книги / Сборник задач по физике.-1

Пусть произвольной темной полосе k-гo номера соответствует толщина dk клина, а темной полосе (k + m)-го номера – толщина dk+m клина. Тогда из рисунка, учитывая, что m полос укладывается на расстоянии l, найдем

tgγ = sinγ =	dk +m −dk .	(4)
	l

Выразим из формулы (3) dk и dk+m и подставим их в формулу (4). Затем, учитывая, что из-за малости угла γ sinγ ≈ γ, по-

	лучим
			k + m		k
				λ−		λ	=	mλ	.
	γ =		2n		2n
				l
								2nl
	Подставляя числовые значения физических величин, найдем
	γ =	10 0,6 10−6			= 2 10−4 рад.
		2	1,5 10−2

№ 3. На дифракционную решетку нормально к ее поверхности падает монохроматический свет. Период решетки d = 2 мкм. Какого наибольшего порядка дифракционный максимум дает эта решетка в случае красного (λ1 = 0,7 мкм) и в случае фиолетового (λ2 = 0,41 мкм) света?

Р e ш е н и е.

На основании известной формулы дифракционной решетки напишем выражение порядка дифракционного максимума

	m =	dsinϕ	,	(1)
		λ

где d – период решетки; ϕ – угол между направлением на дифракционный максимум и нормалью к решетке; λ – длина волны монохроматического света. Поскольку sinϕ не может быть больше 1, то, как следует из формулы (1), число m не может быть больше d/λ, т.е.

131

m ≤ d/λ.

(2)

Подставив в формулу (2) числовые значения, получим: для красных лучей m ≤ 2/0,7 = 2,86; для фиолетовых лучей m ≤ 2/0,41 = 4,88.

Если учесть, что порядок максимумов является целым числом, то для красного света mmax = 2 и для фиолетового mmax = 4.

№ 4. Естественный луч света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины луч образует угол ϕ = 97° с падающим лучом (рисунок). Определить показатель преломления n1 жидкости, если отраженный свет максимально поляризован.

Р е ш е н и е.

Согласно закону Брюстера луч света, отраженный от диэлектрика, максимально поляризован в том случае, если тангенс угла падения численно равен относительному показателю преломления: tgα = n21, где n21 – показатель пре-

ломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).

Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления. Следовательно, tgα = n2/n1. Поскольку угол падения равен углу отражения, то

α = ϕ/2, и, следовательно, tgϕ/2 = n2/n1, откуда n1 = tgnϕ2/2 . Подставив числовые значения, получим

n1 =	1,5		=	1,5	=1,33.
	tg	97°		1,13
		2

№ 5. Два николя N1 и N2 расположены так, что угол между их плоскостями пропускания составляет α = 60°. Определить, во

132

сколько раз уменьшится интенсивность I0 естественного света: 1) при прохождении через один николь N1; 2) при прохождении через оба николя. Коэффициент поглощения света в николе k = 0,05. Потери на отражение света не учитывать.

Р е ш е н и е.

1. Естественный свет, падая на грань призмы николя (рисунок), расщепляется вследствие двойного лучепреломления на два луча: обыкновенный и необыкновенный. Оба луча одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний необыкновенного луча лежит в плоскости чертежа (плоскость главного сечения). Плоскость колебаний обыкновенного луча перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный луч о вследствие полного внутреннего отражения от границы АВ отбрасывается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный луч е проходит через приз-

му,	уменьшая свою интенсивность вследствие поглощения:
I1 =	1	I0(1 – k).
	2

Относительное уменьшение интенсивности света получим, разделив интенсивность I0 естественного света, падающего на первый николь, на интенсивность I1 поляризованного света:

I0

=

I0

=

2

.

I1

1 I0 (1−k )

1

−k

2

Подставив в это

выражение числовые значения, найдем

I0

=

2

= 2,1.

I1

1−0,05

Таким образом, интенсивность уменьшается в 2,1 раза.

133

2. Плоскополяризованный луч света с интенсивностью I1 падает на второй николь N2 и также расщепляется на два луча различной интенсивности: обыкновенный и необыкновенный. Обыкновенный луч полностью поглощается призмой, поэтому интенсивность его нас не интересует. Интенсивность необыкновенного луча I2, вышедшего из призмы N2, определяется законом Малюса (без учета поглощения света во втором николе): I2 = I1cos2α, где α – угол между плоскостью колебаний в поляризованном луче и плоскостью пропускания николя N2.

Учитывая потери интенсивности на поглощение во втором николе, получим I2 = I1(1 – k)cos2α.

Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света через оба николя найдем, разделив интенсивность I0 естественного света на интенсивность I2 света, прошедшего систему

из двух николей:

I0

=

I0

.

I2

I1 (1−k )cos2α

Заменяя отношение I0/I1

его

выражением по

форму-

ле

относительного

уменьшения

интенсивности,

получим

I0

=

2

.

Подставляя

данные, произведем

вычис-

I2

(1

−k )2 cos2α

ления:

	I0	=	2		=8,86.
	I2		(1−0,05)2 cos2	60°

Таким образом, после прохождения света через два николя интенсивность его уменьшится в 8,86 раза.

№ 6. Плоскополяризованный монохроматический луч света падает на поляроид и полностью им гасится. Когда на пути луча поместили кварцевую пластину, интенсивность I луча света после поляроида стала равна половине интенсивности луча, падающего на поляроид. Определить минимальную толщину

134

кварцевой пластины. Поглощением и отражением света поляроидом пренебречь, постоянную вращения кварца α принять равной 48,9 град/мм.

Р е ш е н и е.

Полное гашение света поляроидом означает, что плоскость пропускания поляроида (пунктирная линия на рисунке) перпендикулярна плоскости колебаний (I–I) плоскополяризованного света, падающего на него. Введение кварцевой пластины приводит к повороту плоскости колебания света на угол

ϕ = αl,

(1)

где l – толщина пластины.

Зная, во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении его через поляроид, определим угол β,

который установится между плоскостью пропускания поляроида и новым направлением (II–II) плоскости колебаний падающего на поляроид плоскополяризованного света. Для этого воспользуемся законом Малюса: I = I0cos2β.

Заметив, что β = π/2 – ϕ, можно написать I = I0cos2(π/2 – ϕ),

или

I = I0sin2ϕ.

(2)

Из равенства

(2) с учетом выражения (1)

получим

αl = arcsin

I

,

откуда

искомая

толщина

пластины

I0

l =

1

arcsin

I

. Подставим числовые значения и произведем

α

I0

вычисления (во внесистемных единицах):

l =

1

arcsin

1 =

45

мм = 0,92 мм.

48,9

48,9

2

135

4.3. Квантовая оптика

Квантовой оптикой называют раздел физики, в котором изучаются оптические явления на основе представления о свете как потоке частиц. Согласно теории М. Планка, в дальнейшем развитой А. Эйнштейном, излучение и поглощение света веществом происходит конечными порциями, называемыми квантами (фотонами). Подобно частице, фотон обладает релятивистской массой и энергией. Особенностью фотона является то, что он неделим, движется со скоростью света и его масса покоя равна нулю. Квантовая теория позволила решить задачу теплового излучения, объяснить явление фотоэффекта, эффект Комптона и давление света.

Задачи, связанные с определением массы, импульса или энергии фотона, решаются на основании соответствующих формул. При этом нельзя забывать, что фотон – релятивистская частица и формулы классической физики к нему неприменимы. Если в задаче наряду с фотонами рассматриваются другие частицы (например, фотон сталкивается с электроном, протоном и т.п., или требуется сравнить массу, импульс или энергию фотона с соответствующей характеристикой частицы) и специально не оговорено, релятивистские они или нет, то нужно вычислить энергию Е и энергию покоя Е0 частицы. Если Е < Е0, то частицу можно считать нерелятивистской и использовать законы классической физики; если Е > Е0, то необходимо применять формулы специальной теории относительности.

Задачи на фотоэффект решаются на основании формулы Эйнштейна и вытекающих из нее соотношений:

–красная граница фотоэффекта – это минимальная частота

ν0 или максимальная длина волны λ0, при которых возможен фотоэффект; соответствующая энергия кванта равна работе выхода электрона из поверхности данного металла;

–задерживающее напряжение Uз (задерживающая разность потенциалов) – это минимальная разность потенциалов между

136

анодом и катодом, при которой электрическое поле между электродами достаточно сильное, чтобы не дать фотоэлектронам долететь до анода; UЗ по величине равно максимальной кинетической энергии фотоэлектронов;

– ток насыщения Iн – это максимальный ток в цепи при условии, что катод освещается одним и тем же источником света; Iн по величине равен суммарному заряду всех электронов, испускаемых катодом в единицу времени.

Задачи на давление света решаются на основании формулы

р = Еcэ (1+ρ) . При этом следует помнить, что она справедлива

только для случая, если свет падает перпендикулярно поверхности тела. Часто эту формулу удобно использовать в другой форме записи. Поскольку освещенность Еэ равна энергии, падающей в единицу времени на единицу плошади тела, то ее можно представить в виде

p =(1+ρ) nhcν,

где n – число фотонов с частотой ν, падающих в единицу времени на единицу площади поверхности тела.

Если свет падает на поверхность под некоторым углом α, следует обратить внимание на то, что площадь S поперечного сечения светового пучка и площадь S0 на поверхности тела, на которое падает этот пучок, не равны друг другу, а связаны соотношением S = S0cosα.

Основные формулы

Законы теплового излучения

1. Закон Стефана–Больцмана. Энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна абсолютной темпера-

туре в четвертой степени:

Rэ = σT 4,

где σ – постоянная Стефана – Больцмана.

137

Энергетической светимостью называется величина, численно равная энергии излучения всех длин волн с единицы по-

∞

верхности тела в единицу времени: Rэ = ∫rλdλ, где rλ – спек-

0

тральная плотность энергетической светимости (т.е. энергетическая светимость, приходящаяся на единичный интервал длин волн).

2. Закон смещения Вина. В спектре излучения абсолютно черного тела длина волны λm, на которую приходится максимум энергии излучения, обратно пропорциональна абсолютной температуре:

λm = Tb ,

где b – постоянная Вина.

Фотоэлектрический эффект

3. Формула Эйнштейна для фотоэффекта

hν = A + Wmax,

где hν – энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона; W – максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона, вылетевшего из металла.

Если энергия фотона меньше 5 кэВ, то кинетическая энергия W может быть определена по классической формуле

Wmax =	mev2	, где me – масса покоя электрона.
2
Если энергия фотона больше 5 кэВ, то для вычисления ки-
нетической энергии W следует воспользоваться релятивистской
					1
2			2					, β = v/c.
формулой W = (m – me)c , или Wmax = mec
					−β	2	−1
			1

4. Максимальная длина волны λкр (минимальная частота колебаний νкр), начиная с которой фотоэффект прекращается,

138

называется красной границей фотоэффекта: λкр = hcA , или

νкр = Ah , где h – постоянная Планка.

Давление света. Фотоны

5. Давление р, производимое светом при нормальном падении на поверхность с коэффициентом отражения ρ, выражается

соотношением р = Еcэ (1+ρ), или р = ω(1+ ρ), где Еэ – энергети-

ческая освещенность поверхности; с – скорость распространения света в вакууме; ω – объемная плотность энергии излучения.

В случае идеально отражающей (зеркальной) поверхности коэффициент отражения ρ = 1. В случае идеально поглощающей поверхности (поверхность абсолютно черного тела) коэффициент отражения ρ = 0.

6. Энергия ε фотона выражается формулой ε = hν = hcλ .

Масса m фотона выражается из закона пропорциональности массы и энергии следующим образом: m = cε2 = chλ . Импульс

фотона p = cε = hλ .

Эффект Комптона

7. При соударении со свободным или слабо связанным (валентным) электроном фотон передает ему часть своей энергии, вследствие этого длина волны λ′ рассеянного фотона больше длины волны λ первичного фотона.

Изменение длины волны дается формулой Комптона

	λ′− λ =	h	(1−cosθ),
		mec

139

где me – масса покоящегося электрона; θ – угол рассеяния. Ве-

личина Λ = h называется комптоновской длиной волны. При mec

рассеянии на электроне Λ = 2,436 · 10–12 м.

Примеры решения задач

№ 1. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, λm = 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) Rэ поверхности тела.

Р е ш е н и е.

Энергетическая светимость Rэ абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана–Больцмана пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры и выражается формулой

Rэ = σT 4,

(1)

где σ – постоянная Стефана–Больцмана; Т – термодинамическая температура.

Температуру Т можно вычислить с помощью закона сме-

щения Вина:
λm = b/Т,		(2)
где b – постоянная закона смещения Вина.
Используя формулы (2) и (1), получим
b 4		(3)
Rэ = σ	.
	λ

Выпишем числовые значения величин, входящих в эту формулу:

σ = 5,67 10–8 Вт/(м2·К4), b = 2,90·10–3 м·К, λm = 5,8 10–7 м,

и, подставив числовые значения в формулу (3), произведем вычисления:

Rэ = 5,67 10	−8		2,90 10−3	4	= 3,54	7	2	.
			5,8 10−7			· 10 = 35,4	МВт/м

140