linalgebra
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
||||||||
Примеры 6.9. Для n = 4 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E = 0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
, |
E4 |
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
, E1(4) = |
|
|
4 |
0 |
0 |
0 |
, |
||||
E2( 3) = 0 |
−3 |
0 |
0 |
(0) = 0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|||||||||||||||||
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||
0 0 |
0 1 |
|
|
|
|
0 |
0 0 0 |
|
|
|
|
0 0 |
1 |
|
||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
1 |
|
|
E12 |
0 0 |
0 1 |
|
E24 |
0 1 |
0 0 |
E14 |
= |
1 0 0 |
0 |
, |
|
||||||||||||||||
= 1 0 0 0 , |
|
= 0 0 0 1 , |
0 1 0 0 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
1 0 λ 0 |
|
|
|
|
|
|
1 0 0 0 |
|
|
|
|
|
1 0 0 |
0 |
|
|||||||||||
E13(λ) = |
0 0 0 |
1 |
|
E31(λ) = |
0 |
|
0 0 1 |
E43(λ) = |
0 0 |
λ |
1 |
|
||||||||||||||||
0 1 0 |
0 , |
|
0 |
|
1 0 0 , |
0 1 |
0 |
0 . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
λ 0 1 0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
Матрицы Ei(λ), Eij è Eij(λ) называют элементарными матрицами.
Лемма 6.10. Пусть A Matn×k. Тогда
•EA = A;
•Ei(λ)A = матрица A у которой i-я строка умножена на λ;
•EijA =матрица A у которой поменяли местами i-þ è j-ю строки;
•Eij(λ)A = матрица A у которой к i-й строке прибавили j-ю умноженную на λ.
Доказательство этой леммы несложно получить из определения умножения матриц. Грубо говоря, умножить матрицу A слева на элементарную матрицу это все равно, что
произвести над A соответствующие элементарные преобразования по строкам.
Фиксируем матрицу
и рассмотрим ее строки
A = |
.a.11. . . |
.. .. .. . .a.1.n. |
|
Matm×n |
|
am1 |
. . . amn |
|
a1 = (a11, . . . , a1n),
................... ,
am = (am1, . . . , amn)
как векторы из Rn. Рангом матрицы A называют размерность линейной оболочки ее строк и обозначают через rk(A). Таким образом,
rk(A) = dim a1, . . . , am .
Если матрица имеет главный ступенчатый вид, то базис линейной оболочки ее строк образуют строки, в которых находятся угловые элементы ступенек и, следовательно, ее ранг равен числу ступенек.
22 |
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
|
Доказательство. Пусть |
|
|
|
(1, k1), . . . , (m, km) |
(k1 < . . . < km) |
- места, на которых находятся угловые элементы матрицы. Обозначим через a1, . . . , am первые m строк матрицы.
Допустим, что существует нетривиальное соотношение линейной зависимости
λ1a1 + . . . + λnan = 0.
Пусть λj - первый по порядку не равный нулю коэффициент. Как нетрудно заметить,
kj-я координата вектора λ1a1 + . . . + λnan равна λj и, следовательно, λj = 0. Полученное противоречие доказывает, что строки a1, . . . , am линейно независимы.
Лемма 6.12. Пусть B Matk×m è A Matm×n. Тогда линейная оболочка строк матрицы BA содержится в линейной оболочке строк матрицы A и, следовательно,
rk(BA)6rk(A). |
|
Доказательство. Из правила умножения матриц следует, что строки матрицы |
BA ÿâ- |
ляются линейными комбинациями строк матрицы A откуда и следует утверждение лем- |
|
ìû. |
|
Лемма 6.13. При элементарных преобразованиях матрицы линейная оболочка ее строк не меняется и, следовательно, ее ранг не меняется.
Доказательство. Пусть над матрицей A произведено элементарное преобразование. По
лемме 6.10, это элементарное преобразование соответствует умножению слева на некоторую элементарную матрицу B. Обратное преобразование тоже будет элементарным и
оно соответствует умножению слева на некоторую элементарную матрицу B′. Нетрудно
заметить, что B′BA = A. Используя лемму 6.12 имеем: |
} |
|||||
{ |
матрицы A |
} |
= { |
матрицы B′(BA) |
||
линейная оболочка строк |
|
линейная оболочка строк |
} |
|||
{ |
матрицы BA |
} |
{ |
матрицы A |
||
|
линейная оболочка строк |
|
|
линейная оболочка строк |
||
откуда следует, что |
} = |
{ |
матрицы BA |
}. |
||
{ |
матрицы A |
|||||
линейная оболочка строк |
|
линейная оболочка строк |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим систему линейных уравнений |
|
|
|
|||
|
|
|
+ a1nxn = b1 . |
|
||
(6.5) |
a....................................11x1 |
+ . . . |
|
|||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + amnxn = bm |
|
|||
|
am1x1 |
|
|
A = |
.a.11. . |
. .. .. .. . .a.1.n. |
- матрица этой системы и |
|
am1 |
. . . amn |
(A |
b) = |
.a.11. . . |
. ...... . .a.1n. . . .b.1. |
| |
|
am1 |
. . . amn bm |
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
23 |
- расширенная матрица этой системы. Решим систему (6.5) методом Гаусса приведя расширенную матрицу (A|b) к главному степенчатому виду (A′|b′). Согласно лемме 6.13,
rk(A) = rk(A′) è rk(A|b) = rk(A′|b′).
Учитывая это получаем
система (6.5) имеет решение
последняя ступенька матрицы (A′|b′) имеет длину >2 ранг матрицы (A′|b′) равен рангу матрицы A′
ранг матрицы (A|b) равен рангу матрицы A.
Таким образом, мы доказана
Теорема 6.14 (Теорема Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений имеет решение тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы равен рангу ее расширенной матрицы.
Алгоритм для вычисления ранга матрицы. Рассмотрим матрицу A. Из лемм 6.11, 6.12 и 6.13 следует, что для нахождения ранга матрицы A ее нужно привести к главному ступенчатому виду; ранг матрицы A будет равен числу ступенек.
Пример 6.15. Для матрицы
найдем ее ранг. Сначала приводим A |
1 |
4 |
2 |
−1 |
|
7 |
8 |
|
|
A = |
2 |
−2 |
||
|
3 |
11 |
10 |
−3 |
к главному ступенчатому виду:
2 |
7 |
8 |
−2 |
из 2-ой строки вычитаем |
0 |
−1 |
4 |
0 |
|
||||
1-ю уможенную−→ íà 3 |
|||||||||||||
1 |
4 |
2 |
−1 |
|
1-ю уможенную на 2, |
1 |
|
4 |
2 |
−1 |
|
||
|
11 |
ê 1-îé |
|
|
|
|
|
−1 |
4 |
0 |
|
||
3 |
10 |
−3 |
|
|
|
|
0 |
|
|||||
|
|
|
строки прибавляем |
1 |
0 |
18 |
−1 |
|
|
|
|||
|
|
из 3-ой строки вычитаем 1-ю |
|
|
|
||||||||
|
|
2-ю уможенную на 4, |
0 −1 4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
−→ |
|
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
||
|
|
2-ю строку умножаем на -1 |
1 |
0 |
18 |
−1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
−→ |
0 1 −4 |
0 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
Следовательно, ранг матрицы A равен 2.
Замечание 6.16. Укажем без доказательства другие факты о рангах матриц.
(1) Ранги матрицы и транспонированной к ней матрицы совпадают. Другими словами,
rk(A) = rk(A ).
(2)Ранг матрицы по строкам равен ее рангу по столбцам.
(3)При элементарных преобразованиях по столбцам ранг матрицы не меняется.
(4)Ранг произведения матриц не превосходит ранга каждого множителя. Другими словами,
rk(BA)6min{rk(A), rk(B)}.
24 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
7. Обратная матрица
Пусть A Matn×n. Матрицу A называют невырожденной, если ее ранг равен n. Матрицу B Matn×n называют обратной к матрице A, åñëè
|
|
AB = BA = E, |
|
|
||
где E - единичная матрица размера n |
× |
n. Обратную к матрице A обозначают A−1. |
||||
Примеры 7.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
||
A = (−2), A−1 = (− |
|
), |
||||
2 |
||||||
|
(3 |
5) |
( 3 |
|
−1) |
|
A = |
1 |
2 , A−1 = −5 2 . |
Алгоритм для нахождения обратных к невырожденным матрицам. Пусть
A Matn×n - невырожденная матрица. Сначала выписываем матрицу
(A E) = |
a11 |
a12 |
. . . |
a1n |
1 |
0 |
. . . |
0 |
a21 |
a22 |
. . . |
a2n |
0 |
1 |
. . . |
0 . |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
a. .m.1. . .a.m.2. . ....... . .a.mn. . |
0. . . .0. . .. .. .. . .1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем элементарными преобразованиями приводим эту матрицу к главному ступенчатому виду. Из невырожденности матрицы A следует, что при этом получится матрица
|
|
|
1 0 . . . 0 b11 |
|
b12 . . . |
b1n |
. |
|||||
(E B) = |
0 1 . . . 0 |
b21 |
|
b22 . . . b2n |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
0. . . .0. . .. .. .. . .1. |
b. m. .1. . b.m. .2. . .. .. .. . .b.mn. . |
|||||||||
Матрица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b11 |
b12 |
. . . b1n |
|
|
||||
|
|
B = |
b21 |
b22 |
. . . b2n |
|
|
|||||
и будет обратной к матрице A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
b. m. .1. . b.m. .2. . .. .. .. . .b.mn. . |
|
|
||||||
Несложно доказать, что найденная по указанному выше алгоритму матрица B äåé- |
||||||||||||
ствительно будет обратной к A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Примеры 7.2. Найдем A−1, ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Сначала выписываем матрицу |
|
|
A = (3 |
4). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
(A |
| E) = (3 4 0 1). |
|
|
|||||||
Далее элементарными преобразованиями приводим матрицу (A | E) к главному ступен- |
||||||||||||
чатому виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 1 0 |
из 2-ой строки вычитаем |
|
1 1 |
1 |
0 |
|||||||
|
1-ю уможенную на 3 |
|
|
|||||||||
(3 4 0 1) |
|
|
−→ |
|
|
|
(0 1 −1 1) |
()
из 1-ой строки вычитаем 2-ю |
1 |
0 |
2 |
−1 |
= (E |
| |
B). |
|
−→ |
0 |
1 |
− |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
25 |
||
Получаем |
(−1 |
1 ) |
|
|
|
||
A−1 = B = |
2 |
−1 . |
|
Нетрудно доказать, что для вырожденных матриц обратных матриц не существует.
Например, для вырожденнной матрицы |
(−4 |
2 |
) |
|
|||
A = |
2 |
−1 |
|
не существует обратной матрицы.
Теорема 7.3. Пусть A, B Matn×n - невырожденные матрицы. Тогда
(1)(A )−1 = (A−1) ;
(2)(A−1)−1 = A;
(3)(AB)−1 = B−1A−1.
8.Определители и их свойства
Óвсякой квадратной матрицы A существует определитель, который обозначают через |A| èëè det(A). У неквадратных матриц определитель не существует. В этом параграфе
мы без доказательств укажем некоторые факты об определителях которые необходимы
для их вычисления и некоторые приложения определителей.
Формулы для вычисления определителей квадратных матриц небольших размеров.
|a11| = a11,
a11
a21
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= a11a22 − a12a21, |
|||
a22 |
|
|||||
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
a22 |
a23 |
|
= |
a21 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a32 |
a33 |
|
|
a31 |
|
|
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31.
Примеры 8.1.
|0| = 0, |
|5| = 5, |
|
| − 1| = −1. |
||||||
− |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 5 · 4 − 7 · (−1) = 27. |
|||||
|
51 4 |
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
4 |
3 |
7 |
= |
||
|
|
|
|
0 |
−2 |
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 · (−3) · 1 + 1 · 7 · 0 + 3 · 4 · (−2) − 2 · 7 · (−2) − 1 · 4 · 1 − 3 · (−3) · 0 = −6.
Формулы разложения по строке и по столбцу. |
Пусть |
||
A = |
.a.11. . . .. .. .. . .a.1.n. |
|
|
квадратная матрица произвольного |
|
. |
|
|
an1 |
. . . ann |
|
размера n × n
26 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Для разложения определителя |A| по строке выбираем любую, скажем i-ю строку и
тогда |
.a.11. . . |
.. .. .. . .a.1.n. |
:= ( |
|
1)i+1ai1Mi1 + ( 1)i+2ai2Mi2 + . . . + ( |
|
1)i+nainMin, |
||||
ãäå |
|
|
|
|
|
|
|
|
вычеркиванием -ой строки |
||
|
- определитель |
матрицы, полученной из матрицы |
|
||||||||
|
|
an1 |
. . . ann |
|
− |
− |
|
|
− |
|
|
è j-го столбца. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Mij |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
i |
Для разложения определителя |A| по столбцу выбираем любой, скажем i-й столбец и тогда
|
.. |
.. |
|
:= ( 1)1+ja1jM1j + ( 1)2+ja2jM2j + . . . + ( 1)n+janjMnj. |
||
.a.11. . . |
.. . .a.1.n. |
|||||
|
|
|
|
− |
− |
− |
an1 |
. . . ann |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По сути эти формулы индуктивны: они сводят вычисление определителя матрицы размера n × n к вычислению определителей матриц размера (n − 1) × (n − 1).
Пример 8.2.
0 |
|
|
2 |
1 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
0 |
0 |
−2 |
|
разлагаем по |
− |
|
|
− |
|
|
4 |
3 |
7 |
|
разлагаем по |
||||||||||||
|
− |
|
7 |
|
|
|
|
1-îé = |
|
|
1)1+4( |
2) |
0 |
4 |
|
7 |
= |
|
||||||||||||
4 |
−3 |
−3 |
|
|
( |
|
|
0 |
−2 |
1 |
|
|
||||||||||||||||||
0 |
|
4 |
|
|
7 |
|
|
|
1 |
|
|
строке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-ой строке |
||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вычисляем определители |
матриц |
||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
4 |
|
7 |
|
|
− |
|
|
|
4 3 |
|
|
|
размера 2 |
|
2 по формуле |
||||||
( − |
|
|
|
|
0 −7 |
|
|
|
0 4 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 ( |
|
1)2+2( |
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
+ ( |
|
1)2+3 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
×= |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2((−2)(−28) + (−1)16) = 80.
Определители матриц специального вида.
Определитель матрицы имеющей нулевую строку или нулевой столбец равен нулю. Определитель матрицы имеющей степенчатый вид равен произведению диагональных элементов.
Пример 8.3.
|
|
|
|
3 |
−1 |
7 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
6 |
|
4 |
− |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
= 0, |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
|||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
11 |
|
1 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
= 0, |
|
||
|
2 |
0 |
0 |
|
7 |
3 |
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
7 |
|
|
− |
|
· |
· − |
|||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
1 |
= 2(˙ |
|
|
3) 1 ( 1) = 6. |
||||||||
0 |
−3 7 |
|
−3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения определителя матрицы производим над ней элементарные преобразования по строкам и столбцам. При этом учитываем следующие правила изменения определителя матрицы при этих преобразованиях.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
27 |
•При умножении строки (столбца) матрицы на λ определитель умножается на λ.
•При перестановке местами строк (столбцов) матрицы определитель меняет знак.
•При прибавлении к строке (столбцу) матрицы другой строки (столбца), умноженной на λ, определитель не меняется.
Цель таких преобразований - упростить матрицу так, чтобы можно было найти ее определитель. Например, если привести матрицу к ступенчатому виду, то ее определитель будет равен произведению диагональных элементов.
Пример 8.4. |
4 3 7 |
|
|
|
|
|
0 5 1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= |
|
|
3-þ |
= |
|||||||||||
|
0 |
−2 1 |
из 2-ой строки вычитаем |
0 |
−2 1 |
|
из 2-ой строки вычитаем |
|||||||||||
|
|
2 |
1 |
3 |
|
2 |
1 3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1-ю уможенную на 2 |
|
|
|
|
уможенную на 2 |
||||||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
из 3-ей строки вычитаем |
|
2 |
1 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
0 |
1 −1 |
2-þ |
= |
|
|
0 −1 −1 |
||||||||
|
|
|
|
0 |
−2 1 |
|
|
|
|
|
|
0 0 |
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уможенную на 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получили определитель матрицы имеющей ступенчатый вид. Этот определитель равен произведению диагональных элементов, то есть равен 2(−1)3 = −6.
Теорема 8.5. Определитель матрицы не равен нулю тогда и только тогда, когда она невырождена.
Теорема 8.6. Определитель произведения матриц равен произведению их определителей:
|AB| = |A||B|.
Теорема 8.7. Пусть A - квадратная матрица для которой существует обратная A−1.
Тогда
|A−1| = |A|−1.
Теорема 8.8. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы:
|
|
|
|
|
|
|A | = |A|. |
|
|
|
|
|
Укажем некоторые приложения определителей. |
|
|
|
|
|||||||
I. Формула для вычисления обратной матрицы. |
|
|
|
|
|||||||
Пусть |
|
|
|
|
|
.a.11. . . .. .. .. . .a.1.n. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
A = |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
an1 |
. . . ann |
|
|
|
|
- квадратная невырожденная матрица. Тогда |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
M11 |
M12 |
M13 |
M14 . . . |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
−M21 |
−M22 |
−M23 |
−M24 |
. . . |
|
||
A− |
|
|
|
|
M31 |
M32 |
M33 |
M34 . . . |
|
, |
|
|
| | |
||||||||||
|
= |
A |
|
|
|||||||
|
|
|
M41 |
−M42 |
M43 |
−M44 |
. . . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−. . . . . . . . . . . . . . . .−. . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
ãäå Mij - определитель матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.
28 ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Эта формула часто используется для матриц размера 2 |
× 2. В этом случае |
|||
a b |
−1 |
1 |
d −b |
|
= |
|
|
||
(c d) |
|
|
||
|
ad − bc (−c a ) |
II. Критерий единственности решения системы линейных уравнений.
Теорема 8.9. Система из n линейных уравнений от n переменных имеет единственное
решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы не равен нулю.
III. Формулы Крамера.
Рассмотрим систему линейных уравнений
|
|
+ + a1nxn = b1 . |
(8.1) |
a....................................11x1 |
|
Пусть |
|
|
|
|
+ + annxn = bn |
|
an1x1 |
A = |
.a.11. . . .. .. .. . .a.1.n. |
|
|
||
- матрица этой системы, |
|
an1 |
. . . ann |
|
|
(A | b) = |
.a.11. . . .. .. .. . .a.1.n. . .b.1. |
|
|
||
|
|
an1 . . . ann bn |
|
|
|
- расширенная матрица этой системы. |
Предположим, что определитель |
|
не равен нулю. |
||
|
|
|
|A| |
|
|
|
|
|
|
|
Это означает, что система (8.1) имеет единственное решение. В этом случае имеются явные формулы для нахождения этого единственного решения. А именно:
1 |
|
|
.b1. . . |
a. 12. . . |
.a.13. . . |
...... . .a.1.n. |
|
|
|
A |
|
|
|
a23 |
. . . a2n |
|
, |
x = |
1 |
b2 a22 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
an3 |
|
|
|
|
bn an2 |
. . . ann |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
a.11. . |
.b.1. . . |
a.13. . . . |
..... . .a.1.n. |
|
|
|
A |
|
|
|
a23 |
. . . a2n |
|
, |
x = |
1 |
a21 b2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
an3 |
|
|
|
|
an1 bn |
. . . ann |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.......................................... |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
. |
a.11. . |
.a. 12. . . |
.a.13. . . |
....... .b.1. |
|
|
|
A |
|
|
|
a23 |
. . . b2 |
|
|
x = 1 |
a21 a22 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| | |
|
|
|
an3 |
|
|
|
|
an1 an2 |
. . . bn |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8.10. Рассмотрим систему линейных уравнений
{
2x1 + 7x2 = 1 x1 + 5x2 = 7
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
29 |
По формулам Крамера находим решение: |
5) |
||||||||
|
|
|
|
A = |
(1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
7 |
|
|
1 |
1 |
|
|
44 |
||||
x1 = |
|
7 |
= |
||||||
3 |
7 5 |
−3 |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |A| = 3, |
|
|
|
|
|||
1 |
|
2 |
1 |
|
13 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 = |
3 |
1 |
7 |
= |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Комплексные числа
Определим комплексную плоскость C как плоскость с фиксированным ортонормированным базисом 1, i
i |
C |
6 |
-1
0
Точки комплексной плоскости C называют комплексными числами. Таким образом,
0, 1, i, 1 + i, 21 − 3i, . . .
- комплексные числа. При записи комплексных чисел используют естественные сокращения. Например:
0 = 0, 1 = 1, 21 − 3i = 2 − 3i.
Таким образом, всякое комплексное число можно записать в виде a + bi,
ãäå a, b - действительные числа.
Над комплексными числами определены четыре арифметических действия, причем для этих действий выполнены свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивно-
ñòè.
Сложение и вычитание.
(a + bi) ± (a′ + b′i) = (a ± a′) + (b ± b′)i
Другими словами, складываем и вычитаем комплексные числа как векторы.
Пример 9.1.
(0) + (−2 + 3i) = −2 + 3i, (1 + i) + (3 − 2i) = 4 − i, (−i) + (i) = 0.
Умножение.
(a + bi) · (a′ + b′i) = (aa′ − bb′) + (ab′ + a′b)i
Другими словами, умножаем раскрывая скобки и при этом учитываем, что i2 = −1.
Пример 9.2.
(−1 + 2i) · (3 − 4i) = −3 + 4i + 6i − 8i2 = 5 + 10i.
Деление. |
|
|
aa′ + bb′ |
|
−ab′ + a′b |
|
|
a + bi |
= |
+ |
i |
||
|
a′ + b′i |
a′2 + b′2 |
a′2 + b′2 |
|||
|
|
|
|
На практике лучше делить комплексное число (a + bi) íà a′ + b′i умножая числитель и знаменатель на a′ − b′i.
30 |
|
|
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА |
|
|
|
|
|
|
||
Пример 9.3. |
1 + i |
|
(1 + i)(3 + 2i) |
|
1 + 5i |
|
1 |
|
5 |
|
|
|
= |
= |
= |
+ |
i. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 − 2i |
(3 − 2i)(3 + 2i) |
13 |
|
13 |
13 |
Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных:
R C.
Комплексное число вида a = a + 0i называется вещественным, а число вида bi = 0 + bi называется мнимым. Сопряженным комплексному числу z = a + bi называют a − bi и обозначают через z.
Пример 9.4. Числа
0, 1, −3, π
- вещественные;
i, −i, 10i, πi
- мнимые;
1 + i, 3 − i, 1 + 0.000001i, e + πi
не являются ни вещественными, ни мнимыми.
Лемма 9.5.
(z) = z;
z ± w = z ± w;
z · w = z · w;
( z ) = z . w w
Лемма 9.6. Пусть z - комплексное число. Тогда
(1)z = z z - вещественное;
(2)z = −z z - мнимое;
(3)zz является вещественным неотрицательным числом, причем zz = 0 тогда и только тогда, когда z = 0.
Пусть z = a + bi - комплексное число. Определим модуль числа z êàê
√ |
|
|
|
|
|
|z| = |
a2 + b2. |
||||
Нетрудно заметить, что |
√ |
|
|
|
|
|z| = |
|
|
|
|
|
|
zz. |
|
Äëÿ z ≠ 0 определим главный аргумент arg(z) [0, 2π) числа z как как угол на который повернется вектор (0, z), если его вращать по часовой стрелке пока он не совпадет по направлению с вектором (0, 1):
|
i |
|
|
|
|
|
6 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arg(z) |
|
1 |
|
0 |
|
|
- |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Äëÿ z ≠ 0 определим аргумент Arg(z) комплексного числа z как множество углов вида
Arg(z) = arg(z) + 2πk, k Z.