Lin_Alg-BE
.pdfDecember 6, 2011 Курбатов В.Г. |
10 |
Эти формулы называют правилами раскрытия (разложения) определителя по |
||||||||||||||||||
строке (по столбцу). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 11. Вычислим определитель, разложив его по первому столбцу: |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
¯ |
1 |
|
¡0 |
6¯ |
= |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
¯¡4 |
|
|
|
5 |
2¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¡ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¢ |
¯ |
0 6 |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
2 |
3 ¯ |
|
¢ |
¯ |
|
2 3 |
|
|
|
5 2¯ |
¡ ¡ ¢ |
|
5 2¯ |
|
|
0 6¯ |
|
||||||||||
= 1 |
|
¯¡ |
|
¯ |
( |
¯1) |
¯¡ |
|
|
¯ |
|
|
¯ |
¡ |
¯ |
= |
||
|
¯ |
|
¯ |
¯ |
¡ |
|
|
¯+ 4 |
|
¯ |
¯ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|||||
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
=1 ¢ (0 + 30) + 1 ¢ (¡4 + 15) + 4 ¢ (¡12 ¡ 0) =
=30 + 11 ¡ 48 = ¡7:
1.8Определители n-го порядка
Âкачестве определения определителя n-го порядка примем формулы из свой-
ñòâà 11 |
Xn |
|
|
|
|
|
n |
|
= |
j=1 aijAij; |
i = 1; 2; : : : ; n; |
= Xi=1 aijAij; |
j = 1; 2; : : : ; n: |
Эти формулы позволяют понизить порядок определителя, т. е. свести вычисление определителя n-го порядка к вычислению определителей (n ¡ 1)-го порядка.
Пример 12. Вычислим определитель четвертого порядка, раскрывая его по первому столбцу:
¯ |
6 |
|
|
|
1 |
¡0 |
1¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
||
¯ |
1 |
|
|
|
2 |
3 |
0 |
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
¯ |
2 |
3 |
0 |
|
|||
3 |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
¡ ¢ |
1 |
|
1 2¯ |
¡ ¢ |
1 1 2¯ |
|
||||||||||||||
¯ |
|
|
|
2¯ |
= 1 |
¯ |
1 |
¡0 1 |
¯ |
|
|
0 |
¯ |
|
|
|
¯ |
+ |
||||||||||||
¯¡0 |
|
|
|
2 |
2 |
1¯ |
|
¯ |
|
|
¯¡ |
1 0 1 |
||||||||||||||||||
¯ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
||||
¯ |
|
|
|
3 0 |
|
¯ |
|
|
|
|
2 |
¯ |
3 |
0 |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|||
¯ |
|
|
|
2 |
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
||||||
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
1¯ |
¯ |
|
|
|
¯2 |
|
|
1¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+6 |
¢ |
|
2 |
2 |
¡ |
3 |
¢ |
|
2 |
= |
¡ |
1 |
¢ |
(2 + 1 |
¡ |
2 + 4)+ |
||||||||||||||
|
¯ |
|
1 |
¡1 2¯ |
|
¯1 |
¡0 |
1¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+6 ¢ (¡8 ¡ 3 ¡ 2 ¡ 12) ¡ 3 ¢ (¡4 + 3 ¡ 6) =
=¡5 ¡ 150 + 21 = ¡134:
1.9Метод элементарных преобразований вычисления определителя
Укажем еще один способ вычисления определителей n-го порядка. Напомним (Ÿ 1.5) некоторые свойства определителей:
2) если переставить две строки (или два столбца), то определитель поменяет знак;
December 6, 2011 Курбатов В.Г. |
11 |
4)если строку (столбец) умножить на число, то и определитель умножится на это число; общий множитель из строки (столбца) можно выносить за знак определителя;
8)если к одной строке (или столбцу) прибавить другую, умноженную на число, то определитель не изменится.
Перечисленные в этих свойствах преобразования называют элементарными. С помощью элементарных преобразований определитель приводят к треугольному виду, после чего он вычисляется с помощью свойства 9: определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Пример 13. Вычислим определитель из предыдущего примера методом элемен- |
||||||||||||||||||||||||||||
тарных преобразований. ЭТАП 1: Сформируем сначала нули в первом столбце под |
||||||||||||||||||||||||||||
диагональю. Для этого прибавим к третьей строке первую, умноженную на 6, а к |
||||||||||||||||||||||||||||
четвертой первую, умноженную на 3. В результате получим |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
¯¡0 |
|
|
|
2 |
|
2 1¯ |
= ¯¡0 2 |
|
¡ 2 1¯ |
: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
¯ |
6 |
|
|
|
1 |
|
¡0 1¯ |
|
¯ |
0 13 |
18 1¯ |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
¯ |
1 |
|
|
|
2 |
|
3 |
0 |
¯ |
|
¯ |
1 |
2 |
|
3 |
0 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
¯ |
3 |
|
|
|
1 |
|
1 2¯ |
|
¯ |
0 5 |
|
10 2¯ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
¯ |
|
|
¡ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
ЭТАП 2: Сформируем¯ |
нули во втором¯ ¯ |
столбце под диагональю.¯ |
Сначала поме- |
|||||||||||||||||||||||||
няем местами 2-й и 4-й столбцы, после чего к третьей строке прибавим вторую, |
||||||||||||||||||||||||||||
умноженную на ¡1, а к четвертой вторую, умноженную на ¡2: |
|
11¯ |
|
|||||||||||||||||||||||||
¯ |
0 |
13 |
18 |
|
1¯ |
|
|
|
¯ |
0 |
|
1 |
|
|
18 |
13¯ |
¯ |
0 |
0 |
20 |
|
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
3 |
2 |
¯ = |
¯ |
1 |
0 |
3 |
2 |
¯: |
|
|||
¯¡0 2 |
¡ 2 1¯ |
= |
|
¯ ¡0 1 ¡2 2 |
¡0 1 ¡2 2 |
|
||||||||||||||||||||||
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¡ ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¡ ¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
ñòðî- |
ÝÒÀÏ 3:¯ |
Сформируем нули¯ |
в третьем¯ |
столбце под¯ |
диагональю.¯ |
К четвертой¯ |
|||||||||||||||||||||||
¯ |
0 5 |
10 2¯ |
|
|
|
¯ |
0 2 10 5 |
¯ |
¯ |
0 0 14 1 |
¯ |
|
||||||||||||||||
ке прибавим третью, умноженную на ¡ |
14 |
= ¡ |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
20 |
10: |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
¯ |
0 |
|
0 |
|
20 |
11¯ |
|
|
¯ |
0 |
0 |
20 |
11 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
¯ |
1 |
|
0 |
|
|
3 |
2 |
¯ = |
|
¯ |
¡01 |
0 |
3 |
|
2 |
¯ |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
¡0 1 ¡2 2 |
|
1 ¡2 |
2 |
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
¡ ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¡ ¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¡ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
0 0 0 |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
¯ |
0 0 14 1 ¯ |
|
|
¯ |
|
67=10¯ |
|
|
|
|
|
=¡(¡1) ¢ 1 ¢ 20 ¢ (¡67=10) = ¡134:
Âконце мы воспользовались правилом вычисления определителя треугольной матрицы.
1.10 Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу A размера m£n. Возьмем число k, меньшее или равное как m, òàê è n. Выделим в матрице любые k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют определитель k-го порядка. Его
December 6, 2011 Курбатов В.Г. |
12 |
называют минором матрицы A порядка k. Очевидно, что миноров порядка k, вообще
говоря, много.
Рангом матрицы A называют наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Иными словами, число r называют рангом ненулевой матрицы A, если: 1) у матрицы A есть ненулевой минор порядка r; 2) всякий минор порядка r + 1 и выше равен нулю. Ранг матрицы A обозначают символом rang A.
Ранг матрицы, состоящей из одних нулей, равен нулю.
Всякий ненулевой минор матрицы, порядок которого равен рангу, называют базисным минором. Строки и столбцы, на пересечении которых находится базисный минор, называют базисными строками и базисными столбцами.
Замечание 2. Из определения ранга непосредственно следует, что если определитель квадратной матрицы A отличен от нуля, то rang A = n.
Пример 14. Рассмотрим матрицу 1 |
2 |
3 |
4 |
|
00 |
1 |
1 |
21 |
: |
@1 |
3 |
¡2 |
6A |
|
Нетрудно проверить, что все ее миноры 3-го порядка равны нулю: |
||||||||||||||||||||||||||
¯0 1 |
1¯ |
= |
¯0 |
1 |
2¯ |
= |
¯0 |
|
1 |
2¯ |
= |
¯1 |
1 2¯ |
= 0: |
||||||||||||
¯1 3 |
¡2 |
¯ |
|
|
¯1 |
3 |
6¯ |
|
¯1 |
¡2 |
6¯ |
|
¯3 |
¡2 6¯ |
|
|||||||||||
¯ |
1 |
2 |
3 |
¯ |
|
|
¯ |
1 |
|
2 |
4 |
¯ |
|
¯ |
1 |
|
3 |
4 |
¯ |
|
¯ |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|||||||
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
1 |
¯ |
2 |
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
1¯ |
= 1 =¯ |
0:¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
||||
А минор 2-го порядка ¯0 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Поэтому rang A = 2. Напомним,¯ ¯ |
÷òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
1 |
2 |
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
1 |
|
|
1 |
21 |
: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@1 |
3 |
|
¡2 |
6A |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.11Метод элементарных преобразований вычисления ранга
В Ÿ 1.9 уже отмечалось, что элементарные преобразования сохраняют свойство определителя быть отличным от нуля. Поэтому элементарные преобразования не меняют также и ранг матрицы. Таким образом, метод элементарных преобразований может быть применен и к нахождению ранга. Это делается с помощью приводимой ниже теоремы.
Матрицу называют ступенчатой, если каждая ее строка начинается со строго большего числа нулей, чем предыдущая. Ненулевые элементы aij ступенчатой мат-
ðèöû A, левее которых стоят только нули (а также места, на которых они находятся), называют началами ступенек.
Пример 15. Пример ступенчатой матрицы: |
1 |
5 |
|
|
||||
|
8 |
1 |
0 |
3 |
C |
|
||
B0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||
00 |
6 |
4 |
¡2 0 |
¡31 |
: |
|||
B |
|
|
|
|
|
|
C |
|
@ |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
¡2 |
A |
|
|
|
|
December 6, 2011 Курбатов В.Г. |
13 |
Теорема 1. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк в ней.
Преобразовать матрицу к ступенчатому виду можно с помощью элементарных |
|||||||||||||||
преобразований. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2. Найти ранг матрицы |
A = 00 |
1 |
1 |
|
11 |
: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@1 |
1 0 |
|
0A |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Приведем матрицу к ступенчатому виду: |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
2 |
1 |
|
1 |
|
» |
@ |
1 |
2 |
1 |
1 |
@1 |
1 |
0 |
0A » |
@0 |
¡1 ¡1 ¡1A |
0 |
0 |
0 |
0A |
||||||
00 |
1 |
1 |
11 |
00 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
11: |
Полученная матрица является ступенчатой: начала ступенек образовались на местах элементов a11 è a22. В силу теоремы 1 получаем, что rang A = 2.
1.12Обратная матрица и ее нахождение методом присоединенной матрицы
Пусть A квадратная матрица, а E единичная матрица того же размера. Матрицу B называют обратной к матрице A, åñëè A ¢ B = E è B ¢ A = E. Обратную матрицу обозначают символом A¡1. Таким образом, по определению имеем
AA¡1 = A¡1A = E:
µ 1 2¶
Пример 16. Для A = ¡ 1 1 обратной является
A¡1 = |
µ1=3 |
¡1=3 ¶ |
: |
|
1=3 |
2=3 |
|
Действительно, |
A ¢ A¡1 = µ ¡11 1¶ |
¢ µ1=3 |
¡1=3 ¶ = |
|
|
|
|
|
|
|
|||
µ |
2 |
1=3 |
2=3 |
|
|
1¶ |
¡ 1¢¢ (1=3) + 1¢¢ (1=3) ¡ 1¢¢ (¡2=3) + 1 ¢ (1=3)¶ µ0 |
||||||
= |
1 (1=3) + 2 (1=3) 1 (¡2=3) + 2 ¢ (1=3) |
= |
1 |
0 : |
Нетрудно также проверить, что и A¡1 ¢ A = E.
Теорема 2. Квадратная матрица A имеет обратную тогда и только тогда, когда ее определитель jAj отличен от нуля.
Доказательство. Если A имеет обратную, то E = A ¢ A¡1
определителей имеем 1 = jEj = jA ¢ A¡1j = jAj ¢ jA¡1j, откуда видно, что jAj 6= 0.
В качестве доказательства в обратную сторону опишем алгоритм построения обратной матрицы для случая, когда jAj 6= 0.
December 6, 2011 |
Курбатов В.Г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|||||||||||||
Алгоритм построения обратной матрицы. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1. Вычисляем |
j |
A |
|
|
. Åñëè |
A |
= 0, то по доказанному A¡1 не существует, и вычис- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ления на этом заканчиваются. Если jAj 6= 0, то переходим. |
к этапу 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Выписываем транспонированную матрицу A0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3. Составляем матрицу |
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A, состоящую из алгебраических дополнений элементов |
|||||||||||||||||||||||
матрицы A0. Матрицу Aˆ называют присоединенной к матрице A. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Выписываем ответ по формуле A¡1 = |
|
1 |
|
Aˆ. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
jAj |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Делаем проверку: проверяем равенства A ¢ A¡1 = E è A¡1 ¢ A = E. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 17. Найдем обратную к матрице |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
02 |
|
1 |
41 |
: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@1 1 3A |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. 1. Вычисляем jAj. Имеем jAj = ¡2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2. Выписываем транспонированную матрицу: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
= |
01 |
|
|
1 |
|
11 |
: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@1 4 3A |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0 |
|
= |
01 |
|
|
1 |
|
11 |
: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@1 4 3A |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. Вычисляем присоединенную матрицу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Aˆ = 0 ¯ |
1 1 |
|
|
|
|
|
¡ |
|
1 1 |
|
¯ |
|
|
¯ |
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
¡1 ¡2 3 |
|||||||||||
4 3 |
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
1 4 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 1 |
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
1 |
|
= 0¡2 |
2 ¡21: |
||||||||||||||||
4 3¯ |
|
|
|
|
|
¯1 3 |
|
|
|
|
|
|
1 4¯ |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
¡¯ |
2 1 |
¯ |
¯ |
|
|
|
¯ |
¯ |
1 1 |
|
¯ |
|
¡¯ |
|
1 2 |
¯ |
¯ |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|||||
|
|
@ |
|
|
¯1 1 |
|
|
|
|
|
1 1¯ |
|
|
|
|
¯1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
¡ A |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Сформулируем правило¯ ¯расстановки¯ ¯ |
знаков¯ ¯ в присоединенной матрице. Элемен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ты, стоящие на главной диагонали, берутся со знаком плюс , а остальные знаки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
расставляются в шахматном порядке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4. Выписываем ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
¡1 |
|
¡2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
¡2 |
|
||||||||||
|
|
A |
¡1 |
|
= |
|
|
|
|
0¡2 |
|
|
2 ¡21 = 0 |
|
11 |
¡1 |
1 |
1: |
||||||||||||||||
|
|
|
¡ |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||
5. Проверяем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
1 |
|
|
|
0 ¡1A @¡2 |
0 |
2 |
A |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
¡ |
3 |
|
1 |
0 |
0 |
||||
|
|
|
¡1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
= 02 1 410 |
11 |
¡1 |
|
|
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|||||||||||||||||||||
AA |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= 0 |
|
1: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
@1 1 3A@¡2 |
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
A @0 0 1A |
Глава 2 Системы линейных уравнений
2.1 Основные понятия
Система из m линейных уравнений с n неизвестными имеет вид
8
> |
a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1; |
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
(2.1) |
|
> |
|
|
> |
|
|
<a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = b2;
>
>
>
:am1x1 + am2x2 + : : : + amnxn = bm:
Здесь через x1, x2, . . . , xn обозначены неизвестные числа. Величины aij è bi ïðåä- полагаются известными; при этом aij называют коэффициентами, а bi свободными
членами или правыми частями.
В случае, когда m = n, систему называют квадратной, а когда m 6= n, прямо-
угольной.
Решением системы (2.1) называют такую совокупность n чисел ®1, ®2, : : :, ®n,
которая при подстановке их в систему вместо x1, x2, : : :, xn превращает все уравнения в тождества.
Пример 18. Непосредственной подстановкой проверяется, что решением системы
(
x1 + x2 = 3; x1 + 2x2 = 5
являются числа x1 = 1 è x2 = 2.
Åñëè bi = 0 ïðè âñåõ i = 1; 2; : : : ; m, то систему называют однородной. Если хотя
áû îäèí bi отличен от нуля, то систему называют неоднородной. Однородная система всегда имеет нулевое решение.
> |
a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = 0; |
|
> |
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
> |
|
|
< |
|
+ a22x2 + : : : + a2nxn = 0; |
8a21x1 |
||
> |
|
|
> |
|
|
: |
|
+ an2x2 + : : : + annxn = 0: |
>an1x1 |
Если система имеет хотя бы одно решение, то ее называют совместной. Если же у системы нет решений, то несовместной.
December 6, 2011 Курбатов В.Г. |
16 |
Пример 19. Система (
x1 + x2 = 3; x1 + x2 = 5
несовместна, так как x1 + x2 не может одновременно равняться 3 и 5.
Если система имеет единственное решение, то ее называют определенной. Если у системы более одного решения, то неопределенной. Нетрудно убедиться, что система из примера 18 имеет единственное решение, т. е. является определенной.
Пример 20. Система
(
x1 + x2 = 3;
2x1 + 2x2 = 6
является неопределенной. Прямой подстановкой можно убедиться, что ее решениями являются (1; 2), (2; 1), (3; 0), : : :.
Матрицу |
|
0a21 |
|
a22 |
: : : a2n 1 |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
a11 |
|
a12 |
: : : a1n |
|
|
||
A = B . |
|
. ... . |
|
C; |
|
||||
|
|
Bam1 |
am2 : : : amnC |
|
|||||
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
называют матрицей (коэффициентов) системы. А |
|
|
|
||||||
D = |
0 |
a21 |
|
a22 |
: : : a2n |
¯ |
b2 |
1 |
|
|
a11 |
|
a12 : : : a1n |
¯ |
b1 |
|
|||
|
B . |
|
. |
... |
. |
¯ |
. |
C |
|
|
|
|
¯ |
||||||
|
B am1 |
am2 |
: : : amn |
¯ |
bm |
C |
|||
|
B |
|
|
|
|
|
¯ |
|
C |
|
@ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
расширенной матрицей системы. |
|
|
|
|
¯ |
|
|
Пример 21. Пусть для изготовления одного стула требуется 4 единицы древесины и 1 единица материи, а для изготовления одного кресла требуется 6 единиц древесины и 5 единиц материи. На складе имеется 106 единиц древесины и 51 единица материи. Какое количество x стульев и y кресел следует изготовить, чтобы полностью
израсходовать материалы? Эта задача сводится к решению системы
4x + 6y |
= 106; |
( x + 5y |
= 51: |
2.2 Метод Крамера
Рассмотрим квадратную систему из n уравнений с n неизвестными
|
a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1; |
|
8a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn = b2; |
(2.2) |
|
> |
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
> |
|
|
> |
|
|
< |
|
|
>
>
>
:an1x1 + an2x2 + : : : + annxn = bn:
December 6, 2011 Курбатов В.Г. |
17 |
Теорема 3. Для того чтобы квадратная система была определенной, т. е. имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы = jAj 6= 0. Åñëè = jAj 6=
0, то ее единственное решение можно вычислить по формуле
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xj = |
|
|
j |
|
; |
|
|
|
|
j = 1; 2; : : : ; n; |
|
|
|
(2.3) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ãäå j определитель, получаемый из |
|
|
|
заменой j-го столбца на столбец свободных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
членов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 3. Решить методом Крамера систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 3y = 9; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3x |
¡ |
y = 8: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Для рассматриваемой системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
¯3 |
|
|
¡ |
1¯ |
= ¡11; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
2 |
|
|
3 |
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
|
|
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
9 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
¯8 |
|
1¯ |
=¯¡33; |
|
¯ |
|
= ¯3 8¯ = ¡11: |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¡ |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
33 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
¯ |
2 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
¯, |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯ |
|
|
|
|
||||||
x = |
|
= ¡¡11 |
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ¡¡11 = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Задача 4. Решить систему методом Крамера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
x + y + z = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
82x + y + 4z = 5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< x + y + 3z = 6: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
= |
¯2 |
|
|
1 |
|
4¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯1 |
|
|
1 |
|
3¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Имеем |
|
¯2 1 4¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
¯5 1 4¯ |
|
|||||||||||||
|
|
|
= |
= 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
= 6; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
¯1 1 3¯ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯6 1 3¯ |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
2 |
1 |
1 |
¯ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
¯ |
|
2 |
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
1 |
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯1 |
1¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯1 |
2¯ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
2 = |
¯2 5 4¯ |
= 6; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
= |
¯2 1 5¯ |
= 4: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
¯1 6 3¯ |
|
¡ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯1 1 6¯ |
¡ |
||||||||||
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
Отсюда |
|
1 |
|
|
¯ |
, |
|
|
|
¯ |
2 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
¯ |
|
|
|
¯ |
|
|
|
x = |
|
= ¡3 y = |
|
|
|
|
|
= 3 |
|
z = |
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача 5. При каких значениях ¸ система уравнений |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x + ¸y = |
|
3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 2y = ¡1:
не является определенной?
December 6, 2011 Курбатов В.Г. |
18 |
Решение. В силу теоремы 3 система не является определенной, если jAj = 0. Вы- числяем:
Из уравнения 2 ¡ ¸ = 0, находим ¸ = 2. Значит, при ¸ = 2 система не является определенной.
2.3 Матричная запись системы линейных уравнений
Запишем неизвестные и свободные члены в виде столбцов (матриц размера n £ 1 è m £ 1, соответственно):
0
a11 a12
BBa21 a22
A = B
@am. 1 am. 2
|
1 |
0 |
1 |
|
: : : a1n |
|
x1 |
|
|
:.:. |
.: a2.n C |
; X = Bx.2C |
; B = |
|
: : : amnC |
BxnC |
|
||
|
C |
B |
C |
|
|
A |
@ |
A |
|
01
b1
BBb2 CC: B C @b.mA
Теорема 4. Система (2.1) эквивалентна равенству
A ¢ X = B;
называемому матричной формой записи системы линейных уравнений.
Доказательство. Вычисляем:
|
|
a11 |
a12 : : : a1n |
|
x1 |
1 |
|
|
||
|
|
0a21 |
a22 |
: : : a2n |
10x2 |
|
|
|||
|
|
AX = B . |
. |
... . |
|
CB |
. |
C |
= |
|
|
|
Bam1 |
am2 |
: : : amnCBxnC |
|
|
||||
|
|
B |
|
|
|
CB |
|
C |
|
|
|
|
@ |
|
|
|
A@ |
|
A |
1 |
|
|
|
a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn |
1 = |
|
b1 |
|
||||
= |
0 a21x1 + a22x2 + : : : + a2nxn |
0b2 |
= B: |
|||||||
|
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
|
B . |
C |
|
|||
|
Bam1x1 + am2x2 |
+ : : : + amnxnC |
BbmC |
|
||||||
|
B |
|
|
|
C |
B |
|
C |
|
|
|
@ |
|
|
|
A |
@ |
|
A |
|
Таким образом, приходим к равенству |
|
= 0b2 1 |
|
|||||
0 a21x1 |
+ a22x2 |
+ : : : + a2nxn 1 |
: |
|||||
|
a11x1 |
+ a12x2 |
+ : : : + a1nxn |
|
B |
b1 |
C |
|
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
. |
|
||||
Bam1x1 |
+ am2x2 |
+ : : : + amnxnC |
BbmC |
|
||||
B |
|
|
|
C |
B |
|
C |
|
@ |
|
|
|
A |
@ |
|
A |
|
В силу определения равенства матриц это равенство равносильно совпадению соответствующих элементов, что и представляет собой систему (2.1).
December 6, 2011 Курбатов В.Г.
2.4 Метод обратной матрицы
Рассмотрим квадратную систему из n уравнений с n неизвестными
> |
a11x1 + a12x2 + : : : + a1nxn = b1; |
|
> |
|
|
< |
|
+ a22x2 + : : : + a2nxn = b2; |
8a21x1 |
||
> |
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
|
> |
|
|
> |
|
|
: |
|
+ an2x2 + : : : + annxn = bn: |
>an1x1 |
19
(2.4)
В соответствии с Ÿ 2.3, запишем систему в виде A ¢ X = B.
Теорема 5. Пусть матрица A имеет обратную. Тогда решение уравнения A ¢ X = B
можно находить по формуле
X = A¡1B:
|
|
Вычисление решения по этой формуле называют методом обратной матрицы. |
|||||||||||||||||||
Доказательство. Умножим |
|
|
|
|
|
îáå |
|
|
|
части |
|
равенства |
|||||||||
A ¢ X = B íà A¡1 |
. Получим A¡1 ¢ A ¢ X = A¡1 ¢ B, или (поскольку A¡1 ¢ A = E) |
||||||||||||||||||||
E |
¢ |
X = A¡1B или (поскольку E |
¢ |
X = X) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = A¡1B: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 22. Рассмотрим систему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
> |
x + y + z = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
82x + y + 4z = 5; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
или в матричной записи |
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
< x + y + 3z = 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
02 1 410y |
1 |
= 051: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 1 |
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
Из примера 17 известно, что |
@1 1 3A@zA @6A |
|
|
|
|
||||||||||||||||
A |
|
|
= 0 |
11 |
¡ |
|
|
|
1 |
: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
¡ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
A |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
¡1 |
|
@¡2 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому |
|
¡ |
|
10 1 = 0 |
|
1¢ ¡ ¢ |
|
1¢ |
1 |
= 0 1: |
|||||||||||
|
|
0 1 = 0 |
1 |
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
x |
1 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
¢ 6 |
|
¡ 3 |
|
|
|
2 |
1 ¡2 |
|
|
|
|
|
2 |
¢ 2 + 1 ¢ 5 ¡ 2 |
|
||||||||||
|
|
@zA @¡2 |
0 |
2 |
A@6A @¡ |
2 |
¢ 2 + 0 ¢ 5 + |
2 |
¢ 6A @ |
2 A |
|||||||||||
|
|
y |
1 |
1 1 |
|
|
|
5 |
|
|
1 2 1 5 + 1 6 |
|
3 |
Иными словами, x = ¡3, y = 3, z = 2.