Материалы к зачету 2012
.pdf10
6.На сколько процентов изменился валовой выпуск каждой отрасли в следующем году
по сравнению с прошедшим? Запишите вектор процентного изменения валового выпуска
−→
%x.
7.В прошедшем году вектор норм добавленной стоимости был равен ~v = (4, 4)T . Найдите равновесные цены продукции каждой отрасли в прошедшем году. Запишите вектор равновесных цен p~.
2.Решите транспортную задачу:
|
50 |
70 |
30 |
130 |
|
|
|
|
|
30 |
4 |
14 |
11 |
18 |
|
|
|
|
|
130 |
3 |
17 |
1 |
10 |
|
|
|
|
|
120 |
9 |
16 |
11 |
18 |
|
|
|
|
|
3. Рассматривается задача линейного программирования, в которой целевая функция исследуется на максимум. Является ли симплекс-таблица
Б.П. |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
С.Ч. |
|
|
|
|
|
|
x3 |
5 |
−2 |
1 |
0 |
3 |
x4 |
−1 |
3 |
0 |
1 |
4 |
f |
0 |
3 |
0 |
0 |
10 |
|
|
|
|
|
|
окончательной? Ответ должен быть объяснен; в случае положительного ответа (таблица окончательная) запишите ответ к исходной задаче, т.е. либо укажите решение с указанием факта его единственности или неединственности, либо сделайте вывод о неразрешимости задачи.
4. Решите задачу линейного программирования графическим методом:
f = −x1 − x4 + 5 → min(max),
x1 + 2x2 + x3 = 10, |
|||
|
|
|
|
|
|
− |
x4 = 2, |
x1 + x2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 − x2 + x5 = 5, |
||
|
|
|
|
~x > 0;
5.Задача линейного программирования
f = −2x1 − 5x2 − 2 → max,
|
8x1 − 5x2 > 9, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x1 |
− |
8x2 |
6 |
− |
9, |
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x1 + 3x2 6 57, |
||||||||
|
|
1 > |
0, |
x |
2 |
> |
0, |
||
x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет решение fmax = −23, Xmin = (3; 3). Составьте двойственную задачу и найдите ее решение, используя теоремы двойственности.
11
6.Решите задачу линейного программирования симплекс-методом:
f = −5x4 − 7x5 − 1 → min,
x + x + x
1 4 5
x2 − x4 + x5
x + x − x
3 4 5
~x > 0.
=2,
=7,
=17,
12
Ответы
1. а) λA = 6, ~xA = c(0, 12, 6)T ; б) λB = 15, ~xB = c(1, 1, 1)T ; в) λC = 15, ~xC = c(49, 64, 62)T . |
; |
|||||||||||||||||||
2. ~x = |
15 |
; A = |
|
0.429 |
0.333 |
; H = |
1.32 |
2.43 |
; d~0 |
= |
2.0 |
; ~x 0 |
= |
12.3 |
||||||
|
|
14 |
|
|
|
0.214 |
0.467 |
|
|
2.06 |
1.44 |
|
|
5.6 |
|
|
14.4 |
|
||
%x = |
−18.2 ; p~ = |
15.5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
−→ |
2.94 |
|
|
13.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. d~ = |
5 |
; A = |
0.545 |
0.214 |
; H = |
1.45 |
1.93 |
, d~0 |
= |
1.5 |
; ~x 0 |
= |
7.68 |
; |
||||||
|
|
3 |
|
|
|
0.273 |
0.357 |
|
|
2.09 |
0.948 |
|
|
3.3 |
|
|
8.31 |
|
||
%x = |
−45.2 ; p~ = |
12.5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
−→ |
−24.5 |
|
|
13.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Если x (кг) — масса яблок, а y (кг) — масса апельсинов, то
f(x, y) = 25x + 45y → min,
2x + 23y > 2,
73x + 91y > 73,
x > 0, y > 0.
5. Если x и y — количество изделий первого и второго вида соответственно, то
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f = 30x + 20y → max, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 4y 6 100, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 6 x 6 40, 0 6 y 6 20. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Введение балансовых переменных x3, x4, x5 приводит задачи к следующему виду: |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
f(~x) = 5x1 + x2 + 4 → max, |
|
|
f(~x) = 3x1 − 5x2 + 1 → min, |
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
+ x |
3 |
= 6, |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
+ x |
3 |
= 15, |
|||||||
|
x |
|
+ x |
|
|
|
|
|
3x |
+ 5x |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
− |
2x2 |
− |
x4 = |
− |
2, |
б) |
|
2x1 |
− |
3x2 |
+ x4 = |
− |
2, |
||||||||
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 − x2 + x5 = 2, |
|
|
|
|
5x1 − 2x2 − x5 = 2, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
i |
> |
0, |
|
i |
= 1, . . . , 5; |
|
|
|
i > |
0, |
i = 1, . . . , 5. |
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. В задаче а) базисные переменные x3 и x4; в задаче б) базисные переменные x1 и x2
выражаются при помощи алгоритма Гаусса: |
f(~x) = −2x3 − 3x4 + 8 → min, |
|||||||||
|
f(~x) = 7x1 + 11x2 − 32 → max, |
|||||||||
а) |
x1 + x2 |
6 6, |
б) |
x3 + x4 6 3, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 > − |
|
|
|
|
4 6 |
|
|
|
1 − |
|
|
|
3 |
|
|
||
|
x |
|
2x |
|
2, |
|
2x |
+ 3x |
|
5, |
|
x1 > 0, x2 > 0; |
x3 > 0, x4 > 0. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. fmin = 2 = f(X1).
9. fmax = 18 = f(X2).
10. а) fmin = f(2; 4) = 8; fmax = ∞; б) fmin = −∞; fmax = f(7; 12) = −57; в) fmin = f(7; 5) =
19; fmax = f(12; 13) = 37. |
|
11. а) fmin = f(4; 3; 0; 5; 0) = |
−4; fmax = f(0; 2; 6; 0; 7) = 5; б) fmin = f(X ) = 16, где |
X = (6 + 2t; t; 3 − 3t; 0), 0 6 t 6 1; |
fmax = f(0; 9; 0; 12) = 40. |
12. fmin = f(0; 5; 19; 0; 2) = −15. |
|
13
13.
|
|
|
|
g y1 + 3y2 − 3 → min, |
|
|
|
|
g = 5y1 + 4y2 − 1 → max, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
1= 8 |
2 > |
2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+ y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 + 4y2 > 5, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
− |
|
4y1 + y2 = |
− |
4, |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
+ y |
|
|
5, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
3y1 + 10y2 6 1, |
|
|
|
|
|
y1 > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
6 |
0, |
|
|
y |
2 > |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. gmax = g |
33 |
; −33; 0 |
= 15. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
52 |
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
15. gmin = g |
−39; |
|
39; 0 |
= −23. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
41 |
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
16. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g = 3x1 + 4x2 + 25 → max, |
|
g = 3x1 + 4x2 + 25 → max, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x1 |
+ x2 6 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 + x2 + x3 = 5, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
1 |
− |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
1 − |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
6x |
|
|
|
|
|
9x |
|
|
|
6, |
|
|
|
|
|
|
6x |
|
|
9x |
+ x |
|
= 6, |
|
|
|
|||||||
|
|
x1 |
> 0, x2 > 0; |
|
|
|
|
|
|
x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б.П. |
x1 |
|
|
|
|
x2 |
|
x3 |
|
x4 |
С.Ч. |
|
|
|
Б.П. |
x1 |
x2 |
|
x3 x4 |
С.Ч. |
|
|
|||||||||||||||
|
x3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 1 0 |
5 |
|
|
|
x2 |
|
1 1 1 0 |
5 |
|
||||||||||||||||||
|
|
x4 |
|
|
−6 −9 0 1 |
6 |
|
, |
|
|
x4 |
|
3 0 9 1 |
51 |
|
, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
|
|
− |
4 |
|
|
0 |
|
0 |
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
4 0 |
45 |
|
|
|||||
Ц.Ф. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ц.Ф. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gmax (0, 5, 0, 51) = fmin (4, 0) = 45. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
17. X = |
40 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
, |
F (X ) = 3450. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
90 |
|
|
0 |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
100 |
0 |
|
|
50 |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 1
1. Для каждого возможного варианта разреза прутьев укажем количество получающихся заготовок и отходов:
|
|
|
|
|
|
|
f = 20x1 + 30x2 + 5x3 → min, |
|||||||
|
Вариант |
|
45 см |
35 см |
Отходы |
Кол-во |
||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
0 |
20 |
x1 |
|
2x1 + x2 > 40, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
1 |
30 |
x2 |
|
2 |
|
3 > |
|
|
|
|
3 |
|
|
0 |
3 |
5 |
x3 |
x |
+ 3x |
|
30, |
||
|
|
|
|
xi > 0, |
i = 1, 2, 3. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. X = |
60 |
0 |
0 |
0 |
, F (X ) = 2530. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
0 |
50 |
0 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30 |
0 |
100 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ к задачам 3.–6.: |
|
|
|
|
|
g = 3x1 + 4x2 + 25 → max, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
g = 3x1 + 4x2 + 25 → max, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x1 |
+ x2 6 5, |
|
|
|
x1 + x2 + x3 = 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
1 |
− |
|
|
|
|
|
− |
|
1 − |
|
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
6x |
|
|
9x |
|
6, |
|
|
|
|
6x |
|
9x |
|
+ x |
|
= 6, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x1 |
> 0, x2 > 0; |
|
|
|
x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, x4 > 0; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б.П. |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 С.Ч. |
|
|
Б.П. |
x1 |
|
x2 |
|
x3 |
x4 |
С.Ч. |
|
|
|
|
|||||||||
|
x3 |
|
1 |
|
1 1 0 |
5 |
|
|
x2 |
1 1 1 0 |
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x4 |
|
−6 −9 0 1 |
6 |
, |
|
|
x4 |
3 0 9 1 |
51 |
|
|
, |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
− |
3 |
− |
4 |
0 |
0 |
25 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
4 |
0 |
45 |
|
|
|
|
|
||
|
Ц.Ф. |
|
|
|
|
Ц.Ф. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
gmax (0, 5, 0, 51) = fmin (4, 0) = 45. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВАРИАНТ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
14 |
|
|
|
|
|
0.214 0.467 |
; |
|
2.06 1.44 |
|
|
|
|
5.6 |
; |
|
|
= |
14.4 |
; |
||||||||
1. ~x = 15 ; A = |
0.429 |
0.333 |
H = |
1.32 |
2.43 ; d~0 |
= 2.0 |
~x 0 |
12.3 |
|||||||||||||||||||||
−→ |
2.94 |
|
|
|
|
|
13.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
%x = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
−18.2 ; p~ = |
15.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
= |
30 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. X |
0 |
0 |
30 |
100 , F (X ) = 2990. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
20 |
70 |
0 |
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Данная таблица — окончательная, потому что в строке оценок задачи на максимум отсутствуют отрицательные оценки. Решение рассматриваемой задачи линейного программирования имеет вид fmax = f(0; 0; 3; 4) = 10. Поскольку нулевая оценка присутствует в небазисном столбце (столбец x1), решение задачи не единственно.
4. fmin = f(4; 3; 0; 5; 0) = −4; fmax = f(0; 2; 6; 0; 7) = 5.
41 |
|
50 |
; 0 = −23. |
||
5. Решение двойственной задачи gmin = g − |
|
; |
|
|
|
39 |
39 |
6. fmin = f(0; 5; 19; 0; 2) = −15.