LekSe1-2-28o
.pdf§5. Определители
1. Каждой квадратной матрице А соответствует некоторое число A , называемое ее определителем
(определитель называют также детерминантом и обозначают через det A).
Если А имеет порядок n, то говорят, что
A – определитель n-го порядка
2. Определитель 2-го порядка вычисляется по формуле:
a11a12 a11a22 a12a21, (1) a21a22
а определитель 3-го порядка – по формуле:
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
||||
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
(2) |
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
a11a22a33 a13a21a32 a12a23a31 a13a22a31 a23a32a11 a33a12a2
Можно также говорить и об определителях
1-го порядка, если положить det(a11) = a11
3. Определитель (n – 1)-го порядка,
полученный вычеркиванием строки i и столбца j из определителя n-го порядка A ,
называют минором элемента аij и обозначают Мij
4. Алгебраическим дополнением элемента aij
называют величину
Aij=( 1)i+jMij
5. Для определителя порядка n справедлива
формула Лапласа разложения по первой строке
= A a11A11 a12A12 ... a1nA1n. (3)
6.Свойства определителей
1)Общий множитель элементов любой строки можно вынести за знак определителя.
2)Если все элементы строки i определителя представлены в виде суммы двух слагаемых,
то определитель равен сумме двух определителей 1 и 2,
в которых строка i состоит соответственно из первых или вторых слагаемых,
авсе остальные строки – те же, что и в определителе .
3)При перестановке любых двух строк определитель умножается на 1
4)Величина определителя не изменится, если
кодной из строк прибавить любую другую, умноженную на некоторое число
5)Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю
6)Определитель матрицы А равен нулю
тогда и только тогда, когда между ее строками существует линейная зависимость
7) Определитель произведения двух квадратных матриц одинакового размера
равен произведению их определителей: AB A B
8) Определитель матрицы А равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения:
A ai1Ai1 ai2Ai2 ... ainAin, (4)
где n – порядок матрицыA, 1 i n.
Формула (4) называется
формулой разложения определителя по i-ой строке
9) При транспонировании матрицы определитель не меняется, т.е. AТ A для любой квадратной матрицы А
.
10) Из свойства 9 следует, что перечисленные выше свойства 1–8 определителей сохраняются, если в формулировках “строки” заменить “столбцами”.
В частности,
11) |
|
A |
|
a1iA1i a2iA2i ... aniAni, |
(5) |
|
|
где А – квадратная матрица порядка n, 1 i n.
Формула (5) называется
формулой разложения определителя
по i-му столбцу
Применение определителей к решению систем линейных уравнений
7.Система линейных уравнений Ax b,
содержащая n уравнений с n неизвестными,
имеет единственное решение
втом и только том случае, когда A 0
8. Формулы Крамера
Пусть дана система n линейных уравнений |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с n неизвестными |
Ax b |
||||||||
Если |
|
A |
|
0, то единственное решение этой системы |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
вычисляется по формулам |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x1 |
|
|
A1 |
|
|
, x2 |
|
|
|
A2 |
|
|
, . . . , xn |
|
|
|
An |
|
|
, (6) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
A |
|
|
A |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Ai – матрица, полученная из матрицы А
заменой i-го столбца столбцом правых частей b
Замечание. Если A 0,
а один из определителей A1, A2 , ..., A n отличен от нуля, то система Ax b несовместна.
9.Однородная система n линейных уравнений
сn неизвестными
Ax 0,
имеет ненулевые решения
тогда и только тогда, когда
A 0