Функциональный(конспекты и вопросы в конце)
.pdf
|
|
4.4. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА |
|
|
|
|
61 |
||||
Теорема 4.4.21. Пространство L1(X, µ) с функцией расстояния (4.4.3) является мет- |
|||||||||||
рическим пространством. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Фиксируем параметр |
p [1, ∞] |
и определим |
|
p-пространство |
p |
|
(ïðè |
|
ïðî- |
||
p |
|
1 |
(X, µ)). |
L |
|
L |
(X, µ) |
|
p = 1 |
|
|
странство L |
(X, µ) будет совпадать с L |
|
|
|
|
|
|
|
Äëÿ p ≠ ∞ положим
Lp(X, µ) := {f | f измерима и |f|p L1(X, µ)}.
Äëÿ p = ∞ определим L∞(X, µ) как множество измеримых существенно ограниченных функ-
öèé íà X (функцию f на пространстве X с мерой µ называют существенно ограниченной, если существует константа C = C(f) такая, что |f(x)| 6 C почти всюду).
Лемма 4.4.22. Для любых f1, f2 Lp(X, µ) è c1, c2 R имеем c1f1 + c2f2 Lp(X, µ),
в частности, Lp(X, µ) является векторным пространством.
Из леммы 4.4.15 следует, что
N(X, µ) Lp(X, µ)
и мы полагаем
Lp(X, µ) := Lp(X, µ)/N(X, µ).
По построению, Lp(X, µ) является вещественным векторным пространством.
Определим функцию расстояния dp между элементами пространства Lp(X, µ) следующим
образом: |
|
∫ |f − g|pdµ 1/p |
|
|
|
(4.4.4) |
dp(f, g) := |
, ïðè p ̸= ∞, |
|||
|
|
X |
|
почти всюду |
}. |
|
d∞(f, g) := inf{C | |f(x) − g(x)| 6 C |
|
Теорема 4.4.23. Пространство Lp(X, µ) с функцией расстояния (4.4.4) является метрическим пространством.
Замечание 4.4.24. В дальнейшем мы увидим, что Lp(X, µ) является полным метриче- ским пространством.
Пример 4.4.25. Рассмотрим пространство с мерой
(X = N, F = 2N, µ),
ãäå µ(i) = µi > 0, i > 1. Ясно, что всякая функция на пространстве N измерима. Пусть p > 1. Для функции f на N имеем:
f |
ï.â. |
|
f = 0 |
|
= 0 |
||||
и, следовательно, |
Lp(N, µ) = Lp(N, µ). |
|||
Нетрудно заметить, что |
||||
|
|
∑ |
||
f Lp(N, µ) |
|
|
||
ðÿä |
|f(n)|pµn сходится |
|||
|
|
|
n>1 |
|
è äëÿ f, g Lp(N, µ) имеем |
|
|f(n) − g(n)|pµn)1/p . |
||
dp(f, g) = ( |
||||
|
|
∑ |
|
n>1
4.5. МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |
62 |
В случае µ1 = µ2 = . . . = 1 имеем биективное сохраняющее расстояния отображение метри-
ческих пространств
φ : Lp(N, µ) → ℓp, φ(f) = (f(1), f(2), . . .).
Множество интегрируемых по Лебегу комплекснозначных функций на пространстве с мерой (X, µ) обозначают через L1(X, µ) (то есть также, как множество интегрируемых по
Лебегу вещественнозначных функций) и называют комплексным L1(X, µ). Аналогично определяют комплексные N(X, µ), Lp(X, µ) è Lp(X, µ), ãäå p [1, +∞] для которых выполнены
свойства, аналогичные соответствующим свойствам их вещественных аналогов. В частности, комплексное Lp(X, µ) является метрическим пространством.
4.5. Меры и интеграл Лебега в теории вероятностей
Конечное вероятностное пространство
(Ω = {ω1, . . . , ωn}, p)
это математическая модель возможного эксперимента в результате которого может быть получен один из n возможных исходов; эти исходы соответствуют элементам ω1, . . . , ωn ìíî-
жества Ω. Всякое подмножество A множества Ω интерпретируется как событие, состоящее в том, что в результате эксперимента будет получен исход, принадлежащий подмножеству A. Для измеримого подмножества A åãî ìåðà p(A) интерпретируется как вероятность события
A.
Пусть (Ω, p) конечное вероятностное пространство. Измеримые вещественнозначные функции вида
f : Ω → R
называют случайными величинами. По определению, σ-алгеброй, порожденной случайной величиной f называется f−1(B) (см. пример 3.1.6), где B борелевская σ-алгебра на R.
Åñëè f случайная величина, то интеграл Лебега
∫
fdp,
Ω
от нее называют математическим ожиданием случайной величины f и обозначают через M[f]. Грубо говоря, математическое ожидание случайной величины f показывает, какое "в среднем" значение примет функция f(x), åñëè x X взять случайно. Дисперсией случайной величины f называют значение интеграла∫Лебега
D[f] := (f − M[f])2dp.
Ω
Пример 4.5.1. Рассмотрим эксперимент, состоящий в том, что одновременно бросаются 3 монеты достоинством 1, 2 и 5 рублей. Каждая монета может упасть вверх орлом O или решкой R. Таким образом,
Ω = {OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR}
(первая буква указывает как упал 1 рубль, вторая 2 рубля и третья 5 рублей). Интуитивно
ясно, что вероятность каждого из 8 исходов одинакова и, следовательно, эта вероятность равна 1 A, состоящее в том, что орлом выпало 6 1 монеты есть
8 . Событие
A = {ORR, ROR, RRO, RRR}.
Вероятность события A равна
p(A) = p(ORR) + p(ROR) + p(RRO) + p(RRR) =
1
2
4.5. МЕРЫ И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ |
63 |
Рассмотрим функцию
f : Ω → R,
ãäå f(x) суммарное достоинство (в рублях) всех монет, упавших вверх орлом. Например,
f(OOO) = 8, f(RRR) = 0, f(ORO) = 2.
Нетрудно вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины f:
∫
M[f] = fdp = (8 + 7 + 6 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0)18 = 4;
∫ Ω
D[f] = (f − 4)2dp = (2 42 + 2 32 + 2 22 + 2 12)18 = 152
Ω
В общем случае, вероятностное пространство это пространство с мерой (Ω, p) такое, что p(Ω) = 1. В такой ситуации меру p называют вероятностной мерой. При этом предпола-
гается, что можно провести эксперимент, исходы которого соответствуют точкам пространства Ω.
Всякое измеримое подмножество A пространства Ω интерпретируется как событие, со-
стоящее в том, что в результате эксперимента будет получен исход, принадлежащий подмножеству A. Для измеримого подмножества A åãî ìåðà p(A) интерпретируется как вероятность
события A. События A, B Ω называют независимыми, если
p(A ∩ B) = p(A)p(B).
По смыслу, события независимы, если информация о том, что произошло одно из них не меняет вероятности того, что произошло другое.
Измеримые вещественнозначные функции на Ω называют случайными величинами (рассматривают также комплекснозначные случайные величины). Случайные величины f, g íà-
зывают независимыми, если для любых [a, b], [c, d] R события f−1([a, b]) è g−1([c, d]) незави-
симы. По смыслу, случайные величины независимы, если информация о том, какое значение приняла одна из них не меняет вероятностных ожиданий того, какое значение приняла другая.
Åñëè f(ω) случайная величина, то ингеграл Лебега
∫
fdp,
Ω
называют математическим ожиданием случайной величины f и обозначают через M[f].
Дисперсией случайной величины f(x) называют
∫
D[f] := (f − M[f])2dp.
Ω
Так как интеграл Лебега от измеримой функции может не существовать, то случайная величина может не иметь математического ожидания, а также может иметь математическое ожидание, но не иметь дисперсии. Следует понимать, что свойства математического ожидания и дисперсии, которые приводят в курсах теории вероятностей, являются ничем иным, как свойствами интеграла Лебега, изложенными в терминах теории вероятностей. Типичным утверждением такого типа является
Лемма 4.5.2 (Неравенство Маркова) . Пусть (X, µ) пространство с мерой, f íåîò-
рицательная интегрируемая по Лебегу функция на X è ε > 0. Тогда
∫
fdµ > εµ({x X | f(x) > ε}).
X
4.6. ЗАДАЧИ |
64 |
Доказательство. Обозначим A := {x X | f(x) > ε}. Имеем: |
|
X∫ fdµ > A∫ fdµ > A∫ εdµ = εµ(A). |
|
|
|
4.6. Задачи
Задача 4.6.1. Пусть (X, µ) пространство с мерой. Докажите, что функция на X ÿâ-
ляется простой тогда и только тогда, когда она измерима и принимает конечное множество значений.
Задача 4.6.2. [частный случай теоремы 4.2.4] Пусть f измеримая функция на про-
странстве с мерой. Докажите, что каждая из функций
{
f+(x) = |
f(x), |
åñëè f(x) > 0, |
f−(x) = { |
0, |
åñëè f(x) < 0, |
0, |
åñëè f(x) > 0, |
|
f(x), |
åñëè f(x) < 0 |
|
|
− |
|
неотрицательна, измерима и
(1)f = f+ − f−;
(2)|f| = f + 2f−.
ï.â. −1. Äîêà- Задача 4.6.3. Пусть f измеримая по Лебегу функция на [0, 1], причем f = x
æèòå, ÷òî f неограничена на [0, 1].
Задача 4.6.4. Рассмотрим конечное множество X = {x1, . . . , x6} с мерой µ, ãäå
µ(x1) = 1, µ(x2∫) = 3, µ(x3) = 1, µ(x4) = 7, µ(x5) = 4, µ(x6) = 2.
Вычислите интеграл Лебега fdµ, ãäå
X
(1)f(xn) = (2n + 1)2;
(2)f(xn) = 2n.
Задача 4.6.5. |
Вычислите интегралы Лебега |
||||||||
(1) |
∫ |
1 |
dλ; |
(2) |
∫ |
1 |
dλ; |
||
|
√ |
|
|
√ |
|
||||
[0,1) |
x |
(0,∞] |
1+x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) ∫ x− 23 dλ.
(−1,2)
|
4.6.6 |
|
Вычислите |
|
1 |
|
[0,∫1] |
|
Задача |
|
|
. |
|
интеграл Лебега |
c(x)dλ, ãäå c(x) канторова лестница. |
||
|
4.6.7 |
|
|
Рассмотрим |
∫ |
|
|
|
Существует ли интеграл Римана 0 c(x)dx? |
|
|
||||||
Задача |
|
. |
|
вероятностные пространства |
||||
ãäå µi(0) = µi(1) = 1 |
(Xi = {0, 1}, µi), i > 1, |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 , и их произведение |
∏ |
|
||
|
|
|
|
|
|
X = |
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
i>1 |
|
с цилиндрической мерой µ. Докажите, что следующие функции интегрируемы и вычислите интегралы Лебега от них по пространству X.
(1) ∫ (x1 + x2x3)dµ; (2) ∫ 2x1+x2 dµ;
X X
|
|
|
|
|
4.6. ЗАДАЧИ |
|
|
65 |
|
X∫ (∑n>1 xn)dµ; |
|
|
|
xn |
|
|
|
(3) |
(4) |
|
X∫ (∑n>1 2n )dµ; |
|
|
|
||
(5) |
X∫ (∑n>1 xnxn+1)dµ. |
|
1 |
|
L1([0, 1], λ), íî x− |
1 |
L2 |
([0, 1], λ). |
Задача 4.6.8. Докажите, что x− |
2 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
̸ |
|
Задача 4.6.9. На множестве X рассмотрим меры µ è ν по которым каждое подмножество
измеримо и
µ({x}) = f(x), ν({x}) = g(x),
ãäå
f, g : X → [0, +∞]
некоторые функции. Докажите, что мера ν абсолютно непрерывна по мере µ тогда и только тогда, когда g(x) = 0 для всякого x X такого, что f(x) = 0 и в этом случае найдите dµdν .
Глава 5
Банаховы и гильбертовы пространства
5.1. Нормированные пространства
Определение 5.1.1. Пусть V вещественное или комплексное векторное пространство. Нормой в пространстве V называют функцию
· = · V : V → R
такую, что
(Norm1) для любого v V выполнено v > 0, причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда v = 0;
(Norm2) для любого скаляра λ и любого v V выполнено λv = |λ|v ; (Norm3) для любых v, u V выполнено v + u 6 v + u .
Вещественное (соотв. комплексное) векторное пространство V с фиксированной нормой
· называют вещественным (соотв. комплексным) векторным нормированным пространством (часто называют просто нормированным пространством ) и обозначают через (V, ·) или через V , когда из контекста ясно, как определена норма · .
В рассуждениях с участием нормированных пространств может быть не указано поле K над которым они определены; в этом случае считается, что рассуждения проводятся для
нормированных пространств определенных над любым полем (то есть над K = R или над
K = C).
Пусть V нормированное пространство с нормой · . Заметим следующее.
• Для любого c > 0 функция
c · : V → R, v 7→c v
является нормой.
•Для всякого ненулевого вектора v V норма вектора vv равна единице. Действи- тельно,
|
|
v |
|
= |
1 |
v = |
1 |
v = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
v |
|
v |
v |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
• Всякое линейное подпространство U V является нормированным пространством с |
|||||||||
нормой |
|
|
|
|
|
|
u U := u . |
||
· U : U → R, |
Теорема 5.1.2. Всякое нормированное пространство V с нормой · является метри- ческим пространством с метрикой
d(v, u) := v − u .
Доказательство. Мы должны проверить аксиомы метрического пространства.
(Metr1) d(v, u) = v −u > 0 по аксиоме (Norm1). Åñëè 0 = d(v, u) = v −u , то, по аксиоме (Norm1), v − u = 0 и, следовательно, v = u.
(Metr2) Используя аксиому (Norm2), получаем
d(v, u) = v − u = (−1)(u − v) = | − 1|u − v = d(u, v).
66
5.1. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
67 |
(Metr3) Используя аксиому (Norm3), получаем
d(v, u) + d(u, w) = v − u + u − w > (v − u) + (u − w) = v − w = d(v, w).
Как видно из следующих ниже примеров, многие определенные ранее метрические пространства являются нормированными пространствами.
Пример 5.1.3. (R, | · |) является вещественным нормированным пространством, а (C, | · |) является комплексным нормированным пространством.
Пример 5.1.4. Ïðè p > 1 метрическое пространство (Rn, dp) является нормированным
пространством с нормой |
|
(x1, . . . , xn) p := |
( |
|xi|p)1/p . |
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
||
|
|
|
|
16i6n |
|
|
||
|
пространство обозначают через |
|
n |
. Аналогично определяют ком- |
||||
Это нормированное |
(R , · p) |
|||||||
|
n |
, · p). |
|
|
||||
плексное пространство (C |
|
|
|
|
|
Пример 5.1.5. Метрическое пространство (Rn, d∞) является нормированным пространством с нормой
(x1, . . . , xn) ∞ := max{|x1|, . . . , |xn|}.
Это нормированное пространство обозначают через (Rn, · ∞). Аналогично определяют комплексное нормированное пространство (Cn, · ∞).
Пример 5.1.6. Метрическое пространство C[a, b] является вещественным нормированным пространством с нормой
|
f |
t |
max |
f(t) |
. |
|
|
( ) := a6t6b | |
|
| |
|
||
Пример 5.1.7. Метрическое пространство C1[a, b] |
является вещественным нормирован- |
|||||
ным пространством с нормой |
|
|
∫ab |f(t)|dt. |
|||
f(t) 1 := |
Пример 5.1.8. Ïðè p > 1 вещественное и комплексное Lp(X, µ) являются нормированны-
ми пространствами; нормы в этих пространствах определяются одной формулой
∫ 1/p
f p := |f|pdµ .
X
То, что вещественное и комплексное Lp(X, µ) действительно являются нормированными пространствами вытекает из интегрального неравенства Минковского
∫ |f + g|p dµ 1/p |
6 |
∫ |f|pdµ 1/p |
+ |
∫ |g|pdµ 1/p |
|||
X |
|
|
X |
|
|
X |
|
которое мы приводим без доказательства.
Пример 5.1.9. Вещественное и комплексное L∞(X, µ) являются нормированными пространствами с нормой
f ∞ := inf{C | |f(x)| 6 C почти всюду}.
5.1. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА |
68 |
Пример 5.1.10. На прямом произведении нескольких метрических пространств можно различными способами определить метрику (см. пример 2.1.14). Аналогично, если
(V1, · 1), . . . , (Vn, · n)
нормированные пространства, то на прямой сумме
V = V1 . . . Vn := {(v1, . . . , vn) | vi Vi, 1 6 i 6 n}
можно определить различные нормы относительно которых V |
будет нормированным про- |
||||
странством. Вот наиболее часто используемые нормы: |
|
|
|||
|
(v1, . . . , vn) = max{x1 1, . . . , xn n}, |
||||
|
p |
p |
1/p |
, ãäå |
p [1, +∞]. |
(v1, . . . , vn) = ( x1 1 |
+ . . . + xn n) |
|
|||
Нетрудно заметить, что нормированные пространства |
(Kn, · ∞) è (Kn, · p) являются |
||||
прямыми суммами одномерных нормированных пространств (K, | · |). |
|||||
Вещественные и комплексные ℓp è ℓ∞. |
|
|
|
||
Лемма 5.1.11. |
(1) Ïðè p > 1 вещественное (соотв. комплексное) ℓp является ли- |
нейным подпространством в R∞ (соотв. C∞).
(2)Вещественное (соотв. комплексное) ℓ∞ является линейным подпространством в R∞ (соотв. C∞).
Доказательство. |
(1) следует из неравенства Минковского, (2) несложно доказать непо- |
|
средственно. |
|
|
Следствие 5.1.12. |
(1) Ïðè p > 1 вещественное (комплексное) ℓp является норми- |
|
рованным пространством с нормой |
|xi|p)1/p . |
|
|
(x1, x2, . . .) p := ( |
|
|
|
∑ |
i>1
(2) Вещественное (комплексное) ℓ∞ является нормированным пространством с нормой
(x1, x2, . . .) ∞ := sup |xi|.
i>1
Для интуитивного понимания норм ниже приведены рисунки замкнутых единичных шаров в некоторых нормированных пространствах.
|
6 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
'$ |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
- |
|
|
|
|
@ 1 |
- |
|
|
|
|
|
1 - |
|
|
&% |
|
|
@@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(R2, · 2) |
|
|
(R2, · 1) |
|
|
|
(R2, · ∞) |
|
|
||||||
Определение 5.1.13. Пусть V векторное пространство. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
• Говорят, что норма · 1 |
не слабее нормы · 2, если существует константа a > 0 |
||||||||||||||
такая, что |
|
a v 1 > v 2 |
äëÿ âñåõ v V . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.2. ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ |
69 |
•Говорят, что нормы · 1 è · 2 в пространстве V сравнимы, если одна из них не слабее другой.
•Говорят, что нормы · 1 è · 2 в пространстве V эквивалентны, если каждая из них не слабее другой, другими словами, существуют константы a > 0 è b > 0 такие,
÷òî |
> v 2 è b v 2 > v 1 äëÿ âñåõ v V . |
a v 1 |
В дальнейшем мы докажем, что в конечномерных векторных пространствах все нормы эквивалентны. В бесконечномерных пространствах существуют неэквивалентные и несравнимые нормы, см. задачу 5.6.12.
Лемма 5.1.14. Пусть V векторное пространство с нормами ·1 è ·2, причем норма· 1 не слабее нормы · 2. Тогда всякая последовательность элементов пространства V , сходящаяся относительно нормы ·1, также сходится относительно нормы ·2, причем к тому же пределу.
5.2. Операторы в нормированных пространствах
Отображение нормированного пространства в нормированное пространство называют оператором. Линейное отображение нормированного пространства в нормированное пространство называют линейным оператором. Напомним, что отображение φ : V → U векторных
пространств называют линейным, если
φ(λv + λ′v′) = λφ(v) + λ′φ(v′)
для любых v, v′ V , λ, λ′ K. В функциональном анализе изучают линейные операторы и
называют их просто операторами (операторы не являющиеся линейными нелинейные операторы изучают в нелинейном функциональном анализе). Обычно (но не всегда) операторы обозначают заглавными латинскими буквами, например, A, B, ... , а действие оператора на
вектор записывают приписывая слева букву, обозначающую оператор к букве, обозначающую вектор, например, Av, Bv, ... .
Среди всех операторов на нормированном пространстве V особую роль играют функци-
оналы. Функционалом на вещественном (соотв. комплексном) нормированном пространстве V называют оператор вида
φ : V → R (соотв. φ : V → C).
Пример 5.2.1. Отображение
φ : C[0, 1] → R, f(t) 7→f(0)
является функционалом.
Пример 5.2.2. Отображение
∫ t
A : C[0, 1] → C[0, 1], A(f)(t) = f(τ)dτ
0
является оператором.
Определение 5.2.3. Пусть V è U нормированные пространства и A : V → U оператор.
(1) Нормой оператора A называют число
A := sup Av
v 61
(допускается значение ∞).
(2) Оператор A называют ограниченным, если его норма конечна.
5.2. ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ |
70 |
В частности, оператор A может быть функционалом и, таким образом,
(1)′ нормой функционала f на нормированном пространстве V называют число
f := sup f(v) ;
v 61
(2)′ функционал f называют ограниченным, если его норма конечна.
Пример 5.2.4. Норма функционала φ из примера 5.2.1 равна 1, а норма оператора A из примера 5.2.2 равна 1
2 .
Теорема 5.2.5 (Критерий непрерывности оператора) . Оператор непрерывен (как отображение метрических пространств) тогда и только тогда, когда он ограничен. В частности, функционал на нормированном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Доказательство. (1) Докажем, что если оператор A : V → U непрерывен, то он ограничен. Из непрерывности A в 0 следует, что существует δ > 0 такое, что
A(BV (0, δ)) BU (0, 1).
Имеем: |
1 |
1 |
1 |
|
||
|
|
|||||
A(BV (0, 1)) = A ( |
|
BV (0, δ)) = |
|
A(BV (0, δ)) |
|
BU (0, 1) |
δ |
δ |
δ |
откуда
sup Av 6 δ−1
v 61
и, следовательно, оператор A ограничен.
(2) Докажем, что если оператор A ограничен, то он непрерывен. Можно считать, что
оператор A ненулевой. Пусть v0 |
V è ε > 0. Мы должны доказать, что существует δ > 0 |
такое, что |
|
(5.2.1) |
A(B(v0, δ)) B(Av0, ε). |
Утверждается, что в качестве такого δ можно взять δ = |
|
ε |
. Действительно, если v B(v0, δ), |
||||||||||||||||||||||
A |
|||||||||||||||||||||||||
òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
d(Av, Av0) = Av − Av0 = A(v − v0) 6 A v − v0 |
< |
A |
|
|
= ε |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
A |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда следует (5.2.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.2.6. Оператор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
A : ℓ2 → ℓ2, |
|
|
A(x1, x2, x3, . . .) = ( |
|
x1 |
, |
|
x2, |
|
x3 |
, . . .) |
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||
непрерывен. Действительно, |
|
|
|
|
|
∑|xi|261 |
∑ | i2| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 61 |
|
|
|
2 |
|
|
6 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
sup |
|
Ax |
|
= |
sup |
|
xi |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
то есть, оператор A ограничен и, следовательно, непрерывен. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Пример 5.2.7. Оператор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A : C1[0, 1] → C[0, 1], |
A(f(t)) = f(t) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
не является непрерывным. Действительно, рассмотрим функцию |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
{0, |
|
|
åñëè n1 |
|
< t 6 1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
fn(t) = |
2n − 2n2t, |
åñëè 0 |
|
6 t 6 n1 , |
|
|
|
|
|
|
|