
2mJ |
(2m—l)(2n—0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
m=1n — 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
необходимо заменить соответственно |
выражениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
abEh |
|
|
|
|
|
и |
““ " f S S |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4R ■$] Л/«[1- ( - ! ) '] |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
n = \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При этих изменениях уравнения |
(3, 3, 50), |
(3, 3, 51), (3, 3, 52) и■(3, 3, 54) предыдущего |
|||||||||||||||||||
пункта |
|
|
|
г |
п |
. |
но |
несколько |
изменяются ^ |
|
|
____ ( |
|
^ |
|||||||
полностью сохраняются, |
|
|
|
Ук, ^а, р\, |
___ |
|
систему |
||||||||||||||
и (3, 3, 55). Тогда для определения постоянных С*,л, Dhk,, |
р2 получаем |
||||||||||||||||||||
|
|
|
# |
# |
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
kllCL |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1лЬ |
|
|
|
|
1 |
|
|
« —1 |
|
|
|
\k k3sh —— |
|
|
||||
|
I |
|
1 |
v |
■~Т4 |
£° W sh~а |
- S ' |
(_ 1)»+* |
|
{а2&4-Ь2р)2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л» |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2(1 + v) Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л |
(а) sh |
1ла |
V/ |
а ^ ( - 1),+* |
|
ъ L 1 v |
~Г |
||||
4 |
|
£=1 |
sh
а
(62£ 2 -f а2/2)2
Пример 1 . Квадратная панель (а~Ъ). Решением задачи будет
0.25<7„ = 71 X + 0,0256*^ — 18,103ft*£* -ф- 617,9£3.
Отсюда ft*^22. Прогиб в момент хлопка и давление прн ft* = 100 равны
Si = 0 . 1 , ?« = 62.
Пример 2 . Удлиненная панель (а=26.)
<7* = 527,5£ + 0,00705/^ — 15,405Л*£а + 277,5£3,
К . > 4 3 ,
£ = 0,2; ^ = 256 (Л* = 100).
Как следует из вышеизложенного, учет бигармонических членов в выражении функции напряжений значительно усложняет последующие вычисления. Однако это совершенно необходимо для более точного удовлетворения статическим и геометриче ским краевым условиям задачи. Вычисленные в первом приближении величины кри тических нагрузок приведены лишь для иллюстрации метода и могут быть уточнены в последующих приближениях.
§4. МЕТОД X. М. МУШТАРИ. СРЕДНИЙ ИЗГИБ ОБОЛОЧКИ
В50-х годах в литературе появилось много работ, в которых реше ние задач изгиба гибких пластин и оболочек получено в первом прибли жении, путем аппроксимации функции прогиба и функции напряжений
спомощью одного, главного члена ряда. При этом устанавливали куби ческую зависимость нагрузки от прогиба и делали попытки определе ния напряженного состояния в оболочке. Однако вскоре было замечено, что такие решения в первом приближении могут дать удовлетворитель ные зависимости прогиба от нагрузки только для плоской пластины и весьма пологой оболочки, которую можно рассматривать как слегка искривленную пластину. А для определения напряжений такие решения вообще непригодны, так как величины компонентов изгибного и мем бранного напряжений получаются в результате двукратного дифферен цирования рядов, аппроксимирующих функции прогиба и напряжения, а при этом резко возрастает роль высших гармоник тригонометрического
ряда.
Вто же время решение нелинейных задач в высших приближениях при аппроксимации функции прогиба и функции напряжения тригоно метрическими рядами с сохранением большого числа членов сопряже но с трудностями, которые нелегко преодолеть даже с помощью быстро действующих вычислительных машин.
В1958 г. X. М. Муштари предложил метод решения задач среднего
изгиба пологой оболочки, известный под названием полулинейной тео рии [83]. Средний изгиб оболочки характеризуется прогибами, не пре вышающими 1,5—2 толщины, и занимает промежуточное положение между малыми прогибами, для которых справедлива классическая ли нейная теория, и «большими прогибами», рассматриваемыми современ ной нелинейной теорией. Развитый X. М. Муштари эффективный метод решения задач среднего изгиба применим не только для определения прогиба пластины и оболочки, но и для определения напряжений в них, когда прогибы не превышают 1,5-«—2 толщины.
Пусть требуется решить задачу о среднем изгибе прямоугольной в плане пологой панели под действием равномерно распределенной на-
грузки. В качестве исходных уравнений берем известные нелинейные уравнения теории пологих оболочек:
|
|
|
|
\2 |
д2W |
d*w |
К |
d*w |
— к |
d*w |
] , |
(3,4,1) |
|
|
|
( |
) |
дх2 |
ду* |
|
ду* |
у |
дх* |
|
|
D |
а , |
д*Ф |
d2w |
|
|
d2w |
|
д*Ф |
d?w |
+ J - |
||
— VaV ш = — т- |
К + |
дх2 |
|
( k y + |
ду* |
|
дх ду |
dx dy |
+ h ' |
|||
Л |
V V |
ду* |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3,4,2) |
где у 2у2— двойной лапласиан, |
Ф — функция |
напряжений, |
w — функ |
|||||||||
ция прогиба, q — нагрузка, kx, ky — главные |
кривизны, D — жесткость |
|||||||||||
на изгиб, h — толщина оболочки, Е — модуль упругости. |
|
|
|
|||||||||
|
Для определенности предположим, что панель шарнирно оперта на |
гибкие в своей плоскости нерастяжимые ребра, т. е. граничные условия для функций Ф и w имеют вид
= |
ФУУ= 0 |
при |
* = ± - | - ’ у |
= ± Т |
: |
(3.4,3) |
||
= Wxx = О при |
|
|
w = wyy = 0 |
при |
у — + — . |
|||
Граничные условия |
(3, 4, 3) |
удовлетворяются, если Ф и ш |
взять в |
|||||
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф = |
V |
фтп COS т |
cos п |
, |
|
|
(3,4,4) |
|
|
т,п |
|
|
а |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w = |
^ |
wmn cos т |
cos п -у - |
|
|
(3,4,5) |
||
|
т,п |
|
|
|
|
|
|
|
Согласно обычной процедуре метода Бубнова — Галеркина |
выражения |
|||||||
Ф и w мы должны подставить в исходные уравнения |
(3, 4, 1), |
(3, 4, 2), |
последовательно умножить их на соответствующие координатные функ ции и каждое из таких произведений проинтегрировать по площади па нели. Таким путем мы придем к весьма громоздкой системе нелиней
ных относительно wmn уравнений вида |
|
|
|
f f [у2Ф — (^) ] cos т |
cos п |
dx dy = 0, |
(3,4,6) |
j J [у2w — L2 (W, Ф, p)] cos m —— cos n ~~~ dxdy = 0, (3,4,7)
G
m , n = l , 2, 3,
где через Lx(w), L2{w, Ф, p) обозначим правые части уравнений после подстановки в них выражений для Ф и w.
Чтобы упростить вычисления, X. М. Муштари предложил в уравне ниях (3, 4, 6), (3, 4, 7) пренебречь всеми слагаемыми, содержащими амплитуды wmn высших гармоник в степени, выше первой. При таком пренебрежении система уравнений становится линейной, если задаваться не нагрузкой, а амплитудой главной гармоники Шц.
|
= |
[ ( a . J + ° x y tn |
+ <*««) |
|
+ ( o x y l |
+ <jyytn |
+ 0 y2n ) b v + |
|
|||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1,0J |
+ o„m+o,fl )M |
* - Щ |
[ ( ^ f |
+ ^ |
+ ^ |
t )'«“ + |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
f ( |
^ |
+ ^ |
+ J ^ ' \ b |
v |
+ ( |
^ |
|
+ ! ^ |
dz |
J |
= |
(3,5,7) |
|
\ |
dx |
dy |
dz |
J |
|
V |
dx |
dy |
J |
|
|||
|
|
Tv658 ds — |
|
|
|
|
+ |
dTy_ + ^ Л б S3 dr. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
dz J |
|
|
|
Подставляя (3, 5, 2) и |
(3, |
5, 7) |
в |
(3, 5, |
1), получим |
вариационное |
|||||||
уравнение Лагранжа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х |
|
^ ++р (г--£-)]я*-ЯS |
**-°- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3,5,8) |
|
Прямая |
задача |
теории упругости и пластичности в перемещениях |
|||||||||||
формулируется так: |
найти |
функцию |
33 (х, у, г, /), |
такую, чтобы |
для |
произвольной вариации бЭЗ, совместной со связями, удовлетворялось вариационное уравнение (3, 5, 8). Ввиду произвольности дополнитель
ных перемещений 633 из уравнения (3, 5, 8) можно получить уравнение равновесия и статические граничные условия. Поэтому при разыскании
функции 33 (х, у, г, /) из уравнения Лагранжа (3, 5, 8) об удовлетво рении уравнений равновесия и статических условий на той части гранич ной поверхности, где заданы внешние усилия, заботиться не нужно —
они удовлетворяются автоматически; |
важно |
лишь, чтобы 33 + 633 было |
||
кинематически возможным — на той |
части |
граничной |
поверхности, где |
|
заданы перемещения, 33 должно быть |
равно этим |
перемещениям, а |
||
633 обращаться в нуль. Введем |
|
|
|
|
d т |
|
|
5 |
(3,5,9> |
|
|
|
||
где V = f f f W d x , а 5 — полная энергия |
деформации. Тогда вариацион- |
|||
X |
|
|
|
|
ное уравнение Лагранжа можно записать в виде |
|
|||
65 = |
0. |
|
|
(3,5,10) |
Следовательно, от всех кинематически возможных перемещений истинная система перемещений, удовлетворяющая уравнениям равнове сия и статическим граничным условиям, отличается тем, что для нее полная энергия деформации экстремальна.
Теорема о минимуме полной энергии гласит: из всех кинематически возможных деформированных состояний истинное деформированное со стояние соответствует минимуму полной энергии, т. е. для истинного деформированного состояния
625> 0 .
Формулы (3, 5, 14) являются обобщенными формулами Кастильяно. Величина
|
а |
|
W' = |
eudoa + -£ |
|
|
о |
|
имеет следующую механическую интерпретацию. |
о^2 до пря |
|
В плоскости (<ju, eu) первый член является дополнением |
||
моугольника площади <^1 под кривой <ти = Ф(еи), которая |
изображает |
работу внутренних сил (напряжений), затраченную на изменение формы
|
|
|
|
единицы объема. Второй член изобража |
||||||||
|
|
|
|
ет в плоскости |
(а, |
е) дополнение Q2 до |
||||||
|
|
|
|
прямоугольника площади Qi, |
изобража |
|||||||
|
|
|
|
ющей работу внутренних сил, затрачен |
||||||||
|
|
|
|
ную на изменение |
единичного |
объема, |
||||||
|
|
|
|
причем QI = Q2 |
(рис. 3.16). |
|
Исходя из |
|||||
|
|
|
|
этого величину |
W' |
называют |
удельной |
|||||
|
|
|
|
дополнительной работой внутренних сил, |
||||||||
|
|
|
|
а величину V' — дополнительной работой |
||||||||
При упругих |
|
|
внутренних сил во всем теле. |
|
и потому |
|||||||
деформациях |
ou=3Geu, так что ё^2 = |
|
|
|
||||||||
W = W — упругому потенциалу ,а |
V = V — потенциальной |
|
энергии де |
|||||||||
формации,' и формулы |
(3, 5, 14) переходят в формулы Кастильяно. |
|||||||||||
_ |
= |
ди |
|
до |
|
ди . |
до |
|
|
|
, |
|
Так как |
---- , |
е.„, = ---- , |
.. . ,ехо==—— |— —, то, применяя фор- |
|||||||||
|
|
дх |
у |
ду |
у |
ду |
|
дх |
|
|
|
|
мулу Остроградского — Грина для 6V" имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
дЬ Ту |
d&Tj_ |
|
dx. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
дг |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sх
Всилу (3, 5, 11) объемный интеграл равен нулю, интеграл по поверх ности Si в силу (3, 5, 12) также равен нулю. На поверхности S2 имеем
6Гу = 6PV, откуда
Выражение (3, 5, 15) есть обобщение вариационной формулы Кастилья
но, полученной для упругих деформаций. Для случая, когда |
часть S2 |
||
граничной поверхности жестко закреплена, т. е. |
$82 = 0 на S2, |
(3, 5, 15) |
|
примет вид |
|
|
|
6К' = 0. |
|
|
(3,5,16 |
Физический смысл (3, 5, 16) заключается в том, что в истинном на |
|||
пряженном состоянии дополнительная работа внутренних |
сил прини |
||
мает экстремальное значение. Так как ои — однозначная |
монотонная |
||
функция еи и о=/(0, то работа внутренних сил |
достигает |
экстремума |
|
одновременно с дополнительной работой. Поэтому условие |
|
(3, 5, 16) |
приводит к обобщенному вариационному уравнению Кастильяно, полу ценному для упругих деформаций:
6К = 0. (3,5,17
Это уравнение означает, что при указанных выше граничных условия: (на части Si граничной поверхности заданы усилия, а часть S2 жестк