Математика _1 семестр 2012 для ПИ1
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−1 3 3 |
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8 |
25 |
5 |
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−5 −2 |
0 |
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8 |
12 10 |
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X = |
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3 −2 |
4 |
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−4 −8 |
−2 |
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4. Найдите собственные векторы матрицы C4 , если |
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8 |
10 |
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C = |
−5 |
−7 |
. |
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5. Дана начальная симплекс таблица задачи линейного программирования на минимум:
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x |
x |
x |
x |
x |
b |
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
i |
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x1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
5 |
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x |
0 |
1 |
0 |
−1 |
1 |
7 |
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2 |
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x3 |
0 |
0 |
1 |
1 |
−1 |
19 |
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z |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
4 |
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Решите задачу симплекс-методом.
6. |
Методом Лагранжа приведите к нормальному виду квадратичную |
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форму |
f (x , x , x ) =18x x |
+6x x |
+14x x |
−9x2 |
−34x2 |
− 21x2 . |
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1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
7. |
Найдите точку A', симметричную точке A(1;0;5) относительно |
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плоскости π : |
x + 2 y −4z −1 = 0 . |
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8. |
Дайте определение гиперболы. Выведите каноническое уравнение |
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гиперболы. |
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41
ОТВЕТЫ
Задачи для подготовки к экзамену (группа А)
1. (−4;5;1;−4) ; 2. (17;23;−2) ; 3. 8 ; 4. |
−33; 5. − |
13 |
; 6. |
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62; 7. а) 3; |
б) 2; |
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8. |
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18 |
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xG = 7aG |
+ 2aG |
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; |
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9. а) линейно зависима; б) линейно независима; 10. |
x = 2 , |
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1 |
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2 |
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1 |
5 |
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x |
= 6 ; |
11. |
|
а) |
x = 5 , |
|
y =13 ; |
б) |
|
x = − |
7 |
, |
y = − |
6 |
; |
|
в) |
|
|
x = y = z = 3 ; |
12. |
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1 |
5 |
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|
7 |
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|
|
7 |
|
|
|
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11 |
|
|
11 |
|
|
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Xбаз = (68;−8;0;0) ; |
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13. |
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Xбаз |
= (0;−6;33;0) ; |
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14. |
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|
X1 = (−5;−4;1;0) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
X2 = (−2;−4;0;1) ; 15. а) 3; б) 1; |
16. |
x = 3 , |
|
y = 4 , z = −5 ; |
|
|
17. |
x = 5 , |
y = −3 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = −3 ; |
|
18. |
а) |
3; |
|
б) |
|
4; |
в) |
2; |
г) |
2; д) |
2; |
е) |
|
|
3; |
19. |
− |
4 |
− 2 |
− 2 |
|
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|
; |
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− 2 |
−8 |
|
|||
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− 2 |
|
||||||
|
|
36 |
|
−18 0 |
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
9 |
|
2 |
|
|
|
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|
|
|
−7 |
−8 |
−13 |
|
|
|
|||||||||||||||
20. |
|
; |
|
|
|
21. |
|
|
|
а) |
|
|
; |
б) |
|
|
|
−6 |
−8 |
− 2 |
|
;в) |
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|
|
|
|
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|
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|
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|
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− |
24 − |
|
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|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
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|
−18 18 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
16 |
20 |
16 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||
11 10 23 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
− 2 |
−1 |
|
|
|
|
|
4 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
; г) |
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
; |
22. |
23. |
|
24. |
|
а) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||
|
9 |
−11 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
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|
0 4 |
|
|
|
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||||||||||||||||||
|
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|
|
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|
|
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− 2 |
|
|
|
−1 −1 |
|
|
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|
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|
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|
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|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
− |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|||||
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
35 |
|
10 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||
− |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
6 |
|
|
|
1 |
|
25. 36; 26. а) 54; б) 48; |
|
27. 64; |
28. |
29. |
||||||||||||||||||||||||||
|
; б) |
− 7 |
|
|
35 |
|
|
|
5 |
|
9 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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||||||
7 |
|
7 |
|
|
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||||||||||
|
|
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|
|
|
|
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|
7 |
|
|
35 |
|
|
|
5 |
|
|
|
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||||||
|
|
|
|
|
2π |
|
+i sin |
2π |
|
30. |
x {−4; 2 ± 2 3 i}; |
31. |
|
z |
3 |
|
=1; |
32. |
а) |
10; |
|
б) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z = 4 cos |
|
|
|
|
|
|
; |
|
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|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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||||
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 ; 33. а) |
2π |
; б) |
|
3π |
; в) |
π ; |
34. |
x2 −6x + 25 = 0 ; 35. а) |
|
λ = −4 , |
λ |
2 |
= 2 ; б) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
λ1 = −3 , λ2 =3 ; в) |
|
|
|
λ1 = 0 , λ2 =1; |
|
г) λ1 = −4 , λ2 = 4 , λ3 = 5; д) λ1 = −3 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
λ2 = −2 , |
λ3 = 4 ; е) |
|
|
λ1 = −2 , |
λ2 = 0, |
λ3 = 3; 36. |
λ1 =1, |
|
λ2 = −8 ; 37. |
λ1 = −1, |
42
|
|
|
|
2 5 |
|
|
9 |
|
|
|
2 2 |
|
−6 |
|
|
|
λ = 1 |
; 38. |
, |
; 39. |
A |
; 40. |
|
4 |
|
; 41. |
|||||||
A = |
|
f ( yG) = |
|
= |
|
|
|
|||||||||
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
−3 5 |
|
|
−1 |
|
|
|
−5 4 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−8;−5;8); 42. (− 4;−6;4); 43. а) 3; б) 2; в) 1; г) 1; |
44. а) 3; б) 1; в) 2; |
45. Да; |
46. Нет; 47. а) 60±; б) 45±; в) 30±; г) 90±; 48. (13;−17) ; 49. x −5y −55 = 0 |
; 50. |
|||||||
x −5y −106 = 0 ; 51. 7x +3y −84 = 0 ; 52.5x − 4 y −11 = 0 ; 53. x −9 y + 63 |
= 0 ; |
|||||||
54. а) 2; б) 2; |
55. |
4 ; 56. |
5 ; |
57. y |
= ± 2 x ; |
58. а) Гипербола; б) Эллипс; в) |
||
|
|
5 |
|
4 |
|
3 |
|
|
Парабола; 59. |
− 1 ; |
60. |
8 |
; |
61. 7; |
62. 3; |
63. 15x + 4 y − 25z +58 = 0 ; 64. |
|
|
6 |
|
9 |
|
|
|
|
|
6x − 2 y − 25z +115 = 0 ; |
65. x + 6 y + 4z + 22 = 0 ; 66. z −5 = 0 ; 67. (2;1;1) ; |
x ≥ 0
68. 5; 69. y ≥ −2 ;
x + y ≤ 0
|
−2 ≤ x ≤ 0 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
70. |
. 71. |
|
|
72. λ |
|
=5 , |
X |
|
=t |
|
3 |
|
, |
|||
|
|
|
|
. |
A |
A |
||||||||||
|
6 ≤ y ≤8 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x + x − x = 4 |
|
|
|
x +3x − x = 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
t > 0 . |
73. |
|
|
|
x1 +5x2 = 4 |
; |
б) |
|
x1 + x2 = 4 |
≥ 0 . |
||||||||
а) x |
≥ 0, x |
≥ 0, x ≥ 0 |
x ≥ 0, x ≥ 0, x |
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
Z =5x1 + x2 + 4 → max |
|
Z = x2 −4x1 + 4 → min |
|||||||||||||
|
|
|
3x + 2x ≥5 |
|
|
|
|
|
6x −5x ≥5 |
|
||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
≤ 6 |
|
||
74. |
а) |
|
2x3 − x2 |
|
≤ 2 |
|
; |
б) |
|
|
7x2 +3x3 |
. |
||||||
x ≥ 0, x |
|
|
≥ 0 |
|
|
x ≥ |
0, x ≥ 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
||
|
Z =8x2 −9x3 +10 → max |
|
Z =30 −40x2 −14x3 → min |
|||||||||||||||
|
|
|
y + y |
|
|
≥ 2 |
|
|
|
|
|
y1 + 4 y2 ≥5 |
|
|||||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
−4 y1 + y2 = −4 |
|
|
|
|
|
+ y2 |
≤5 |
|
||||||||
75. |
а) |
|
3y +10 y |
|
≤1 |
; |
|
б) |
|
y1 |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
y ≥ |
0 |
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y ≤ 0, y |
2 |
|
≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
T =5y1 + 4 y2 −1 → max |
||||||
|
T =8y1 +3y2 −3 → min |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
76. Zmax = −68 , |
Xmax = (4;0;15;5;0) . |
77. |
Zmin = −79 , |
Xmin = (0;10;15;0;9) . 78. |
||||||||||||||
Zmin = 2 ; 79. Zmax =18 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43
Задачи для подготовки к экзамену (группа Б)
G |
G |
G |
−c3 , |
G |
= −2c2 + 2c3 ; 2. |
a R , |
G |
a |
G |
1 |
G |
; |
3. |
α = 0, |
1. a1 |
= 2c1 |
−3c2 |
a2 |
m = − |
2 |
p − |
2 |
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β = −1, γ = −4 ; 4. λ =17 ; 5. a = 0 , a = 2; 6. α ≠ −3 ; 7. λ = 2 ; 8. m = −14 ;
9. а) |
m = −1; б) |
m = −6; |
|
10. а) |
|
X oб |
= (−3 −15x3 −5x4 ;−3 − 4x3 − x4 ; x3 ; x4 ) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
б) X oб = (−56 −59x4 ;29 + 28x4 ;−22 − 21x4 ; x4 ) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
||||||||||||||||||||
X oб |
= (1 +3x4 ;1 +5x4 ;−3 − 2x4 ; x4 ) ; |
|
11. m = −4; 12. a = −2 , a = 6 ; |
13. a ≠ 5 , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
a ≠ −4 ; |
14. |
λ ≠ 2 , λ ≠ −2; |
15. λ ≠ 2 , |
λ ≠ −2, |
|
λ ≠ 3, |
λ ≠ −3 ; |
|
16. |
λ = 3 , |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5xn − 4 yn |
|
2xn − 2 yn |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||
λ = −3 , λ =1, λ = −1; 17. |
|
|
|
; |
|
|
− |
2 |
|
− |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
|
n |
|
18. |
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10x |
+10 y |
− 4x |
+5y |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
19. |
|
|
а) |
8; |
|
б) |
72; |
|
в) −38 ; |
20. |
74 ; |
|
21. |
|
(1; |
|
|
4); |
|
|
22. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f = 25x |
2 − x 2 |
+(4x + 2x |
|
−5x )2 |
; |
|
23. |
|
a (6;+∞) |
|
; |
|
|
24. a (−∞;−40) ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
25. |
|
а) |
λ1 = 0,λ2 = λ3 = 2 ; |
б) λ1 =1,λ2 = 3,λ3 = 0 ; |
26. |
|
а) |
X = t |
|
3 |
|
|
|
≠ 0 ; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
,t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
2 |
+ µ |
2 |
≠ 0 ; |
|
|
27. |
|
m =16 , |
|
λ =1; |
|
|
28. |
|
|
|
а) |
||||||||||
|
|
X = λ |
|
+ µ |
, |
λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m (−∞;−11) (5;+∞) ; |
|
б) |
m = −11;m = 5; в) |
m (−11;5) ; |
29. |
m = −7 ; |
30. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
− |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
8 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||
|
31. aG1 = t(−1;0;1) , |
|
aG2 = t(−4;2;−4) , a3 = t(0;1;0),t ≠ 0 ; 32. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
9 |
|
; |
|
|
7 |
|
|
|
|
7 |
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
− |
5 |
|
|||
|
−17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
7 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44
|
|
|
2 |
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
7 |
|
|
7 |
|
|
|
|
18 19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
7 |
|
11 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
33. |
|
|
|
|
|
|
|
|
; 34. |
|
|
|
|
; |
35. H (4;3) ; 36. B(−1;2) ; 37. |
A |
− |
|
|
; |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
11 |
12 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
20 |
|||||
|
− |
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
38. |
|
′ |
104 |
; |
68 |
|
|
39. |
12; |
|
40. |
a = −15; |
41. |
a = 0,5 ; |
|
42. α = 3; |
43. |
|||||||||||||||
|
A |
41 |
41 |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
x2 |
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
||
m −1;− |
|
; |
|
;1 |
; |
44. |
a =1; |
|
45. |
|
|
+ |
|
=1; 46. |
|
+ |
|
|
=1; |
|
47. |
|||||||||||
6 |
6 |
|
64 |
|
16 |
9 |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 − y2 =1; 48.
49 9
A′(− 4;3;3); 52.
x2 − y2 =1; 49.
400 81
|
x = 2 |
|
|
|
|
|
z |
+ 4 |
; |
AM : |
|
|||
y −1 = |
|
|
|
|
|
8 |
|
||
|
|
|
|
69 |
|
1 |
|
41 |
′ 20 |
|
|
26 |
|
31 |
|
|
B |
;− |
|
|
; |
; |
50. A |
|
; |
|
; |
|
; 51. |
11 |
|
21 |
21 |
|||||||||
22 |
|
|
22 |
21 |
|
|
|
|||||
53. α = 0,8 ; 54. |
a = 3; 55. |
a ≠ −1, |
a ≠1, |
a ≠ 3 ; |
56. |
a = −1; 57. a =1; |
58. |
a = −4 ; 59. (3; 3), (12; 7), |
(7; |
13); |
60. |
||||||
(2;4;0;60;0), |
(11;8;60;0;0), |
(5;12;0;0;60). 61. а) zmin = z(2,4) =8; zmax = ∞; |
б) |
||||||||||
zmax = z(7,12) = −57; zmin = −∞; |
в) |
zmax = z(12,13) =37; zmin = z(7,5) =19 . 62. |
|||||||||||
Да. 63. |
zmin = z(0,5,16,0,4) = −26 . |
|
52 |
;− |
49 |
|
65. |
||||||
64. Tmax =15 , Ymax = |
33 |
33 |
;0 . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
41 |
; |
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Tmin = −23 , Ymin = − |
39 |
39 |
;0 . 66. a (1;+∞) , a = 2 . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Образцы экзаменационных билетов |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
|
m = −3 , |
|
|
|
|
|
(−54 −17a;34 +11a;−12 −5a;a) , |
|
где |
|
|
a R . |
|||||
|
|
y1 + y2 ≥5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
||||
|
|
3y1 + y2 =3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
|
|
, |
T =5y |
+7 y |
2 |
−2 → min |
3. |
|
|
2 |
2 |
. |
|||||
|
|
6 y1 +9 y2 ≤1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
3 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
||||||||||
|
y ≤ 0, |
y |
|
≥ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45
4. |
x = y = z = 4 . 5. Для |
C5 : 243, 1024; для C−1 : 1 |
, |
1 . |
6. |
|
|
|
6 |
3 |
|
||||||||
|
|
A' = |
3 |
−3 |
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
a = 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Размерность пространства решений равна 3. В качестве фундаменталь- |
||||||||||||||||||
ного набора |
решений |
можно |
взять, например, |
|
решения: (2;9;0;0) , |
||||||||||||||
(−14;0;9;0) , |
(−1;0;0;3) . |
2. |
a1 = −2cG1 −2cG2 +cG3 ; |
|
|
|
aG2 = −2cG1 +cG3 . |
||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
λA =3, X A |
=t |
3 |
, t > 0 . |
4. −15 . 5. x = 2; y =3. 6. |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
=1. 7. |
(3;3) , |
||||
|
9 |
2 |
4 |
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14;7), (9;12) .
Вариант 3
1.Размерность пространства решений равна 1. В качестве фундаментального набора решений можно взять, например, решение: (439;378;135;105) .
2.В качестве максимальной линейно-независимой подсистемы строк
можно взять, |
например, |
строки S1, S2 . Тогда S3 = S1 −2S2 ; |
S4 = −S1 + S2 . |
|||||||||
|
|
|
1 |
|
−7 |
1 |
11 |
|
|
|
|
|
3. −78 . 4. A |
−1 |
= |
|
|
7 |
5 |
−8 |
|
. 5. |
p (6,4; 0) . 6. A'(1;−2) . 7. |
(2;2;0;60;0) , |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
21 |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
3 |
−9 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12;7;60;0;0) , (8;11;0;0;60) .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
G |
|
|
|
G |
G |
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
5 |
−1 |
− |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. |
a3 = (17;−26;−1) ; |
|
x = |
5 a1 |
− |
|
a2 |
− |
|
|
a3 . |
2. |
X = |
|
|
9 |
|
|
|
3 |
. |
|||||||||
|
|
|
483 |
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
35 |
7 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54 |
2 |
18 |
|
|||||
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
a = 2 . 4. |
|
|
|
|
|
|
t ≠ 0 ; |
|
|
|
|
a2 =t(0;1;0) , t ≠ 0 ; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
λ1 = −1, |
a1 |
=t(−1;0;1) , |
|
λ2 =3, |
λ3 =1, |
|||||||||||||||||||||||||
G |
|
=t(−1;1;1) , |
t ≠ 0 . |
5. |
f |
= y |
2 + y |
2 − y 2 , |
где |
y |
= −5x |
+ 4x + x , |
||||||||||||||||||
a3 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|||||
y |
|
= 4x +5x , y =3x . |
6. a = −3 . 7. |
|
|
x2 |
|
|
y2 |
=1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
32 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
2 |
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
x2 −6x +13 = 0 . |
|
|
−4 |
|
|
1 |
Y |
|
3 |
−1 |
. 3. λ |
≠ ±2, λ |
≠ ±3. |
||||||||||||||||||||
2. X = |
|
|
|
, |
= |
−5 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
−5 |
|
−1 |
|
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
y +5 |
|
|
z −1 |
|
|||||||||||
4. |
m = 70 , |
λ =8 . |
5. |
p (−∞; −140) . |
6. |
|
AM : |
|
= |
= |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
zmax = z(13;4) =59, |
zmin = z(8;1) = 29 . |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
−5 |
|
|
|
−2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
4 |
|
||||
1. |
(7 +9t; −10 −9t; −4 −3t; t) , t R . 2. λ = −14. |
3. X = |
|
−2 2 |
|
−4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
|
|
+ |
|
2 |
|
λ |
2 |
+ |
µ |
2 |
≠ 0 . |
|
|
|
. 6. |
|
a |
= −6 . |
||||||||||||||
X = λ |
−1 |
µ |
, |
|
|
5. A' = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−7 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
T =9; |
Y |
|
= (32 ;−42 ;0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
max |
|
max |
23 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
5 |
G |
|
|
17 |
G |
|
|
35 |
G |
||||||
1. |
(0;2;−1;1) . |
|
2. |
a3 = (−21;17;12) ; |
|
x = |
|
|
a1 |
− |
|
|
|
a2 |
− |
|
|
a3 . |
||||||||||||||||
|
|
19 |
46 |
874 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
−2 |
|
−4 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
|
1 |
|
4 |
0 |
|
4. |
|
|
81, |
16. |
5. |
zmin = z(0;2;24;0;5) |
= −6 . |
||||||||||||||||||||
X = |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
f = −(3x −3x |
− x )2 −(5x −2x )2 |
−(4x )2 |
. 7. A'(2,6; |
3,2; |
−1,4) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
47
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
а) основная:
1.Математика в экономике: Учебник: В 3-х ч. Ч. 1/ А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2007.
2.Сборник задач по курсу «Математика в экономике». В 3-х ч. Ч.1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование: учеб. пособие / под ред. В.А. Бабайцева и В.Б. Гисина. – М.: Финансы и статистика; ИНФРА-М, 2010.
б) дополнительная:
3.Основы математики и ее приложения в экономическом образовании : Учебник / Красс М.С., Чупрынов Б.П. – 5-е изд., испр. И доп. – М.: Де-
ло, 2006.
4.Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. – 4. изд., испр. – М.: Дело, 2003.
5.Аналитическая геометрия: Учебник / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 7 изд., стереотип. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.
6.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, Физматлит,
2004.
7.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. –
М.: Наука, 2004.
48